数值分析试题集

数值分析试题集（试卷一）一（10分）已知x1*1.3409，x2*1.0125都是由四舍五入产生的近似值，判断x1*x2*及x1*x2*有几位有效数字。二（10分）由下表求插值多项式x012y234y1－1三（15分）设f(x)C4[a,b]，H（x）是满足下列条件的三次多项式H(a)f(a),H(b)f(b),H(c)f(c),H(c)f(c)(acb)求f(x)H(x)，并证明之。12四（15分）计算013dx，102。x五（15分）在[0，2]上取x00,x11,x22，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。七（10分）对模型yy,0，讨论改进的尢拉法的稳定性。八（15分）求方程x34x27x10在-1.2附近的近似值，103。-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（4*2分）1{k(x)}k0是区间[0，1]上的权函数为(x)x2的最高项系数为1的正交多项式族，其中10(x)1，则x0(x)dx-------------------，1(x)------------------。0212A，则A14

-----------， (A) -----------------。a12时，A可作LU分解。3设A，当a满足条件----------------14精品文档交流4设非线性方程f(x)(x33x23x1)(x3)0，其根x1*3，x2*1，则求x1*的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是---------------------------。10.5a二（8分）方程组AX=b，其中A0.520.5，X,bR3a0.511试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代收敛最快？2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。三（9分）常微分方程初值问题yf(x,y)2hf(xn,yn)，求该y0的单步法公式为yn1yn1y(x0)公式的精度。四（14分）设AXb为对称正定方程组1求使迭代过程Xk1Xk(bAXk)收敛的数的变化范围；211x102用此法解方程组120x21101x30（取初值X0(1,1,1)T，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表）。(试卷三)设A＝11(A)，范数为1的条件数cond(A)1。一－，求A的谱半径51二设f(x)325,xii,(i0,1,2,)，分别计算该函数的二、三阶差商xf[xn,xn1,xn2]，f[xn,xn1,xn2,xn3]。三 设向量若定义若定义

x (x1,x2,x3)Tx x1 2x2 x3，问它是不是一种向量范数？请说明理由。x x1 3x2 x3，问它又是不是一种向量范数？请说明理由。211四设A120，将矩阵分解为ALLT，其中L是对角线元素lii0(i1,2,3)的101下三角阵。精品文档交流123x2cosx0的迭代法xn142五设有解方程cosxn31证明：对任意x0(,)，均有limxnx*（x*为方程的根）；n2取x04，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过103，列出各次迭代值；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。六对于求积公式11[2f(1)f(1)2f(3)]f(x)dx03424求该求积公式的代数精度；证明它为插值型的求积公式。（试卷四）一填空题（每空5分，共25分）1设精确值为x0.054039412，若取近似值x*，该近似值具有------------位有0.05410281效数字。2设f(x)3x25，xii(i0,1,2,)，则三阶差商f[xn,xn1,xn2,xn3]--------。3A11(A)-----------------。5，则14设Aa12时，必有分解式A=LLT，其中L是对角线元a，当a满足条件----------------4素为正的下三角阵。12f(1)1f(1)2f(3)的代数精度为-----------5求积公式f(x)dx。0343234二（10分）设f(x)C3[0,1]，试求一个次数不超过2的多项式P(x)，使得p(0)f(0)1,p(1)f(1)e,p(1)f(1)e三（20分）1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式bba(ba)2f(x)dxf(a)f(b)f(b)f(a)212a且其余项为精品文档交流R(ba)5f(4)()((a,b))4!30利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式xnh2f(x)dxTnf(xn)f(x0)12x0这里：Tnh1f(x1)f(xn1)1baf(x0)f(xn),xix0ih,h22n精品文档交流四（15分）试确定系数 , , ，使微分方程的数值计算公式yn1(yn1yn)h(yn1yn)具有尽可能高的局部截断误差。（符号说明：yn1y(xn1),yny(xn)）五（15分）方程x3x210在x01.5附近有根，对于给定的迭代关系式xk111，试问：2xk1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。2、估计该迭代式的收敛速度。10.5a1六（15分）方程组AXb，其中A0.520.5，b2a0.511试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的 a的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的取值，并用2至3个a的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。（说明：数值实验的数据请以列表形式写出。）（试卷五）一填空题（每空 5分，共25分）1 已知x1* 1.3409，x*2 1.0125都是由四舍五入产生的近似值， x1* x*2的有效数字是几位-----------------。2 设f(x) 3x2 5，xi i(i 0,1,2, )，则二阶差商 f[xn,xn1,xn2] --------。11A13A，则-----------------。514设Aa12，当a满足条件----------------时，A可作LU分解。14nxikli(x)-----------。5设xi(i0,1,2,,n)是互异节点，对于k0,1,2,,n，i0二（10分）由下表求插值多项式x012y234精品文档交流y1－1三（25分）1设f(x)在a,b上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式bf(a)(ba)2f(a)(ba)3f(x)dxf(a)(ba)a26利用这个公式推导以下复化求积公式xnTnh2f(x)dxf(xn)x06这里：Tnh1f(x1)f(x0)2

f(x0)1f(xn),xix0baf(xn1)ih,h2n13对于给定精度104，利用上述求积公式Tn，选取合适的求积步长h，计算Iex2dx0的近似值。精品文档交流yf(x,y)yn12ynyn1hf(xn,yn)，四（10分）常微分方程初值问题的数值公式为y0y(x0)求该公式的精度。五（15分）设有解方程123x2cosx0的迭代法xn142cosxn31证明：对任意x0(,)，均有limxnx*（x*为方程的根）；n2取x04，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过103，列出各次迭代值；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。六（15分）设方程组5x12x2x312x14x22x3202x13x210x331给出雅可比迭代算式；2说明其收敛性；3取初始向量X0(0,0,0)T，给出其前6步迭代所求出的近似值。（说明：数据请以列表形式写出。）（试卷六）一填空题（每空 5分，共25分）1 已知x1* 1.3409，x*2 1.0125都是由四舍五入产生的近似值， x1* x*2的有效数字是几位-----------------。2 设f(x) 3x2 5，xi i(i 0,1,2, )，则二阶差商 f[xn,xn1,xn2] --------。11A13A，则-----------------。514设Aa12，当a满足条件----------------时，A可作LU分解。14nxikli(x)-----------。5设xi(i0,1,2,,n)是互异节点，对于k0,1,2,,n，i0二（10分）由下表求插值多项式x012y234y1－1精品文档交流三（25分）1设f(x)在a,b上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式bf(a)(ba)2f(a)(ba)3f(x)dxf(a)(ba)a26利用这个公式推导以下复化求积公式xnh2f(x)dxTnf(xn)x06这里：Tnh1f(x0)f(x1)2

f(x0)f(xn1)1f(xn),xix0ih,hba2n13对于给定精度104，利用上述求积公式Tn，选取合适的求积步长h，计算Iex2dx0的近似值。精品文档交流yf(x,y)yn12ynyn1hf(xn,yn)，四（10分）常微分方程初值问题的数值公式为y0y(x0)求该公式的精度。五（15分）设有解方程123x2cosx0的迭代法xn142cosxn31证明：对任意x0(,)，均有limxnx*（x*为方程的根）；n2取x04，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过103，列出各次迭代值；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。六（15分）设方程组5x12x2x312x14x22x3202x13x210x331给出雅可比迭代算式；2说明其收敛性；3取初始向量X0(0,0,0)T，给出其前6步迭代所求出的近似值。（说明：数据请以列表形式写出。）（试卷六）一填空题（每空 5分，共25分）1设精确值为x0.054039412，若取近似值x*0.05410281，该近似值具有------------位有效数字。2设f(x)3x25，xii(i0,1,2,)，则三阶差商f[xn,xn1,xn2,xn3]--------。311(A)-----------------。A，则514设Aa12时，必有分解式A=LLT，其中L是对角线元a，当a满足条件----------------4素为正的下三角阵。12f(1)1f(1)2f(3)的代数精度为-----------5求积公式f(x)dx。0343234二（10分）设f(x)C3[0,1]，试求一个次数不超过2的多项式P(x)，使得p(0)f(0)1,p(1)f(1)e,p(1)f(1)e精品文档交流三（20分）1 利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式bba(ba)2f(a)f(b)f(x)dx2f(b)f(a)a12且其余项为R(ba)5f(4)()((a,b))4!30利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式xnh2f(x)dxTnf(xn)f(x0)x012这里：Tnh1f(x0)f(x1)f(xn1)1f(xn),xix0ih,hba22n精品文档交流四（15分）试确定系数 , , ，使微分方程的数值计算公式yn1(yn1yn)h(yn1yn)具有尽可能高的局部截断误差。（符号说明：yn1y(xn1),yny(xn)）五（15分）方程x3x210在x01.5附近有根，对于给定的迭代关系式xk111，试问：xk21、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。2、估计该迭代式的收敛速度。10.5a1六（15分）方程组AXb，其中A0.520.5，b2a0.511试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的 a的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的a取值，并用 2至3个a的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。（说明：数值实验的数据请以列表形式写出。 ）（试卷七）一填空题（每空 4分，共24分）1 已知x1* 1.3409，x*2 1.0125都是由四舍五入产生的近似值， x1* x*2的有效数字是几位-----------------。2a12时，A可作LU分解。设A，当a满足条件----------------143设非线性方程f(x)(x33x23x1)(x3)0，其根x1*3，x2*1，则求x1*的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是---------------------------。214设A，则A14

-----------， (A) -----------------。5用积分8dx2ln2计算ln2，为使误差的绝对值不超过1105，问用复化梯形公式至少要2x2取-------------------------个结点。精品文档交流二（21分）设f(x)C5[0,2]，插值条件如下表x012y234y1－11 给出满足上述插值条件的插值多项式 P(x)；2 求其余项 f(x) P(x)；给出f(0.5)，f(1.5)的近似值。三（25分）设f(x)C2[a,b]ba)fabf()(ba)31推导中矩公式f(x)dx(b(a,b)；a2242导出复化中矩公式；1223利用复化中矩公式，计算定积分exdx（精度为104，并将各次复化的计算结果0排成一张数据表）。四（15分）求常数 A、B、C、D，使解微分方程初值问题yf(x,y)，y(x0)y0的下列数值计算公式yn1Ayn1h(Byn1CynDyn1)（1）yn1f(xn1,yn1)ynf(xn,yn)yn1f(xn1,yn1)的局部截断误差尽可能地高(假设（1）式右端所用信息均为准确的)。五（15分）设AXb为对称正定方程组1求使迭代过程Xk1Xk(bAXk)收敛的数的变化范围；211x102用此法解方程组120x21101x30（取初值X0(0.5,0.6,1)T，给出前6次迭代的数据表）。精品文档交流第1问提示：考虑使迭代矩阵 G I A的范数 G 2 1的 取值。（试卷八）一（15分）已知精确值为x0.054039412，若取近似值x*0.05410281，试问该近似值具有几位有效数字。二（15分）方程x3x210在x01.5附近有根，对于给定的迭代关系式xk111xk2，试问：1、该迭代是否收敛？2、若收敛，估计收敛速度。三（15分）已知函数表如下，求二次拉氏插值多项式 L2(x)。x314y425四（20分）在[－1，1]上，取节点x01,x10,x21，构造插值型求积公式，并求它的代数精度。五（15分）写出线性方程组211x10120x21121x30的雅可比迭代式。六（20分）试确定系数 , , ，使微分方程的数值计算公式yn1 (yn1 yn) h ( yn1 yn)具有尽可能高的局部截断误差。（符号说明： yn1 y(xn1),yn y(xn)）（试卷九）一填空题（每空 4分，共24分）精品文档交流1 已知x1* 1.3409，x*2 1.0125都是由四舍五入产生的近似值， x1* x*2的有效数字是几位。x1x1*11015，x2x2*11015，从而22101511014(x1x2)(x1*x2*)x1x1*x2x2*2故x1*x2*具有4位有效数字。2设Aa12，当a满足何条件时，A可作LU分解。14若A1a10，A24(a1)20，即：a1,a3，则A可作LU分解。23设非线性方程f(x)(x33x23x1)(x3)0，其根x1*3，x2*1，则求x1*的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。f(x)(x1)3(x3)，f(x)(x1)2(4x8)，其迭代式为xn1xn(xn1)(xn3)3xn26xn34xn8.，xn14xn8xn13(xn(3))2en1x(3)8，故(x4xnen2

n1(3)33(n)(3))2n4xn84因此，上述迭代为二阶局部收敛的4设A21，求A，(A)。14A145，AI(3)2，(A)35用积分8dx2ln2计算ln2，为使误差的绝对值不超过1105，问用复化梯形公式至少要2x2取多少个结点。h62ih(i0,1,,n)，作复化梯形求积公式Tn，其误差为，取结点xin2ln2Tnh21(15h2521516103[22)]256，欲使h10，取h，12822562616103，n3103，结点个数n375即可。n8二（21分）设f(x)C5[0,2]，插值条件如下表x012y234精品文档交流y1－11 给出满足上述插值条件的插值多项式 P(x)；2 求其余项 f(x) P(x)；给出f(0.5)，f(1.5)的近似值。设Px)ax4bx3cx2dxe，利用插值条件可得线性方程组(e2，abcde3，16a8b4c2de4，d1，32a12b4cd1利用图形计算器，解此线性方程组可得a1/2，b3/2，c1，d1，e2P(x)1x43x3x2x222令(t)f(t)P(t)k(x)t2(t1)(t2)2，其中k(x)使(x)0,x为异于0，1，2的点(t)在0，1，2，x四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，(t)在[0，2]上有五个互异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点，使(5)()0，亦即0(5)()f(5)()0k(x)5!，故k(x)f(5)()5!f(x)P(x)f(5)()2(x1)(x2)2(0,2)5!x在函数库中建立插值多项式，可求得f(0.5)772.40625，f(1.5)P(1.5)1213.78125P(0.5)3232三（25分）设f(x)C2[a,b]babf()(b1推导中矩公式f(x)dx(ba)f2a)3(a,b)；a242导出复化中矩公式；3利用复化中矩公式，计算定积分21ex2dx（精度为104，并将各次复化的计算结果0精品文档交流排成一张数据表）。abf(a2b)abf()ab2f(x)f(x21!2)(x)2!2babf()(ba)3两边积分有f(x)dx(ba)fa224ba，取结点xiaih(i0,1,,n)，作复化中矩公式hnn1xi1n1h2n1If(x)dxhf(x1)f(i)h0xi24iin12hf(xi1)h[f(b)f(a)]0i224n1hh2复化中矩公式为Rnhf(x1)，其中x1，截断误差为IRn[f()f(a)]xi24bii欲计算定积分21ex2dx，这里f(x)2ex2，f(x)4xex2，0IRnh2[f(1)f(0)]h2[40]h22424e6eIRn6h22h2，欲使h2104，即h6102，可取h510213363620于是nba1020，xiih(i0,1,,20)h1/20119(i1/2)2R20，在HP38G上进行计算可得R200.842787e40010i0四（15分）求常数 A、B、C、D，使解微分方程初值问题y f(x,y)，y(x0) y0的下列数值计算公式精品文档交流yn1Ayn1h(Byn1CynDyn1)（1）yn1f(xn1,yn1)yn f(xn,yn)yn1 f(xn1,yn1)的局部截断误差尽可能地高 (假设（1）式右端所用信息均为准确的 )。由于假定了（1）式右端所用信息均为准确的，从而yn1y(xn1)y(xn)y(xn)hy(xn)h2y(xn)h3O(h4)26yn1f(xn1,y(xn1))y(xn1)y(xn)y(xn)hy(xn)h2O(h3)2ynf(xn,y(xn))y(xn)yn1f(xn1,y(xn1))y(xn1)y(xn)y(xn)hy(xn)h2O(h3)2yn1Ay(xn)y(xn)h(ABCD)y(xn)h2(A/2BD)y(xn)h3(A/6B/2D/2)O(h4)将之与y(xn1)的展开式y(xn1)y(xn)y(xn)hy(xn)h2y(xn)h3O(h4)26相比较，有A1A1ABCD1解得B1/3A/2BD1/2C4/3A/6B/2D/21/6D1/3所求的数值公式为yn1yn1h(1yn14yn1yn1)333五（15分）设AXb为对称正定方程组1求使迭代过程Xk1Xk(bAXk)收敛的数的变化范围；精品文档交流211x102用此法解方程组120x21101x30（取初值X0(0.5,0.6,1)T，给出前6次迭代的数据表）。（第1问提示：考虑使迭代矩阵GIA谱半径(G)1时的取值。）因A为n阶对称正定矩阵，故可设12n0，i是A的特征根，对于迭代Xk1Xk(bAXk)，其迭代矩阵GIA的特征值为1i(i1,2,,n)从而(G)max1i1in(G)1，只需11，即0ai2，02欲使i(i1,2,,n)i因此，只需022即可。(A)12 1 1对于矩阵A 1 2 0 ，利用 HP38G，可求得其特征值为 (A) 3.2469，故1 0 10 0.616不妨取 0.5，于是有迭代式01/21/20Xk11/200Xk1/21/201/2001/21/200.5将1/200存入M1，将1/2存入M2，将迭代初值0.6存入M3，在HOME窗口1/201/201输入迭代式M1*M3+M2?M3，作四次迭代，可出得如下数表kx1x2x300．50．6110．80．750．7520．750．90．77530．83750．8750．762540．818750．918750．850．8593750．9093750．809375精品文档交流6 0．859375 0．9296875 0．834375（试卷十）一填空题（每空4分，共24分）1已知x1*1.3409，x2*1.0125都是由四舍五入产生的近似值，x1*x2*的有效数字是几位。x1x1*11015，x2x2*11015，从而22(x1x2)(x1*x2*)x1x1*x2x2*1015110142故x1*x2*具有4位有效数字。2设Aa121，当a满足何条件时，A可作LU分解。4若A1a10，A24(a1)20，即：a1,a3，则A可作LU分解。23设非线性方程f(x)(x33x23x1)(x3)0，其根x1*3，x2*1，则求x1*的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。f(x)(x1)3(x3)，f(x)(x1)2(4x8)，其迭代式为xn1xn(xn1)(xn3)3xn26xn34xn8.，xn14xn8xn13(xn(3))2en1x(3)8，故(x4xnen2

n1(3)33(n)(3))2n4xn84因此，上述迭代为二阶局部收敛的4设A21，求A，(A)。14A145，AI(3)2，(A)35用积分8dx2ln2计算ln2，为使误差的绝对值不超过1105，问用复化梯形公式至少要2x2取多少个结点。h62ih(i0,1,,n)，作复化梯形求积公式Tn，其误差为，取结点xin2ln2Tnh2[1(1525h215，取h16103128222)]h，欲使10，2562562精品文档交流616103，n3103，结点个数n375即可。n8二（21分）设f(x)C5[0,2]，插值条件如下表x012y234y1－11给出满足上述插值条件的插值多项式P(x)；2求其余项f(x)P(x)；给出f(0.5)，f(1.5)的近似值。设Px)ax4bx3cx2dxe，利用插值条件可得线性方程组(e2，abcde3，16a8b4c2de4，d1，32a12b4cd1利用图形计算器，解此线性方程组可得a1/2，b3/2，c1，d1，e2P(x)1x43x3x2x222令(t)f(t)P(t)k(x)t2(t1)(t2)2，其中k(x)使(x)0,x为异于0，1，2的点(t)在0，1，2，x四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，(t)在[0，2]上有五个互异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点，使(5)()0，亦即0(5)()f(5)()0k(x)5!，故k(x)f(5)()5!f(x)P(x)f(5)()x2(x1)(x2)2(0,2)5!在函数库中建立插值多项式，可求得f(0.5)772.40625，f(1.5)1213.78125P(0.5)P(1.5)3232三（25分）设f(x)C2[a,b]精品文档交流babf()(ba)31推导中矩公式f(x)dx(ba)f(a,b)；a224导出复化中矩公式；3利用复化中矩公式，计算定积分21ex2dx（精度为104，并将各次复化的计算结果0排成一张数据表）。abf(ab)abf()abf(x)2(x)(x2f21!22!2)babf()(b两边积分有f(x)dx(ba)fa)3a224hbaaih(i0,1,,n)，作复化中矩公式n，取结点xiIn1xi1n1f(x1)h2n1f(i)hi0f(x)dxh024i0in12hf(x1)h[f(b)f(a)]i0i224n1hh2[()()]复化中矩公式为Rnhf(x1)，其中x1xi，截断误差为IRnfa224bfii欲计算定积分21ex2dx，这里f(x)2ex2，f(x)4xex2，0IRnh2[f(1)f(0)]h2[40]h22424e6eIRnh2h2h2104，即h6102，可取h51021632，欲使362036于是nba1020，xiih(i0,1,,20)h1/20119(i1/2)20.842787R20e400，在HP38G上进行计算可得R2010i0精品文档交流四（15分）求常数A、B、C、D，使解微分方程初值问题yf(x,y)，y(x0)y0的下列数值计算公式yn1Ayn1h(Byn1CynDyn1)（1）yn1f(xn1,yn1)yn f(xn,yn)yn1 f(xn1,yn1)的局部截断误差尽可能地高 (假设（1）式右端所用信息均为准确的 )。由于假定了（1）式右端所用信息均为准确的，从而yn1y(xn1)y(xn)y(xn)hy(xn)h2y(xn)h3O(h4)26yn1f(xn1,y(xn1))y(xn1)y(xn)y(xn)hy(xn)h2O(h3)2ynf(xn,y(xn))y(xn)yn1f(xn1,y(xn1))y(xn1)y(xn)y(xn)hy(xn)h2O(h3)2yn1Ay(xn)y(xn)h(ABCD)y(xn)h2(A/2BD)y(xn)h3(A/6B/2D/2)O(h4)将之与y(xn1)的展开式y(xn)h2y(xn)34y(xn1)y(xn)y(xn)hhO(h)26相比较，有精品文档交流A1A1ABCD1解得B1/3A/2BD1/2C4/3A/6B/2D/21/6D1/3所求的数值公式为yn1yn1h(1yn14yn1yn1)333五（15分）设AXb为对称正定方程组1求使迭代过程Xk1Xk(bAXk)收敛的数的变化范围；211x102用此法解方程组120x21101x30（取初值X0(0.5,0.6,1)T，给出前6次迭代的数据表）。（第1问提示：考虑使迭代矩阵GIA谱半径(G)1时的取值。）因A为n阶对称正定矩阵，故可设12n0，i是A的特征根，对于迭代Xk1Xk(bAXk)，其迭代矩阵GIA的特征值为1i(i1,2,,n)从而(G)max1i1in(G)1，只需11，即0ai2，02欲使i(i1,2,,n)i因此，只需022即可。(A)12 1 1对于矩阵A 1 2 0 ，利用 HP38G，可求得其特征值为 (A) 3.2469，故1 0 10 0.616不妨取 0.5，于是有迭代式01/21/20Xk11/200Xk1/21/201/20精品文档交流01/21/200.5将1/200存入M1，将1/2存入M2，将迭代初值0.6存入M3，在HOME窗口1/201/201输入迭代式M1*M3+M2?M3，作四次迭代，可出得如下数表kx1x2x300．50．6110．80．750．7520．750．90．77530．83750．8750．762540．818750．918750．850．8593750．9093750．80937560．8593750．92968750．834375（试卷十一）一填空题（每空4分，共24分）1已知x1*1.3409，x2*1.0125都是由四舍五入产生的近似值，x1*x2*的有效数字是几位。x1x1*11015，x2x2*11015，从而2210151(x1x2)(x1*x2*)x1x1*x2x2*10142故x1*x2*具有4位有效数字。2设Aa121，当a满足何条件时，A可作LU分解。4若A1a10，A24(a1)20，即：a1,a3，则A可作LU分解。23设非线性方程f(x)(x3x3x1)(x3)0，其根x1*3，x2*1，则求x*的321近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。f(x)(x1)3(x3)，f(x)(x1)2(4x8)，其迭代式为xn1xn(xn1)(xn3)3xn26xn34xn8.，xn14xn83(xn(3))2en1xxn1(3)8，故(x4xnen2

n1(3)33(n)(3))2n4xn84因此，上述迭代为二阶局部收敛的精品文档交流4设A21，求A，(A)。14A145，AI(3)2，(A)35用积分8dx2ln2计算ln2，为使误差的绝对值不超过1105，问用复化梯形公式至少要2x2取多少个结点。h62ih(i0,1,,n)，作复化梯形求积公式Tn，其误差为，取结点xin2ln2Tnh2[1(1)]5h2，欲使5h21105，取h16103，1282222562562616103，n3103，结点个数n375即可。n8二（21分）设f(x)C5[0,2]，插值条件如下表x012y234y1－11给出满足上述插值条件的插值多项式P(x)；2求其余项f(x)P(x)；给出f(0.5)，f(1.5)的近似值。设Px)ax4bx3cx2dxe，利用插值条件可得线性方程组(e2，abcde3，16a8b4c2de4，d1，32a12b4cd1利用图形计算器，解此线性方程组可得a1/2，b3/2，c1，d1，e2P(x)1x43x3x2x222令(t)f(t)P(t)k(x)t2(t1)(t2)2，其中k(x)使(x)0,x为异于0，1，2的点(t)在0，1，2，x四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，(t)在[0，2]上有五个互精品文档交流异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点，使(5)()0，亦即(5)(5))0f(5)()0()f(k(x)5!，故k(x)5!f(x)f(5)()2(x1)(x2)2(0,2)P(x)5!x在函数库中建立插值多项式，可求得f(0.5)P(0.5)772.40625，f(1.5)P(1.5)1213.781253232三（25分）设f(x)C2[a,b]babf()(b1推导中矩公式f(x)dx(ba)fa)3(a,b)；a224导出复化中矩公式；3利用复化中矩公式，计算定积分21ex2dx（精度为104，并将各次复化的计算结果0排成一张数据表）。abf(ab)abf()abf(x)2(x)(x2f21!22!)2babf()(b两边积分有f(x)dx(ba)fa)3a224hbaaih(i0,1,,n)，作复化中矩公式n，取结点xin1xi1n1h2n1If(x)dxhf(x1)f(i)hi0024i0in12hf(xi1)h[f(b)f(a)]i0224n1h2()()]复化中矩公式为Rnhf(x1)，其中x1xi，截断误差为IRnh[ffa224bii