计量经济学需要用到的预备知识

计量经济学需要用到的预备知识西北政法大学经管学院第1页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院平均数的种类

算术平均数

数值平均数 调和平均数几何平均数 众数

位置平均数

中位数第2页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院算数平均数的分类简单算术平均数加权算术平均数第3页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院1简单算术平均数总体各单位的标志值没有经过分组计算公式式中：——算术平均数

X——各单位的标志值

n——总体单位数

——总和符号第4页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院例：某生产小组有5名工人，生产某种零件，日产量（件）分别为12、13、14、14、15，则平均每个工人日产零件件数为：

(12+13+14+14+15）/5=13.6（件）第5页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院2加权算术平均数总体各单位的标志值经过分组计算公式式中：——算术平均数

X——各组数值

f——各组数值出现的次数(即权数)第6页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院变量的权数有两种形式：以绝对数表示，即次数或者频数以比重表示，称频率第7页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院例：某厂工人生产情况（以比重表示）工人按日产量分组(X)工人人数X*(f/∑f)绝对数(f)频率f/∑f2010.020.402140.081.682260.122.642380.163.6824120.245.7625100.205.002670.143.642720.041.08合计501.0023.88工人平均日产量=X*(f/∑f)=23.88（件）第8页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院权数的含义各组频数F在均值的计算中起着“权衡轻重”的作用，故而将其称之为“权数”。在各组变量值（X）一定的情况下，频数或频率大的那一组的变量值对均值的影响大，频数或频率小的那一组的变量值对均值的影响小。第9页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院三、调和平均数

又称“倒数平均数”，是各个变量值倒数的算术平均数的倒数第10页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院四、几何平均数又称“对数平均数”，是若干项变量值连乘积开其项数次方的算术根1.简单几何平均数的计算公式计算时要进行对数变换，即：第11页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院注意：无论是算术平均、调和平均还是几何平均，都有一个缺点，即容易受极端值的影响。其中算术平均数最容易受极端值的影响。1000元1200元1200元4600元四个人的工资这个平均工资合适吗？为什么？平均工资2000元第12页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院五、众数M0概念：众数是在总体中出现次数最多的那个标志值如某种商品的价格变化；皮鞋尺码由定义可看出众数存在的条件：第13页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院M0M0M0M0M0若有两个次数相等的众数，则称复众数①只有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才存在众数第14页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院下三图无众数：②在单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时，计算众数是没有意义的。第15页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院六、中位数Me概念：将总体中各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的那个标志值就是中位数如人口年龄的中位数1由未分组资料确定中位数第16页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院n为奇数时，则居于中间位置的那个标志值

就是中位数第17页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院n为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术平均数为中位数第18页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院标志变动度一、概念和作用概念：标志变动度是指总体中各单位标志值差别大小的程度，又称离散程度或离中程度作用：

①标志变动度是评价平均数代表性的依据

第19页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院甲、乙两学生某次考试成绩列表甲、乙两学生的平均成绩为80分，集中趋势一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据分布越集中，平均数的代表性越大语文数学物理化学政治英语甲959065707585乙1107095508075第20页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院②标志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度供货计划完成百分比(%)季度总供货计划执行结果一月二月三月钢厂甲100323434乙100203050第21页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院测定标志变动度的方法全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.标准差 S.D.(σ)离散系数 Vσ第22页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院1.全距R概念：总体各单位标志值最大值和最小值之差特点：计算方便，易于理解只考虑数列两端数值差异，它是测定标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各单位标志的变异程度第23页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院2.四分位差Q.D.概念：将总体各单位的标志值按大小顺序排列，然后将数列分为四等分，形成三个分割点(Q1、Q2、Q3)，这三个分割点称为四分位数，(其中第二个四分位数Q2就是数列的中位数Me)。四分位差Q.D.=Q3-Q1Q1Q2Q3第24页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院第25页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院例：第26页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院3.平均差A.D.概念：是数列中各单位标志值与平均数之间绝对离差的平均数第27页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院4.标准差S.D.(σ)第28页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院未分组例：有两个不同水平的工人日产量资料：甲组：60，65，70，75，80乙组：2，5，7，9，12分别求标准差？第29页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院第30页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院5离散系数Vσ概念：是各种变异指标与平均数的比率。反映总体各单位标志值的相对离散程度，最常用的是标准差系数计算公式：第31页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院第32页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

一般地，设总体参数为，L、U为由样本确定的两个统计量值，对于给定的（0<<1），有则称（L，U）为参数的置信度为1-的置信区间，L、U分别称为置信下限与置信上限，为显著性水平，1-为置信度。置信区间第33页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

2、

1-可以认为是用样本估计值代替总体真值时误差在某一范围内的“可能性”，则可认为是这种替代产生的抽样极限误差超过这一范围的“可能性”。

注意：

1、置信区间的直观意义为：多次抽样形成的多个置信区间中，有(1-)100%包含总体参数真值。/2/2第34页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

（一）总体均值的区间估计1、总体方差已知，正态总体均值的区间估计对总体方差已知的正态总体，可以通过标准正态分布估计点估计的误差范围：分总体方差已知与未知两种情况讨论：第35页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院给定置信度1-，可由标准正态分布表查得临界值Z/2，使得从而可得置信度为1-时总体均值的置信区间：或(excel)第36页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

在大样本下（>=30），不论总体分布形式如何，均可用上述方法进行总体均值的区间估计，这时，如果总体方差未知，则直接用样本方差代替。▼注意：

如果假设总体均值及方差未知，一次容量为30的抽样的样本均值及方差分别为51814与3347.72,由于是大样本，则可求置信度为95%的置信区间如下：第37页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

2、小样本下总体方差未知时，正态分布总体均值的区间估计

如果是小样本，但总体为正态分布，在总体方差未知而需用样本方差代替时，则下式服从自由度为n-1的t分布。第38页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

▼注意：如果小样本下总体分布非正态，则无法进行区间估计，唯一的解决方法就是增大样本。从而可得置信度为1-时总体均值的置信区间：或于是，给定置信度为1-，可由t分布表查得临界值t/2(n-1)，使得第39页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院当F(t)=68.27%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的1倍(t=1)当F(t)=95.45%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的2倍(t=2)当F(t)=99.73%时，抽样极限误差等于抽样平均误差的3倍(t=3)抽样误差范围的实际意义是要求被估计的全及指标或P落在抽样指标一定范围内，即落在或的范围内。第40页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院总体均值区间估计程序n>=30?知否？用s代替总体是否接近正太分布？知否？用s代替增大样本容量至n>=30yesNoyesNoyesyesNoNo第41页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院抽样推断的精确度和可靠程度置信区间反映了估计的精确性。置信区间越大，允许的误差范围越大，说明估计的精确性越低，反之亦然。置信度反映参数估计的可靠程度。置信度越大，估计可靠程度就越大，反之亦然。一般说来，在样本容量一定时，精确度和置信度是相互矛盾的。置信度增加，置信区间必然增大，精确度就降低；若精确度提高，则置信区间缩小，置信度必然减小，估计的可靠程度降低第42页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院同时提高置信度和精确度的方法通过增加样本容量。先考虑估计的可靠性，在区间估计不低于某个置信度的前提下，尽可能提高精确度第43页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院第44页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

一、假设检验(HypothesisTesting)问题的提出有许多实际问题，需要通过部分信息量，对某种看法进行判定或估计。

例1、某企业生产一种零件，以往的资料显示零件平均长度为4cm，标准差为0.1cm。工艺改革后，抽查100个零件发现其平均长度为3.94cm。问：工艺改革后零件长度是否发生了显著变化？

假设检验的一般问题假设检验第45页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院例2、某厂有一日共生产了200件产品，按国家标准，次品率不得超过3%才能出厂。现从该批产品中随机抽取10件，发现其中有2件次品，问这批产品能否出厂。第46页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院例1要判明工艺改革后零件平均长度是否仍为4cm；例2要判明该批产品的次品率是否低于3%。进行这种判断的信息来自所抽取的样本这两个例子中都是要对某种“陈述”做出判断：第47页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设

假设检验分两类：（1）参数假设检验；（2）非参数检验或自由分布检验。第48页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

1、假设检验采用的逻辑推理方法是反证法为了检验某假设是否成立，先假定它正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设；

二、假设检验的基本思想第49页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院2、判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的即在一次抽样中，小概率事件不可能发生。如果在原假设下发生了小概率事件，则认为原假设是不合理的；反之，小概率事件没有发生，则认为原假设是合理的。第50页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院因此，置信度大小的不同，有可能做出不同的判断。

3、假设检验是基于样本资料来推断总体特征的，而这种推断是在一定概率置信度下进行的，而非严格的逻辑证明。第51页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

1、提出原假设(nullhypothesis)和备择假设(alternativehypothesis)

原假设为正待检验的假设：H0；备择假设为可供选择的假设：H1

一般地，假设有三种形式：

（1）双侧检验：

H0:0;H1:0

（2）左侧检验：

H0:0;H1:<0

或

H0:0;H1:<0

（3）右侧检验：

H0:0;H1:>0

或

H0:<=0;H1:>0

三、假设检验的步骤第52页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

2、选择适当的统计量，并确定其分布形式

统计量是根据所涉及的问题而定的，如总体均值、比例（率）可选取正态分布的Z或t统计量等。第53页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

3、选择显著性水平或置信度，确定临界值显著性水平为原假设为真时，样本点落在临界值外的概率（即抽样结果远离中心点的概率，它为小概率），也是原假设为真时，拒绝原假设所冒的风险。临界值将样本点所落区域分为拒绝域与接受域，临界值“外”为拒绝域，“内”为接受域。第54页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院通过样本计算统计量的具体值，与临界值比较，根据落入拒绝域或接受域的情况来拒绝或接受原假设。

4、作出结论第55页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

由于假设检验是根据有限的样本信息来推断总体特征，由样本的随机性可能致使判断出错。

（一）第一类错误当原假设为真时，而拒绝原假设所犯的错误，称为第I类错误或拒真错误。易知犯第I类错误的概率就是显著性水平:

四、假设检验中的两类错误第56页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院（二）第二类错误当原假设为假时，而接受原假设所犯的错误，称为第II类错误或采伪错误。犯第II类错误的概率常用表示:第57页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院假设检验中的四种可能情况

H0为真H0不真接受H0GoodBad/TypeIIerror拒绝H0Bad/TypeIerrorGood第58页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院1犯第一类错误与犯第二类错误的概率存在此消彼长的关系2、若要同时减少与，须增大样本容量n。3、通常的作法是，取显著性水平较小，即控制犯第一类错误的概率在较小的范围内；

4、在犯第二类错误的概率不好控制时，将“接受原假设”更倾向于说成“不拒绝原假设”。注意：第59页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

一、总体均值的假设检验（一）总体方差已知，正态总体，样本大小不限如果总体X~N(,2)，在方差已知的情况下，对总体均值进行假设检验。由于总体均值、比例和方差的假设检验因此，可通过构造Z统计量来进行假设检验：第60页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

注意：如果总体方差未知，且总体分布未知，但如果是大样本（n>=30），仍可通过Z统计量进行检验，只不过总体方差需用样本方差s替代。第61页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院(一)双边检验H0:μ=μ0；H1:μ≠μ0第62页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院某种产品的直径为6cm时，产品为合格，现随机抽取100件作为样本进行检查，得知样本平均值为6.1cm，现假设标准差为0.2cm，令α=0.05，检验这批产品是否合格。例第63页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院(二)单边检验第64页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院根据过去学校的记录，学生的统计学考试的平均分数为65分，标准差为16分。现在学校改革了教学方法，经抽取64名学生作调查，得平均分数为69分，问平均分数有无显著提高？(α=0.05)例1第65页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院某工厂生产瓶装1千克的某饮料，标准差为0.02千克，现随机抽取36瓶进行检验，得平均重量为0.9962千克，问能否相信该厂生产的饮料每瓶重量为1千克。(α=0.05)例2第66页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

（二）总体方差未知，正态总体，小样本注：如果总体分布也未知，则没有适当的统计量进行假设检验，唯一的解决办法是增大样本，以使样本均值趋向于正态分布，从而再采用Z统计量。

这时只能用t统计量进行假设检验：第67页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

二、总体比例的假设检验大样本下，样本比例趋向于正态分布，因此可通过构造Z统计量的方法进行假设检验：注：1如果总体比例P未知，可用样本比例p替代2、Z统计量只适合大样本情况下的总体比例检验。第68页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院假设检验中的其他问题

一、区间估计与假设检验的关系

1、区别：

区间估计是依据样本资料估计总体的未知参数的可能范围；

假设检验是根据样本资料来检验对总体参数的先验假设是否成立。第69页，共75页，2023年，2月20日，星期四西北政法大学经管学院

区间估计立足于大概率，通常以较