《画法几何与阴影透视》第7章 曲面立体的投影

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画法几何与阴影透视第7章曲面立体的投影7.1曲面立体的投影

7.1.1圆柱体OOAA1（1）形成由矩形（AA1O1O）绕其边（OO1）为轴旋转运动的轨迹称为圆柱体（图7.1（a））。与轴垂直的两边（OA和O1A1）的运动轨迹是上、下底圆，与轴平行的一边（AA1）运动的轨迹是圆柱面。AA1称为母线，母线在圆柱面上的任一位置称为素线。圆柱面是无数多条素线的集合。圆柱体由上、下底圆和圆柱面围成。上、下底圆之间的距离称为圆柱体的高。(2)投影

圆柱体的轴线垂直于某一投影面。将圆柱体的轴线（OO1）垂直于H面，则圆柱面垂直于H面，上、下底圆平行于H面。②投影分析H面投影:为一个圆。它是可见的上底圆和不可见的下底圆V面投影:为一矩形。它是可见的前半圆柱的不可见的后半圆柱投影的重合。W面投影：为一矩形。它是可见的左半圆柱和不可见的右半圆柱投影的重合。①安放位置

画法几何与阴影透视圆柱体特殊线的投影V面投影：两边H面投影:水平直径两端点W面投影：中心线V面投影：中心线H面投影:竖直直径两端点W面投影：两边V面投影：上下两底线H面投影:圆W面投影：上下两底线

画法几何与阴影透视分析圆柱轮廓素线的投影

画法几何与阴影透视(3)圆柱体表面上取点()()A(D)CB【例7.1】

已知圆柱体上A、B、C、D点的一面投影，求它们的另二投影

画法几何与阴影透视7.1.2圆锥体

(1)

形成：由直角三角形（SAO）绕其一角边（SO）为轴旋转运动的轨迹称为圆锥体.另一直角边（AO）旋转运动的轨迹是垂直于轴的底圆；斜边（SA）旋转运动的轨迹是圆锥面。SA称为母线，母线在圆锥面上任一位置称为素线。圆锥面是无数多条素线的集合。圆锥由圆锥面和底圆围成。锥顶（S）与底圆之间的距离称为圆锥的高。6

画法几何与阴影透视(2)

投影

①安放位置将圆锥体的轴线垂直于H面，则底圆平行于H面。H面投影：圆。V面投影：等腰三角形W面投影：等腰三角形②投影

画法几何与阴影透视圆锥体特殊线的投影V面投影：两腰H面投影:水平直径W面投影：中心线V面投影：中心线H面投影:竖直直径W面投影：两腰V面投影：底边H面投影:圆W面投影：底边

画法几何与阴影透视(3)圆锥体表面上取点【例7.2】已知圆锥上1点的V面投影（可见），求另二投影。

画法几何与阴影透视7.1.3圆球体（1）形成半圆面绕其直经（OO1）为轴旋转运动的轨迹称为圆球体。半圆线旋转运动的轨迹是球面，即圆球的表面。

画法几何与阴影透视（2）投影①安放位置

由于圆球形状的特殊性（上下、左右、前后均对称），无论怎样放置，其三面投影都是相同大小的圆。②投影分析

圆球的三面投影均为圆。

画法几何与阴影透视圆球体特殊线的投影V面投影：圆H面投影:水平直径W面投影:竖直直径V面投影:水平直径H面投影:圆W面投影:竖直直径V面投影:竖直直径H面投影:竖直直径W面投影:圆

画法几何与阴影透视（3）圆球表面上取点【例7.3】已知圆锥上1点的V面投影（可见），求另二投影。

画法几何与阴影透视（a′）b′b〞(b)7.1.4圆环体

画法几何与阴影透视7.2平面与曲面立体相交

画法几何与阴影透视7.2.1平面与圆柱相交一对平行直线椭圆圆

画法几何与阴影透视平面截割圆柱

画法几何与阴影透视圆柱截交线求共有点的方法素线法

在圆柱表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；当圆柱的轴线处于特殊位置时，可利用圆柱的积聚性投影求共有点。

画法几何与阴影透视【例7.4】求圆柱截交线7611'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ6'7'6"7"4'5'2'3'2"3"5整理轮廓线。解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；

画法几何与阴影透视【例7.5】求圆柱截交线解题步骤①分析截交线的水平投影为椭圆的一部分，侧面投影为圆的一部分；②求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ；③求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ；④光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；⑤整理轮廓线。

画法几何与阴影透视【例7.6】求圆柱截交线解题步骤①分析截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；②求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；③顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；④整理轮廓线。

画法几何与阴影透视【例7.7】求圆柱截交线解题步骤①分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；②求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；③求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；④光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；⑤整理轮廓线。

画法几何与阴影透视【例7.8】求圆柱截交线解题步骤①分析截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；②求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；③求一般点Ⅴ；④顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；⑤整理轮廓线。3'31'122'4'455'3"2"(5“)1"(4“)

画法几何与阴影透视【例7.9】想象出物体

及其侧面投影的形状

画法几何与阴影透视7.2.2平面和圆锥相交圆椭圆一对相交直线双曲线抛物线

画法几何与阴影透视平面截割圆锥

画法几何与阴影透视圆锥截交线求共有点的方法求圆锥截交线共有点常用的方法为：（1）素线法在圆锥表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；（2）纬圆法在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.

画法几何与阴影透视【例7.10】求圆锥截交线解题步骤①分析截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；②求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；③求出一般点Ⅴ；④光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；⑤整理轮廓线。

画法几何与阴影透视【例7.11】求圆锥截交线解题步骤①分析截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；②求出截交线上的特殊点A、C；③求出一般点B；④光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；⑤整理轮廓线。

画法几何与阴影透视【例7.12】求圆锥截交线解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆和直线的组合，侧面投影为椭圆和梯形的组合；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、；3求出一般点Ⅳ、Ⅴ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。

画法几何与阴影透视【例7.13】分析并想象出圆锥穿孔后的投影

画法几何与阴影透视7.2.3平面和圆球相交圆

画法几何与阴影透视圆球截交线求共有点的方法

纬圆法在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点.

画法几何与阴影透视【例7.14】求圆球截交线①分析截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；②求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；③求出若干个一般点N、R；④光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；⑤整理轮廓线。解题步骤

画法几何与阴影透视【例7.15】求圆球截交线解题步骤①分析截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；②求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ；③求出各段圆弧；④判别可见性，整理轮廓线。

画法几何与阴影透视【例7.16】分析并想象出圆球穿孔后的投影

画法几何与阴影透视【例7.17】分析并想象出物体的投影

画法几何与阴影透视【例7.18】求出物体切割后的投影

画法几何与阴影透视【例7.19】分析并想象出物体切割后的投影

画法几何与阴影透视7.3.1特殊情况当曲面垂直于某一投影面或直线垂直于某一投影面时，可利用积聚性用曲面上取点的方法求出交点。7.3.2一般情况当直线和曲面体的投影都没有积聚性时，只能应用作辅助面的方法来解决，它的解题步骤与求直线与平面立体的交点相类似。

求直线和曲面体的表面交点（相贯点），也就是求直线与曲面体的共有点，其求法可分两种情况。7.3直线与曲面立体相交

画法几何与阴影透视a′b′aba〞b〞【例7.20】求直线与圆柱的贯穿点(特殊情况)

由于对于垂直放置的圆柱有积聚性，所以可以直接求出贯穿点。

画法几何与阴影透视【例7.21】直线与斜圆柱的贯穿点分析：由圆柱的截交线性质知道，平行于轴线的截面截交线为平行四边形。则包含AB作一平行于轴线的平面，即过线上一点作一条轴线的平行线，求出该平面与圆柱的截交线，作出贯穿点。a′b′abm′n′mn

画法几何与阴影透视【例7.22】

求直线与圆锥的贯穿点分析：包含AB直线作特殊平面只能得到一个曲线截交线，作图复杂而且不准确。当截面通过顶点时，截交线为一个三角形。因此，包含顶点及直线AB作一个平面，求出截交线，作出贯穿点。s′a′b′absm′mn′n

画法几何与阴影透视【例7.23】求直线与圆球的贯穿点。采用换面法，将直线变成投影面平行线，包含该直线做辅助平面为新投影面的平行平面，则在新投影面上的截交线为纬圆，求得该纬圆与直线的交点，即为贯穿点。再将贯穿点返回到各投影上。

画法几何与阴影透视7.4平面立体与曲面立体相交(1)相贯线的性质相贯线是平面立体和曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点;不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同;(2)相贯线的形状平面立体与曲面立体相交时，相贯线是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成。各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割曲面体所得的截交线。每一段乎面曲线或直线的转折点，就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点；(3)求相贯线的方法求平面立体与曲面立体的相贯线，就是求平面与曲面体的截交线和直线与曲面回转体表面的交点。作图时，先求出这些转折点，再根据求曲面体上截交线的方法，求出每段曲线或直线。。(4)判别相贯线可见性的原则只有位于两形体都可见的面上的交线是可见的。

画法几何与阴影透视【例7.24】平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影

解题步骤①

分析相贯线的侧面投影已知，可利用利用表面取点法求共有点；②

求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ；③

求出一般点Ⅲ；④

光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；⑤

整理轮廓线。

画法几何与阴影透视【例7.25】

平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影

66"解题步骤①

分析相贯线的水平投影已知，可利用表面取点法求共有点；②

求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；③

求出若干个一般点Ⅳ、Ⅴ；④

光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；⑤

整理轮廓线。

画法几何与阴影透视7.5两曲面立体相交（1）相贯线的性质②不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情况下为平面曲线或直线。①相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。

画法几何与阴影透视曲面立体相贯线的性质图例

画法几何与阴影透视（2）求曲面立体相贯线的方法

求作相贯线时，先求出适当数量的共有点，然后依次光滑连接而成。求共有点的方法是：

（1）若相贯线有一个投影已知，可采用辅助面法或表面取点法作出；

（2）若相贯线有二个投影已知，可采用表面取点法或由二补三的方法作出；

（3）若相贯线的三个投影均为未知，可采用辅助面法作出；

（4）若求轮廓素线上的点，有时须包括轮廓素线作辅助面。表面取点法辅助平面法

画法几何与阴影透视7.5.1辅助平面法

常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。

画法几何与阴影透视求相贯线的一般步骤

(1)分析首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。

(2)

求出相贯线上的特殊点。

(3)

根据需要求出若干个一般点。

(4)

光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性。

(5)

最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。

这里转向轮廓线上的转向点并不都是区别相贯线可见与不可见部分的分界点，只有距离观察者近的一个曲面立体转向线上的点才是区区别可见性的分界点。特殊点：:特殊点有极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。

画法几何与阴影透视【例7.26】求两圆柱的相贯线yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac解题步骤①

分析相贯线的水平投影和侧面投影已知，可利用表面取点法求共有点；②

求出相贯线上的特殊点A、B、C；③

求出若干个一般点D、E；④

光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；⑤

整理轮廓线。

画法几何与阴影透视用水平面作为辅助平面求共有点

画法几何与阴影透视【例7.27】求圆柱与圆锥的相贯线

yyPW1PV14"yy4'PV2PW23"PV3PW35"11'1"2'2"2453'35'用水平面作为辅助平面求共有点解题步骤①

分析相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点；②

求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；③

求出若干个一般点Ⅳ、Ⅴ；④

光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；⑤

整理轮廓线。

画法几何与阴影透视用水平面作为辅助平面求共有点

画法几何与阴影透视【例7.28】求圆球与圆锥的相贯线PW2

PV2PW3PV3PV1yy5"5'3'4'3543"1"12'1'2"2yy4"解题步骤1

分析相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点；2

求出相贯线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；3求出若干个一般点Ⅳ、Ⅴ；4

光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5

整理轮廓线。

画法几何与阴影透视7