第八章欧氏空间和酉空间

第八章欧氏空间和酉空间宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作第1页，共79页，2023年，2月20日，星期三在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国王设置的捷径。---欧几里德(Euclid,约前325-约前265)第2页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.1向量的内积一、内容分布

8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质

二、教学目的：1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离．2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与η的内积<ξ,η>，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间．3．掌握及其它不等式，并会用它来证明另三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;2.不等式的灵活运用.一些不等式第3页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义

1)

2)

3)4)当时,定义1设V是实数域R上一个向量空间.如果对于V中任意一对向量有一个确定的记作

的实数与它们对应，并且下列条件被满足：

这里是V的任意向量，a是任意实数，

那么这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于第4页，共79页，2023年，2月20日，星期三例1在规定里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的公理被满足,因而对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.例2在规定里,对于任意向量不难验证,也作成一个欧氏空间.

第5页，共79页，2023年，2月20日，星期三例3令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数我们规定所成的向量空间,根据定积分的基本性质可知,内积的公理1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间.例4令H是一切平方和收敛的实数列所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法:第6页，共79页，2023年，2月20日，星期三设规定

向量的内积由公式给出，那么H是一个欧氏空间.练习1

为向量空间中任意两向量,证明:对作成欧氏空间的充分必要条件是m>0,n>0.

第7页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角定义2设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号表示：定理8.1.1在一个欧氏空间里,对于任意向量有不等式(6)当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号.第8页，共79页，2023年，2月20日，星期三定义3设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量，ξ与η的夹角θ由以下公式定义：例5令是例1中的欧氏空间.中向量的长度是由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ和任意实数a,有第9页，共79页，2023年，2月20日，星期三注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度等于a的绝对值与ξ的长度的乘积.例6考虑例1的欧式空间由不等式(6)推出,对于任意实数有不等式(7)(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.第10页，共79页，2023年，2月20日，星期三例7

考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6）推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数有不等式(8)(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一起来.因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.

第11页，共79页，2023年，2月20日，星期三例8

设为欧氏空间V中任意两个(1)当且仅当的夹角为0;非零向量.证明:(2)当且仅当的夹角为π;第12页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.1.3向量的正交

定义4欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,如果定理8.1.2

在一个欧氏空间里，如果向量ξ中每一个正交，

那么ξ与

的任意一个线性组合也正交.

与第13页，共79页，2023年，2月20日，星期三思考题1：设是n维欧氏空间V中证明:

两个不同的向量,且

思考题2：在欧氏空间中,设

两两正交,且

的长度

求A的行列式

的值.

第14页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.2正交基一、内容分布

8.2.1正交组的定义、性质

8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性8.2.3子空间的正交补

8.2.4正交矩阵的概念

8.2.5n维欧氏空间同构的概念及判别

二、教学目的：1．准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质．2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补．4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系．5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论．三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念;子空间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法第15页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.2.1正交组的定义、性质

定义1

欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.

1．正交组的定义例1

向量构成

一个标准正交组，因为

第16页，共79页，2023年，2月20日，星期三例2

考虑定义在闭区间函数所作成的欧氏空间（参看8.1例3），函数组的一个正交组。(1)1，cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…构成上一切连续第17页，共79页，2023年，2月20日，星期三事实上，我们有第18页，共79页，2023年，2月20日，星期三把（1）中每一向量除以它长度，我们就得C[0，2π]的一个标准正交组

第19页，共79页，2023年，2月20日，星期三2．正交组的性质定理8.2.1

设

一个正交组，那么

线性无关.

是欧氏空间的证：设有

使得

因为当i≠j时

，所以

但

，所以

即

线性无关.

第20页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性

1．标准正交基的定义

设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n个向量构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这个n个向量构成V的一个基，叫做V的一个正交基。如果V的一个正交基还是一个规范正交级，那么就称这个基是一个规范的正交基。第21页，共79页，2023年，2月20日，星期三例2欧氏空间

的基是

i=1,2,…,n,的一个标准正交基.

如果

正交基。令ξ是V的任意一个向量那么ξ是可是是n维欧氏空间V的一个标准以唯一写成

是ξ关于

的坐标。由于是规范正交基，我们有第22页，共79页，2023年，2月20日，星期三（3）

这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积；其次，令那么

（4）

由此得

（5）

（6）

第23页，共79页，2023年，2月20日，星期三2．标准正交基的性质设

是的一个基，但不一定是正交基

问题就解决了,因为将

再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交借助几何直观，为了求出

正交基。从这个基出发，只要能得出

的一个基。先取我们考虑线性组合

从这里决定实数a，

使

正交，由

第24页，共79页，2023年，2月20日，星期三及得取那么

又因为线性无关，所以对于任意实数a因而这就得到

的一个正交基

第25页，共79页，2023年，2月20日，星期三3．标准正交基的存在性

定理8.2.2（施密特正交化方法)设是欧氏空间V的一组线性无关的向量,那么可以求使得

可以由

线性表示，k=1,2,…,m.

出V的一个正交组

证

先取

那么

是

的线性组合，且

其次取

第26页，共79页，2023年，2月20日，星期三又由

所以正交。假设1＜k≤m，而满足定理要求的都已作出.

那么是的线性组合，并且因为

线性无关，所以

第27页，共79页，2023年，2月20日，星期三取所以

是

的线性组合。由于假定了

i=1,2,…,k-1，所以把这些线性组合代入上式，得

的线性组合，线性无关，由

得

第28页，共79页，2023年，2月20日，星期三又因为假定了

两两正交。这样，也满足定理的要求。所以定理得证。

第29页，共79页，2023年，2月20日，星期三定理8.2.3任意n（n>0）维欧氏空间一定有正交基，因而有标准正交基.例4

在欧氏空间

中对基

施行正交化方法得出

的一个标准正交基.

解:第一步，取第30页，共79页，2023年，2月20日，星期三第二步，先取然后令第31页，共79页，2023年，2月20日，星期三第三步，取

再令于是

就是

的一个规范正交基。

第32页，共79页，2023年，2月20日，星期三练习1设

试把

的基的一个基,并将它标准正交化.扩充成第33页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.2.3子空间的正交补

1.向量与一个非空子集正交

定理8.2.4

令W是欧氏空间V的一个有限维子空间，那么因而V的每一个向量ξ可以唯一写成这里(7)第34页，共79页，2023年，2月20日，星期三设令证明

当W={0}时，定理显然成立，这时

设由于W的维数有限，因而可以取到W的一个规范正交基第35页，共79页，2023年，2月20日，星期三那么而由于是W的基，所以ζ与W正交，这就证明了即剩下来只要证明这个和是直和。这是那么从而定理被证明。显然的，因为如果第36页，共79页，2023年，2月20日，星期三证明对于任意所以定理8.2.5

设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，ξ是V的任意向量，η是ξ在W上的正射影，那么对于W中任意向量，都有

第37页，共79页，2023年，2月20日，星期三于是如果

那么

所以

即我们也把向量ξ在子空间W上的正射影η叫做W到ξ的最佳逼近。第38页，共79页，2023年，2月20日，星期三例5

考虑上一切连续实函数所作成的所生成的子空间.由例2看到,欧氏空间令W是由以下2n+1个函数1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx是W的一个规范正交基.

第39页，共79页，2023年，2月20日，星期三W的每一元素都可以写成

………(8)

的形式.

叫做一个n次三角多项式.

设我们求一个n次三角多项式

使得

的值最小.

用欧氏空间的语言来说就是：求

使得

第40页，共79页，2023年，2月20日，星期三这正是上面所说的W对于f(x)的最佳逼近问题.

最小.因此,所求的

应该是f(x)在W上的正射影.由定理8.2.4,我们有与等式(8)作比较,我们得到

第41页，共79页，2023年，2月20日，星期三从而

k=1,2,…,n.第42页，共79页，2023年，2月20日，星期三注意到cos0x=1,我们有系数

叫做f(x)的富利叶系数.

第43页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.2.4正交矩阵的概念

定义2

一个n阶实矩阵U叫做一个正交矩阵，如果

定理8.2.6

n维欧氏空间一个标准正交基到另一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.例6

设

是欧氏空间V的标准正交基，且

证明：当T是正交矩阵时,

是标准正交基.

第44页，共79页，2023年，2月20日，星期三练习2设

标准正交基,证明:

也是V的一个标准正交基.是三维欧氏空间V的第45页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.2.5n维欧氏空间同构的概念及判别1．n维欧氏空间同构的定义定义3

欧氏空间V与

说是同构的，如果

(i)作为实数域上向量空间，存在V到

的一个同构映射(ii)对于任意，都有

第46页，共79页，2023年，2月20日，星期三2．n维欧氏空间同构的概念及判别定理8.2.7

两个有限维欧氏空间同构的充分且必要条件是它们的维数相等.推论8.2.8

任意n维欧氏空间都与

同构.

思考题

求的解空间W的一个标准正交基.的一个标准正交基.

并求其正交补第47页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.3正交变换一、内容分布8.3.2正交变换的等价条件8.3.1正交变换的定义1．掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件．3．掌握并会用正交矩阵的某些性质．

二、教学目的：2．掌握的正交变换的全部类型．三、重点难点：正交变换的概念及几个等价条件

8.3.3的正交变换的类型．8.3.3

的正交变换的类型．第48页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.3.1正交变换的定义定义1欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果对于任意都有例1在里,把每一向量旋转一个角的的一个正交变换.线性变换是

例2令H是空间里过原点的一个平面.对于每一向量，令对于H的镜面反射与它对应.是的一个正交变换.第49页，共79页，2023年，2月20日，星期三例3欧氏空间V的一个线性变换是正交变换的充要条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切,

都有.第50页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.3.2正交变换的等价条件

定理8.3.1

欧氏空间V的一个线性变换σ是正交变换的充分且必要条件是：对于V中任意向量

，.证明

条件的充分性是明显的.因为（1）中取ξ=η，就得到，从而.反过来，设σ是一个正交变换，那么对于ξ,η∈

V，我们有第51页，共79页，2023年，2月20日，星期三然而由于比较上面两个等式就得到：第52页，共79页，2023年，2月20日，星期三定理8.3.2设V是一个n维欧氏空间，σ是V的一个线性变换，如果σ是正交变换，那么σ把V的任意一个标准正交基仍旧变成V的一个标准正交基；反过来，如果σ把V的某一标准正交基仍旧变成V的一个标准正交基，那么σ是V的一个正交变换.定理8.3.3

n维欧氏空间V的一个正交变换σ关于V的任意标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过来，如果V的一个线性变换关于某一标准正交基的矩阵是正交矩阵，那么σ是一个正交变换.第53页，共79页，2023年，2月20日，星期三例5

在欧氏空间中,规定线性变换σ为:证明:σ是正交变换.例6将的每一向量旋转一个角ψ的正交变换（参看例1）关于的任意标准正交基的矩阵是第54页，共79页，2023年，2月20日，星期三又令σ是例2中的正交变换.在平面H内取两个正交的单位向量，再取一个垂直于H的单位向量

,那么是的一个标准正交基.σ关于这个基的矩阵是以上两个矩阵都是正交矩阵.第55页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.3.3

的正交变换的类型设σ是的一个正交变换，σ关于的一个规范正交基的矩阵是那么U是一个正交矩阵.于是（2）

由第一个等式，存在一个角α，使a=cosα，c=±sinα第56页，共79页，2023年，2月20日，星期三由于cosα=cos(±α)，±sinα=sin（±α）因此可以令a=cosφ，c=sinφ这里φ=α或–α.同理，由（4）的第二个等式，存在一个角ψ使b=cosψ，d=sinψ将a,b,c,d代入（4）的第三个等式得Cosφcosψ+sinφsinψ=0或cos(φ+ψ)=0第57页，共79页，2023年，2月20日，星期三最后等式表明，φ－ψ是π/2的一个奇数倍.由此

得所以或第58页，共79页，2023年，2月20日，星期三在前一情形中，σ是将的每一向量旋转角φ的旋转；这样，的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射.

如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个单位向量和垂直于这条直线的一个单位向量作为的一个规范正交基.坐标的向量.这时σ是直线的反射.在后一情形，σ将中以（x,y）为坐标的变量变成以(xcosφ+ysinφ,xsinφ–ycosφ)为第59页，共79页，2023年，2月20日，星期三而σ关于基的矩阵有形状现在设σ是的一个正交变换.σ的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r.令是σ的属于本征值r的一个本征向量，并且是一个单位向量.再添加单位向量使

是的一个规范正交基，那么σ关于这个基的矩阵有形状第60页，共79页，2023年，2月20日，星期三由于U是正交矩阵，我们有于是由U的正交性推出，矩阵是一个二阶正交矩阵.第61页，共79页，2023年，2月20日，星期三由上面的讨论，存在一个解φ使在前一情形：在后一情形，根据对的正交变换的讨论，我们可以取的一个规范正交基使σ关于这个基的矩阵是第62页，共79页，2023年，2月20日，星期三如果在T中左上角的元素是1，那么重新排列基向量，σ关于的矩阵是如果左上角的元素是–1，那么σ关于基的矩阵是第63页，共79页，2023年，2月20日，星期三这样，的任意正交变换σ关于某一正交基

的矩阵是下列的三种类型之一：在第一种情形,σ是绕通过的直线的一个旋转；在第二种情形,σ是对于平面的反射；第三种情形,σ是前两种变换的合成.第64页，共79页，2023年，2月20日，星期三思考题

设是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合

练习设V是一个欧氏空间,是一个非零向量,对于,规定V的一个变换证明:τ是V的一个正交变换,且ι是单位变换.第65页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.4对称变换和对称矩阵

一、内容分布

8.4.1对称变换的定义

8.4.2对称变换和对称矩阵之间的关系8.4.3对称变换的性质二、教学目的：1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题．2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质．3．对一个实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使

为对角形三、重点难点：1.对称变换和对称矩阵之间的关系;对称变换的特征根、特征向量的性质;2.对实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使为对角形第66页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.4.1对称变换的定义

定义1设σ是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的任意向量，等式成立，那么就称σ是一个对称变换.例1以下的线性变换中,指出哪些是对称变换?第67页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.4.2对称变换和对称矩阵之间的关系定理8.4.2

设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换，如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么σ是一个对称变换.证

设σ关于V的一个规范正交基的矩阵是对称的，令是V的任意向量。那么第68页，共79页，2023年，2月20日，星期三同样的计算可得因为所以即σ是一个对称变换。第69页，共79页，2023年，2月20日，星期三8.4.3对称变换的性质

定理8.4.3实对称矩阵的特征根都是实数.证

设是一个n阶实对称矩阵.令λ是A在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数使得（2）

第70页，共79页，2023年，2月20日，星期三令的共轭复数。用矩阵左乘（2）的两边得即:（3）

等式（3）两端取轭复数，注意是实数。得（4）

第71页，共79页，2023年，2月20日，星期三又因为且等式（3）与等式（4）左端相等，因此而不全为零，所以是一个正实数，所以