希尔伯特空间在数学中是欧几里德的一个其不再局

··(DavidHilbert，1862～1943）德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前加里宁格勒）附近的韦劳。中学时代，厚的，灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。18801884年获得博士 柏林通讯，并曾获得施泰讷奖、切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典的米塔格-莱福勒奖，1942年成为柏林荣誉。是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕，他在德国为进行宣传而的《告文明世界书》上签字。期间，他敢干公开文章悼念"敌人的数学家"达布。后，他并纳粹排斥和犹太科学家的政策。由于纳粹的政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的哥廷根学派了，也于1943年在孤独中逝世。空间以·的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了空间。冯·诺伊曼在其1929年的关于界厄米算子的著作中，最早使用了“空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到空间的重要性的数学由尤金·维格纳（Temte:Lang）继续深入。“空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年的著作个物理系统可以被一个复空间所表示，其中的向量是描述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的空间，一般被称为装备空间（riggedHilbertspace）Hx,y。0。任何一个希尔n维得空间的推广，可视为“无限维的得空间”，是泛函分析的重要研究对象之一。在三维得空间中，任何两个向量之间规定了一个内积，它是建立三维得几何学的基法，不仅被推广到n，而且在许多不同的领域，例如积分方由函数构成的无限上去，成为研究有关问题的有力工具。第一个具体的空间最早是由D.在研究积分方程时首先。他在平方可积的无穷实数列{xn}全体所组成的空间l中规定了内积，把空间l看作得空间向无限维的推广，从而有的成果。空间在分析数学的各个领域中有着深厚的根基，内积空间和空xy都对应着一个数（x,y）∈C，并且满足下列条件：①正x∈H，（x,x）≥0，而且（x,x)=0x=0；②x，y，z∈Hα，β∈C，成立（αx+βy，z)=αHx,y的一个内积。定义了x的范数（‖xx的“长度”），这时，H成为一个赋l空间以外，还有勒贝格平方可积函数空间L^2[α,b]（其中内积规定为（f,g）=f(t)g(tf(t)g(t)的共轭（复数域）在(α，b）α，b也可为无限大）。在数学物平行四边形，即对H中任何x、y，H上的某个内积导出的范数。|(x,y)|<=||x||*||y||[1]。交（或直交）x⊥yx⊥y时，成立勾股定理：HxMy，使得||x-MH的闭线性子空间时，z=x-yM正交，即对于闭线性子Mx=y+zz⊥y。这就是投影定理。其中，y称为x在M中的投影（分量）。因为x在M上的投影y是达k≠j时，（ek，ej)=0，则称{ek}是一正交系；含{ek}H，就称{ekH的完备规范正交系。设{ek}H中任一向量xekx在{ek}Σ（x,ek)ek；x在同构（实际上是一种共轭线性同构），H=H*。这个结果在 失完备性（而不像一般的非得空间那样破坏了完备性）。与得空间相仿，空间也是一个内积空间，其上有距离空间还是一个完备的空间，其上所有的列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无地推广到空间中。空间为基于任意正交系上的多项式表示的级概念之一。空间是公设化数学和量子力学的关键性概11简单介22定33常见的例3.23.2序列空445566请参77中研究了空间。冯在其1929年的关于冯可能是最早清楚地认识到空间的重要性的数学由尤金（EugeneWigner）继续深入。“空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年的著作《群与量子力学的理论》[3]（TheTheoryofGroups一个抽象的空间中的元素往往被称为向量。在实际应用个物理系统可以表示为一个复空间，其中的向量是描述系一般被称为装备空间（riggedHilbertspace）导出一个范数（norm）：此空间称为是一个空间，如果其对于这个范数来说是完备的。这里的完备性是指，任何一个列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为。任何一个空间都是空间，但是反之未必。任何有限维内积空间（如得空间及其上的点积）都是特空间。但从实际应用角度来看，无穷维的空间更有价酉群（unitarygroup）偏微分方程的空间理论，特别是雷问题限中的几何语言来描述空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，空间性质最好，也最接近有限的情更一般的空间都是无穷维的，假设是一个任意集合，可其中和是中的任意元素。在这个定义中，并非一定要是可数的，在不可数之情形下，不是可分（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的空间在选定适当的的情况空间是指与一个测度空间相关的函数空间，其中是一个上σ代数的一个子集，而是上一个具有可数可加性的表示上所有在几乎处处（almosteverywhere）意义此时两个函数和的内积表示于空间的著作。空间一般表示为或者是空间的另一