2014级建工第二学期高等数学课件

设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域区域D内则行走方向是L的正向

一定理1设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数PdxQdy(QP)dxd PdxQdy

x

注:对复连通区域D 括沿区域D的全部边界的曲线积分且边证明:1)若DX-型区域,Y-型区域,yEADCBD:1(x)yyEADCB ax 1(y)x2(D:

cy d则d

Qdxd

dy

2(

o bD d

1( d

Q(2(y),y)dy

Q(1(y),y)dCBEQ(x,y)dyCAEQ(x,y)dCBEQ(x,y)dyEACQ(x,y)d

Qdxdy

Q(x,y)d D

Pdxdy

P(x, D Q

dxdy

PdxQd 若D不满足以上条件,yyL

Q

dxd QPk n

dxd Dk

PdxQd

(Dk表示Dk的正向边界LPdxQd PdxQdy(QP)dxd A2

xdyyLybsin例如Lxacosybsin

A2

xdyyL0

(abcos2absin2)

π的应 1.简化二重积例1计算

ey

dxd

其中DO(0,0)A(1,1)解令P0,Qxey2,QPey2 ,

Dy

ey

dxdy

xey2d xey2d

1yey20

例2.L是一条分段光滑的闭曲线2xydxx2L

dy证P2xy,Qx2QP2x2x ,2xydxxL

dy

0dxdyD3计算

xdy,其 曲线是半径为r的圆在第一象限部分,方向A解引入辅助曲线

LOAAB应 ,P0,QxdxdyLxdyOAxdyABxdyBOD由于OAxdy BOxdyxdydxdy1πr2. 例 设C为沿x2y2a2从点(0,a)依逆时到点(0,a的半圆y2ya2

dxax2yln(x

)C 解:添加辅助线如图,利 yC原式 C

2 2

DCox

2dxd a(2ylna)d

12例5计算

xdyydx其中Lx2y2解P

x2y2

,Q

x2y2

则当x2y20时Q y2 (x2y2 L所围区域为 xdyydx x2y2当(0,0D时,在D内作圆周lx2y2r2,取逆时针方向,LlˉD1对区域D1应用 ,得（r很小 xdy x2y2

xdy x2y21xdy 1Ll

x2y2

0dxdy xdy x2y

xdy x2y2 r2cos2r2sin20 r

d设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G

以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2 LPdxQdy

恒成立就说曲线积分LPdxQdyG与路径无关否则说与路径有关2、平面上曲线积分与路径无关的等价条定理2.设D是单连通域函数P(x,yQ(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:沿DLLPdxQdy0.与路径无关只与起止点有关PdxQdyDu(xy)的全微分 du(x,y)PdxQdDPQ 证明 L1,L2为D内任意两条由A到B线

PdxQdy

121121

PdxQdyLPdxQdL LPdxQdy L

(根据条件 12 PdxQdy12

B说明积分与路径无关时BABPdxQdy

APdxQd证明 B(x,y)C(x,y0在D内取定点AB(x,y)C(x,y0u(x,y)

(x,(x0,y0

x,y xuu(xx,y)u(x, (xx,(x,

(xx,(x,

P(xx,ulimxulimP(xx,y)P(x, uQ(x,y),P(x,yQ(x,y)在D

因此u可微，且duPdxQd证明 uxyduPdxQd uP(x, uQ(x, ,P Q, PQD内具有连续的偏导数,P

所以x 证明

(如图),因此在DP 利 ,LPdxQdy

(QP)dxd 说明

根据定理2PQ, 计算曲线积分时,可选择方便的积分路径求曲线积分时,可利用 若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;可用积分法求duPdxQdy在域D内的原函数取定点x0y0DxyD(x,y u(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)d x0x0

P(x,y0)dx

Q(x,y)d 或u(x,y) Q(x0,y)dy P(x,

说明（4）上述命题中的条件区域是“单连通”不能前面的例5的第二种情况，在复连通区域上满足命题的（4），但不满足命题的条件例6计算L

3y)dx(

xdy,其中L圆周y 4xx2从O(0,0)到A(4,解:为了使用 ,添加辅助线段AO,它与L所围区域为D,则原式LAO

3y)dx(

x)dOA(x

3y)dx(2

x)d4Ddxd

4x2 L0L83

A例7.验证xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求证:设Pxy2,Qx2y,P2xy由定理2可知u(xyduxy2dxx2yd

(x,。。。u(x,y)

(x,y)xy2dxx2ydy y

x2yd

yx2ydy0

1x2y2xdyyd例8验证x2y2

x0数并求出它证:令P

,Q

(x,x2y2P y2

x2y2(x,0(x0 (x,0

(x2y2 由定理2u(x,y)

(x,

xdyydx2y d

0

x0x2y

x

(x0或u(x,y)

x2y2

(x,0y(1,(x,0

(x, d

01y2

x2y2 arctanyarctany

arctan (x0x三、若存在函数u(xy)使duP(xy)dx+Q(xy)dyP(xy)dx+Q(xy)dy0为全微分方程判别P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数 P(xy)dx+Q(xy)dy0为全微分方求原函数u(x

PQ 法1凑微分法 du0得通解为u(xyC例9解(xydxyx)dy=0积分因例10

ydx例11

(y2xy2)dx(x2x2y)dy=0内容小PdxQ内容小

P dxdL

D yPQD内具有一阶连续偏导数LPdxQdyD内与路径无关DL有LPdxQdy D内有xDduPdxQd思考与练41Lx21y21