第八章 绕流运动

第八章绕流运动第1页，共50页，2023年，2月20日，星期三实际流体都有粘性，但对于一些实际问题，如本章要介绍的绕流问题，由于其雷诺数相对较大，因而流体中的惯性切应力远远大于粘性切应力，则粘性切应力可以忽略不计，因而流体可以简化为理想流体，则相应的计算理论可选用理性流体的计算理论。流体在绕障碍物流动时，在靠近障碍物的一薄层内，存在着强烈的剪切流动，因而粘性切应力不能忽略，这一层我们称为附面层，在附面层内，粘性切应力对流动起着主导作用。本章主要介绍理想流体的运动规律，同时简单介绍附面层的理论。引言第2页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.1无旋流动

由第七章知，如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动，即：而由速度的全微分理论得，空间必然存在一个势函数，使得：第3页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.1无旋流动

而由势函数的全微分得：即速度在三坐标轴上的投影，等于速度势函数对于相应坐标的偏导数。

进一步，我们可以得出速度速度在任一方向的分量等于速度势函数在该方向上的偏导数，即：结论：流速势函数的存在条件：不可压缩流体的无旋流；因而流速势函数只能存在于理想流体中。第4页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.1无旋流动

现在我们把速度势函数代入不可压缩流体的连续性方程或上式为速度势函数的拉普拉斯方程形式。

问题：设速度势函数

，则点B（1，2，1）处的速度为：（）A、5；B、1；C、3；D、2。

C第5页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.1无旋流动在极坐标中中，径向微元线段是，四周的微元线段是，则速度势函数与速度的关系为：相应的其速度势函数的拉普拉斯方程极坐标形式为：

第6页，共50页，2023年，2月20日，星期三速度势函数的性质（1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数（2）在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差。（3）在有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。§8.1无旋流动第7页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.2平面无旋流动在流场中，如果只是的函数，且与无关，而，则这种流动称为平面流动。此时只有旋转角速度分量，而如果旋转角速度分量，则这种流动称为平面无旋流动。相应的，其连续性方程为由上式可以定义一个函数,使得式中：—不可压缩流体平面流动的流函数。适用范围：无旋流、有旋流、实际流体、理想流体的不可压缩流体的平面流动。则流函数的拉普拉斯方程形式为：

对于无旋流，有第8页，共50页，2023年，2月20日，星期三流函数的性质（1）流函数等值线就是流线。

（2）在平面流动中，两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数之差。§8.2平面无旋流动得平面流线方程：

得证

第9页，共50页，2023年，2月20日，星期三例1：有下面二个流动(a):;(b):。试求：（1）判别流动(a)中是否存在流函数？若存在，求流函数。

（2）判别流动(b)中是否存在势函数？若存在，求势函数。第10页，共50页，2023年，2月20日，星期三例2：已知流场的流函数；（1）证明此流动是无涡流；（2）求出相应的速度势函数；（3）证明流线与等势线正交。第11页，共50页，2023年，2月20日，星期三速度势函数和流函数的关系

则等势线簇和流线簇相互垂直。§8.2平面无旋流动第12页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.2平面无旋流动流网（flownet）：不可压缩流体平面流动中，在流体质点没有旋转角速度的情况下，流线簇与等势线簇构成的正交网格。

1流网的性质

（1）等势线与等流函数线处处正交

证明：等势线簇：

为等势线斜率；

等流线簇：为流线斜率；

得证。

第13页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.2平面无旋流动1流网的性质

（2）流网中每一网格的边长之比等于

和的增值之比若取，则流网网格为正方形网格。证明：如右图所示，取相邻两线间的差值为ΔC，流线间隔为Δn

，等势线间隔为Δs。且所以，则流网网格为正方形网格。第14页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.2平面无旋流动2流网的绘制（1）图解法

1）固体边界上的运动学条件是垂直于边界的流速分量应为零，液体必然沿固体边界流动，所以固体边界本身是流线之一。等势线与边界正交。

2）自由液面处和液面垂直的流速等于零。所以自由液面必是流线。

3）根据事先选定的网格比例绘制出流线和等势线。再根据流网特征反复修改，力争使每一个网格都绘制成曲边正方形。（2）电比拟法。3.流网的应用

流网原理已广泛用于理想流体势流中的速度场、压强场求解，如土坝渗流等。

流速场：因流网中，任两相邻流线之间相同，亦即网格内流量，

又，所以各网格内（流速与间距△n成反比）。

已知一点流速其他各点流速

压强场：

已知一点压强

其他各点压强

第15页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.3几种简单的平面无旋流动

一、均匀直线流动流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流线平行且流速相等，则称均匀等速流。如：

由于而在以上二式中均取积分常数为零，这对流动的计算并无影响。第16页，共50页，2023年，2月20日，星期三一均匀流第17页，共50页，2023年，2月20日，星期三图2均匀流示意图第18页，共50页，2023年，2月20日，星期三二源流和汇流

无限大平面上，流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动，称为点源，这个点称为源点；如果流体沿径向均匀的流向一点，称为点汇，这个点称为汇点。不论是点源还是点汇，流场中只有径向速度，即源流和汇流

(a)(b)第19页，共50页，2023年，2月20日，星期三第20页，共50页，2023年，2月20日，星期三第21页，共50页，2023年，2月20日，星期三例1：平面点源（汇）流动，

求：（1）问是否为有势流。（2）若有势，求流速势函数

。（3）是否为不可压缩流体。（4）求平面流动的流函数。（5）求压强分布。第22页，共50页，2023年，2月20日，星期三三环流点涡

第23页，共50页，2023年，2月20日，星期三第24页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.4势流叠加一、汇流和点涡叠加的流动——螺旋流

二、源流和汇流叠加的流动——偶极子流

几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度分量的代数和。

研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。

第25页，共50页，2023年，2月20日，星期三一汇流和点涡叠加的流动——螺旋流

螺旋流网

第26页，共50页，2023年，2月20日，星期三二源流和汇流叠加的流动——偶极子流

点源和点汇叠加

偶极流

第27页，共50页，2023年，2月20日，星期三第28页，共50页，2023年，2月20日，星期三第29页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.6绕流运动与附面层的基本概念

1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念。他认为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。普朗特的这一理论，在流体力学的发展史上有划时代的意义。

边界层：（boundarylayer）：亦称附面层，雷诺数很大时，粘性小的流体（如空气或水）沿固体壁面流动（或固体在流体中运动）时壁面附近受粘性影响显著的薄流层，

第30页，共50页，2023年，2月20日，星期三

设平板固定不动，来流的速度为，方向与板面方向一致。当流体流过平板时，根据固壁无滑移条件，板面上流体质点的速度为零，在与板面垂直的方向上存在很大的速度梯度，因此存在很大的摩擦阻力，它将阻滞邻近的流体质点的运动。在边界层区域以外，速度基本均匀，保持和来流速度基本相同的大小和方向。绕流边界层在平板的前缘开始形成，随着流动向下游发展，受摩擦阻力的影响，越来越多的流体质点受到阻滞，边界层的厚度也随之增加。在平板的前部边界层呈层流状态，随着流程的增加，边界层的厚度也在增加，层流变为不稳定状态，流体的质点运动变得不规则，最终发展为紊流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之为转类区，转类区的开始点称为转类点。转类区下游边界层内的流动为紊流状态。如图所示，由于紊流边界层内的流体质点更容易和外部主流区的流动进行动量交换，因此紊流区域边界层厚度的增加比层流增加的更快。在转类区和紊流区的壁面附近，由于流体的质点的随机脉动受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态，称为层流底层和粘性底层。第31页，共50页，2023年，2月20日，星期三边界层的基本特征:（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；（3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；（6）边界层内流体的流动存在层流和紊流两种流动状态。

层流边界层：当边界层厚度较小时，边界层内的流速梯度很大，粘滞应力的作用也很大，这时边界层内的流动属于层流，这种边界层称为层流边界层。

紊流边界层：当雷诺数达到一定数值时，边界层中的层流经过一个过渡区后转变为紊流，就成为紊流边界层。

第32页，共50页，2023年，2月20日，星期三边界层的厚度两个流动区域之间并没有明显的分界线。边界层的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的99％处的距离作为边界层的厚度，以δ表示，这一厚度也称边界层的名义厚度。边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的大小。雷诺数越大，边界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边界层就变厚。沿着流动方向由绕流物体的前缘点开始，边界层逐渐变厚。对光滑平板边界层：临界雷诺数的范围：临界雷诺数并非常量，而是与来流的扰动程度有关，如果来流受到扰动，脉动强，流态的改变在较低的雷诺数就会发生。则边界层厚度：层流边界层紊流边界层第33页，共50页，2023年，2月20日，星期三管流附面层对于管流，除入口段外，都出于壁面附面层内。由图知，在入口段，附面层的厚度随离管口的距离增加而增加，当附面层厚度等于管的半径时，则附面层占领整个管流。在进行试验和计算分析时，应避开管流入口段。第34页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.7附面层动量方程边界层的动量积分方程是对边界层内流动的再简化。其推导过程有两种方法：一种是沿边界层厚度方向积分边界层的方程组，一种是在边界层内直接应用动量守恒原理。下面的推导采用第二种方法。第35页，共50页，2023年，2月20日，星期三边界层动量积分方程的推导如图所示为不可压缩流体的恒定二维边界层流动，设物体表面线型的曲率很小。

取一个单位厚度的微小控制体，它的投影面ABDC。用动量定理来建立该控制体内的流体在单位时间内沿x方向的动量变化和外力之间的关系。

第36页，共50页，2023年，2月20日，星期三边界层动量积分方程的推导设壁面上的摩擦应力为根据边界层的控制方程组，边界层内的压强仅近似地依赖于而与无关，设AB面上的压强为，DC上的压强为

控制面AC为边界层的外边界

其外部为理想流体的势流，只有与之垂直的压力，设AC上的压强为A，C两点压强的平均值。作用在控制体上的表面力沿x方向的合力为：

第37页，共50页，2023年，2月20日，星期三边界层动量积分方程的推导式中α为边界层外边界AC与方向的夹角，由几何关系可知：，上式经整理并略去高阶小量，得：单位时间内沿x方向经过AB流入控制体的质量和动量分别为：经过CD面流出的质量和动量分别为：定常流动条件下，可知从控制面AC流入控制体中的流量为：由此引起流入的动量为：

第38页，共50页，2023年，2月20日，星期三边界层动量积分方程的推导式中V为边界层外边界上的速度。这样，可得单位时间内该控制体内沿x方向的动量变化为

根据动量定理，，则可得边界层的动量积分方程为：

上式也称为卡门动量积分关系式。该式是针对边界层流动在二维定常流动条件下导出的，并没有涉及边界层的流态，所以其对层流和紊流边界层都能适用。后面讲对积分方程的求解。第39页，共50页，2023年，2月20日，星期三积分方程的求解实际上可以把、和看作已知数，而未知数只有u、和三个。

再补充两个关系式：一、沿边界层厚度的速度分布u=u(u)

二、切向应力与边界层厚度的关系式

一般在应用边界层的动量积分关系式来求解边界层问题时，边界层内的速度分布是按照已有的经验来假定的。假定的愈接近实际，则所得到的结果愈正确。所以，选择边界层内的速度分布函数是求解边界层问题的重要关键。

第40页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.10边界层的分离与卡门涡街

第41页，共50页，2023年，2月20日，星期三一、边界层的分离以右图所示的圆柱绕流为例在势流流动中流体质点从D到E是加速的，为顺压强梯度;从E到F则是减速的,为逆压强梯度流体质点由D到E过程，由于流体压能向动能的转变，不发生边界层分离E到F段动能只存在损耗，速度减小很快，在S点处出现粘滞，由于压力的升高产生回流导致边界层分离，并形成尾涡。下图为边界层分离示意图。第42页，共50页，2023年，2月20日，星期三从以上的分析中可得如下结论：粘性流体在压力降低区内流动（加速流动），决不会出现边界层的分离，只有在压力升高区内流动（减速流动），才有可能出现分离，形成漩涡。尤其是在主流减速足够大的情况下，边界层的分离就一定会发生。

边界层分离示意图第43页，共50页，2023年，2月20日，星期三

二、卡门涡街

上右图表示不同雷诺数条件下绕圆柱的流动图谱

讨论圆柱绕流问题：随着雷诺数的增大边界层首先出现分离，分离点并不断的前移，当雷诺数大到一定程度时，会形成两列几乎稳定的、非对称性的、交替脱落的、旋转方向相反的旋涡，并随主流向下游运动，这就是卡门涡街，如上左图。卡门对涡街进行运动分析得出了阻力、涡释放频率以及斯特罗哈数的经验公式。卡门涡街会产生共振，危害很大；也可应用于流量测量。第44页，共50页，2023年，2月20日，星期三§8.10绕流阻力和升力

绕流物体的阻力分成摩擦阻力和形状阻力两种，前者用边界层理论求解，后者一般依靠实验。

形状阻力（压差阻力）：粘性流体绕流时，在物体表面上所作用的压力的合力在流动方向上的投影。对非流线型物体，是由于边界层的分离，在物体尾部形成旋涡，旋涡区的压强较物体前部低，在流动方向上产生了压强差，形成了作用于物体上的阻力，称为压差阻力。压差阻力主要取决于物体的形状。第45页，共50页，2023年，2月20日，星期三一摩擦阻力是由于流体的粘性引起的，当流体绕流物体时，在表面上形成了边界层，边界层内速度梯度大，粘性的牵制作用使物体受到阻力。阻力发生在运动物体表面上。

二压差阻力与边界层的分离现象密切相关。当流体流过一个圆头尖尾的回转体时，在物体前端形成减速区，在前端顶点A形成驻点，流体压强随流速变化而变化，在驻点处最大，离开驻点，压强逐渐减小，从B点处开始变成负值，过最大速度点C后，流速减小，压强上升，压强又变成正值。第46页，共50页，2023年，2月20日，星期三压强分布如实线所示，虚线理想压强分布。从图中可以看出，前端的正压强产生一个向后的水平合力，后端的正压强产生一个向前的水平合力，中段压强为负值，产生吸力，其前半部