第二十章解直角三角形教材分析

第二十章解直角三角形教材分析第1页，共53页，2023年，2月20日，星期三

一、教材地位和内容二、课时安排三、知识结构四、重点、难点和关键五、教学建议提纲六、章节分析第2页，共53页，2023年，2月20日，星期三一、教材地位和内容锐角三角函数的概念是以相似三角形和勾股定理的知识为基础的，它的建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的重要准备。解直角三角形是建立在锐角三角函数的有关基础知识之上的，有广泛的实际应用。解直角三角函数实质上是对直角三角形作定量的研究。即对直角三角形中边与边、边与角之间的制约关系从数量上加以揭示。解直角三角形体现了数形结合，数形结合的桥梁是锐角三角形。解直角三角形提供了一种以计算手段处理几何问题的途径和方法。有些简单的几何图形通过做垂线可分解为直角三角形和特殊的四边形，从而也能用本章知识加以处理；圆中有关半径、弦长及圆的正多边形中的有关问题都可以划归为解直角三角形的问题。高中立体几何、物理学科许多问题也需要通过解直角三角形来解决。解直角三角形的知识在实际生活中有着十分广泛的应用，特别是在测量、建筑学、物理学等方面起着十分重要的作用。解决此类问题的关键是要认真分析题意,善于将已知条件和未知归结到一个三角形中,然后利用直角三角形的知识加以解决。直角三角形是一种抽象的数学模型，一个实际问题要转换为解直角三角形的问题，必须在图形中找到要解的直角三角形。解决这类问题需要进行计算。三角形中的计算和逻辑思维是密不可分的。通过这部分知识的学习，可使学生获得用所学数学知识解决实际问题的成功体验，提升用数学的意识，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。第3页，共53页，2023年，2月20日，星期三二、课时安排本章教学约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：20.1锐角三角函数3课时20.230°、45°、60°角的三角函数值1课时20.3用科学计算器求锐角三角函数值1课时20.4解直角三角形2课时20.5测量与计算4课时小结与复习（测试）

2课时第4页，共53页，2023年，2月20日，星期三三、知识结构直角三角形的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题本章知识展开顺序第5页，共53页，2023年，2月20日，星期三解直角三角形核心知识核心方法核心思维核心能力整体把握锐角三角函数解直角三角形数形结合转化运算、建模特殊到一般第6页，共53页，2023年，2月20日，星期三教学目标1.探索锐角三角函数的概念的形成过程，认识锐角三角函数概念，在直角三角形中能利用定义表示直角三角形的两边比。2.经历求特殊锐角三角函数值的过程，知道300、450、600角的三角函数值。3.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。4.能用锐角三角函数值解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。5.结合实际问题情景认识仰角、俯角、坡角等与测量有关的术语。6.通过本章的学习，进一步认识函数，体会函数中变化与对应的思想；进一步感受数学与实际生活的联系。第7页，共53页，2023年，2月20日，星期三考试内容考试要求ABC锐角三角形1.理解锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）的概念；2.知道30°，45°，60°角的三角函数值.1.能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形；2.能利用锐角三角函数的有关知识解决一些简单的实际问题

.运用直角三角形的有关内容解决有关问题解直角三角形理解解直角三角形的概念.

1.会解直角三角形；2.能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形.2017年中考说明第8页，共53页，2023年，2月20日，星期三锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。特殊锐角的三角函数值也非常重要，应该让学生牢记。1.锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键；2.运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题。四、重点、难点和关键重点：难点和关键：第9页，共53页，2023年，2月20日，星期三五、教学建议锐角三角函数感念是学习本章的关键。它反映的是角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而更好的利用这些关系解直角三角形。（一）重视概念教学第10页，共53页，2023年，2月20日，星期三让学生经历概念的形成过程正弦函数的值在本质上是一个“比值”，结合图引导。如图：①正弦函数是一个比值；②这个比是∠α的终边上任意一点的纵坐标与这点到原点的距离的比值；③这个比值随∠α的确定而确定，与点在∠α的终边上的位置无关。

紧扣函数这一概念，让学生找出上述“比值”中的自变量、函数以及它们的对应规律（自变量是∠α，函数是“比”。之所以将这个“比”叫做∠α的函数，是因为对于∠α的每一个确定的值，都有一个确定的比值与之相对应。）第11页，共53页，2023年，2月20日，星期三（二）紧密联系实际，培养用数学的意识。同一图形，不同情境┌102页91页第12页，共53页，2023年，2月20日，星期三（三）加强知识间的纵向联系（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系（勾股定理）第13页，共53页，2023年，2月20日，星期三（四）重视基本图形教学，注意数形结合。CBAD┌300450┌600450ABCD┌300600ABCDABC600450D┐300450┌CBAD300600ABCD┌第14页，共53页，2023年，2月20日，星期三关于引例的思考

体现测量物高的多样性：1.可由相似的知识得到；2.可由解直角三角形的知识得到。最重要的目的：感受数学知识来源于生活，反之又可以解决生活中的问题。六、章节分析第15页，共53页，2023年，2月20日，星期三20.1锐角三角函数（3课时）课题引入从实际需要（测高）的实质，由角求边，和数学内部（以前学过边边关系、角角关系，那么边角之间有关系吗？）两方面引入。定量概括由特殊到一般，由熟悉的30度直角三角形入手，到45度，到一般角度，边的比值确定。比值的确定性，引入定义，然后辨析及概念应用。第16页，共53页，2023年，2月20日，星期三规律一：当∠A的大小不变时，比值也是不变的规律二：当∠A的大小变化时，比值也跟着变化对边与斜边的比值随∠A的变化而变化一个变量（锐角的对边与斜边的比值）随另一变量（锐角大小）的变化而变化我们把锐角∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦记作：sinA=对于每一个确定的X（锐角大小）Y（锐角的对边与斜边的比值）都有唯一确定的值与之对应体会变化与对应的函数关系第17页，共53页，2023年，2月20日，星期三

sinA=4.２sinA尽量不写成sinA•２根据直角三角形定义，依赖于形，超越于形，与边长大小无关.分析提升认识1.sinA是∠A的函数，也就是说对于每一个∠A都有唯一确定的值sinA和它对应。2.在这个函数中，变量A是一个角度，另一个变量sinA是一个比值，而函数法则是边之间的关系，此函数沟通了直角三角形中边、角之间的关系。3.学生对表示符号的认识需要一个过程：sinA不是sin与A的乘积；如sinA，不写sin∠A；∠APB的正弦写sin∠APB，不写sinAPB。5.第18页，共53页，2023年，2月20日，星期三锐角的正弦是本章的起点，同时又是重点。锐角的正弦概念的建立应让学生经历一个从特殊到一般的认识过程。20.1.1锐角三角函数---正弦直角三角形中，三条边组成六个比，其比值都是固定不变的，因有倒数关系，故只研究其中的三个就够了。第19页，共53页，2023年，2月20日，星期三例1.已知：在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AC=3，BC=4，求sinA和sinB的值．例2.已知:如图，在△

ABC中，CD是AB

边上的高，CD=12,AD=9,BD=5,求:sinA、sin∠ACD、sinB、sin∠BCD的值.第20页，共53页，2023年，2月20日，星期三可以进行变式训练，将题中的图去掉，由学生画图完成。那么将涉及到高在三角形内与外的区别。（分类讨论）高在内高在外例2的变式练习第21页，共53页，2023年，2月20日，星期三例3：已知：在△ABC中，∠C=90°，sinA=，求sinB的值。练习1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值（）

A.没有变化 B.扩大2倍

C.缩小2倍D.不能确定2.在△ABC中，∠C=90°，BC=5,AB=13,那么sinA的值等于（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第22页，共53页，2023年，2月20日，星期三4.在△ABC中，C=90°则BC∶AC的值等于（）

A.3∶4B.4∶3C.3∶5D.4∶55．在Rt△ABC中，∠C=900，a：b=1：，则c=

a，sinA=

，sinB=

；

6．在Rt△ABC中，∠C=900，a=,三角形的面积为,则斜边长是

，sinA=

；第23页，共53页，2023年，2月20日，星期三20.1.2锐角三角函数---余弦、正切可以让学生类比正弦函数的研究方法，更好的体会函数思想。第24页，共53页，2023年，2月20日，星期三教材80页交流2.利用几何画板验证一般锐角三角函数值的变化规律及范围；3.让学生尝试从理论上说明猜想的正确性。关于确定函数值范围的建议：1.引导学生经历从特殊角的函数值猜想一般锐角三角函数值的变化规律；第25页，共53页，2023年，2月20日，星期三80页例3例4教材81页例4的说明：本例题运用了等角代换的方法，将所求角从一个直角三角形中转移到另一个直角三角形中，从而使计算简单。尝试让学生在一题多解的方法中体会三角函数的简洁，体会等角的三角函数值相等。这种思想在将来的习题中，特别是圆中，经常会用到，所以教学时要加强重视。第26页，共53页，2023年，2月20日，星期三通过教学使学生逐步形成“锐角三角函数值是直角三角形中的两条边的比值”的认识：由直角三角形中两条边的比，可以求得这个锐角的三角函数值；反之，已知一个锐角的三角函数值，就可以得到这个角所在直角三角形中两条边的比。培养学生逆向思维第27页，共53页，2023年，2月20日，星期三逐步帮助学生总结求一个锐角的三角函数值的几种常用思路（1）直接用定义求锐角三角函数值（P78例2）（2）设参数后用定义求锐角三角函数值（P80例3（2）)（3）转化为等角后用定义求锐角三角函数值（P81例4）（4）构造直角三角形后用定义求锐角三角函数值（P82练习3）20.1.3锐角三角函数第28页，共53页，2023年，2月20日，星期三练习1已知：如图，△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC上一点，AD:DC=1：2

（1）求∠ADB的三角函数值。（2）求∠DBC的三角函数值。练习2如图，在△ABC中∠A=30°,tanB=,AC=2求AB第29页，共53页，2023年，2月20日，星期三一个三角板为Rt△ABC，∠B=90°,∠C=30°,另一个三角板为Rt△DEF,∠D=90°,∠E=45°,现摆放这两个三角板，使BC边与EF边重合，点C与点E重合，请计算∠BDA的正切值。（某些非特殊角的三角函数值）（补充）直角三角板的组合问题-----分类讨论DBCABADC第30页，共53页，2023年，2月20日，星期三20.230°、45°、60°角的三角函数值借助三角板或画图推导特殊角的三角函数值并要求熟记。

利用图形或表格记忆特殊角的三角函数值。(数形结合)明确这些含特殊角直角三角形边的关系是关键.第31页，共53页，2023年，2月20日，星期三三角函数30°45°60°表格功能可挖掘第32页，共53页，2023年，2月20日，星期三这部分的相关计算题是中考会涉及到的，应多加练习。计算含特殊角的三角函数式的值。82页例1

由已知特殊角的三角函数值求对应的锐角.

要求82页例1第33页，共53页，2023年，2月20日，星期三练习：如图,p是∠α的边OA上一点,且p点坐标为(3,4),则sinα=cosα=oxyP3

4(3,4)αA第34页，共53页，2023年，2月20日，星期三20.3用科学计算器求锐角三角函数值（1课时）会用计算器求三角函数值和给出函数值求角度。重在借助计算器探索三角函数的性质的过程中，体会计算器可以帮助我们做数学。建议第35页，共53页，2023年，2月20日，星期三20.4解直角三角形（2课时）这里需要确认：1.解直角三角形实质上是对直角三角形作定量的研究，即对直角三角形中边与边、边与角之间的制约关系从数量上加以揭示。2.解直角三角形体现了数形结合，数形结合的桥梁是锐角三角函数。3.解直角三角形提供了一种以计算手段处理几何问题的途径和方法，是解决许多问题的工具。4.解直角三角形在实际问题中的应用需要培养学生简单的数学建模的思想。5.解直角三角形的理论依据是：直角三角形中的边角关系，这一点需要学生有明确的认识！第36页，共53页，2023年，2月20日，星期三直角三角形中有3边3角6个元素，由直角三角形中已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。引入问题这6个元素中怎样尽可能给出少的元素就可以求出其它的未知元素？①已知一直角边和一个锐角；②已知两直角边；③已知斜边和一个锐角；④已知斜边和一直角边；已知两边；已知一角一边。其它形式上不同的问题都可以归结到这两种情况。总结出四大类最后归纳出两种情况第37页，共53页，2023年，2月20日，星期三解直角三角形的关键是恰当选择关系式，把已知和未知联系起来。解直角三角形主要依据Rt△ABC中，∠C=90°,1.角的关系：两锐角互余（∠A+∠B=90°）2.边边关系：勾股定理（）3.边角关系：锐角三角函数4.面积关系：第38页，共53页，2023年，2月20日，星期三一个直角三角形的求解问题有斜用弦，无斜用切，宁乘毋除，取原避中。第39页，共53页，2023年，2月20日，星期三20.4.1解直角三角形给基本元素求解直角三角形P88例1例2将已知中的非基本元素转化为基本元素后再求解直角三角形P89例3第40页，共53页，2023年，2月20日，星期三例1已知:在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=60°,a=15，解这个直角三角形．变式1：已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=15,c=30,解这个直角三角形．变式2：已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,

，解这个直角三角形.

第41页，共53页，2023年，2月20日，星期三例3已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,,,解这个直角三角形.变式：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB,∠B=600,CD=2,求AB第42页，共53页，2023年，2月20日，星期三20.4.2解直角三角形P90例4变式练习：在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝60°，求BC的长.思路：作AE⊥BC于点E.Rt△ABE，可解，求出AE、BE，使Rt△ABE可解BCA第43页，共53页，2023年，2月20日，星期三练习1已知Rt⊿ABC中，∠C=900AC=6,∠A的平分线AD=

,解这个三角形.练习2在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6,,求菱形ABCD的周长.第44页，共53页，2023年，2月20日，星期三20.5测量与计算（4课时）

4课时：4个例题一个例题1课时。(练习册)91页例1：测高问题（底部可到达）（仰角、俯角）。93页例3：航海中的探索问题（方位角）。92页例2：修路筑坝问题（坡度、坡角）。94页例4：测高问题（底部不可到达）。第45页，共53页，2023年，2月20日，星期三实际问题明确术语30°45°BOA东西北南第46页，共53页，2023年，2月20日，星期三重视基本图形的归纳和总结第47页，共53页，2023年，2月20日，星期三章首页引例：用测角仪测量计算纪念碑的高；P91例1：用测角仪测量计算学校旗杆的高;P94例