二次函数中面积比例问题(解析版)

一、方法突破

面积比例问题大部分题目的处理方法可以总结为两种（1）2）策略一：运用比例计算类策略二：转化面积比、、C和△ACD面积之比．AAB D C转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则S

:S BD:CD．ABD ACDAB D H CAAD交于点，则

:S BM:CNBE:CE．ABD ACDANANEDBM策略三：进阶版转化在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有8”字型线段比．字型线段比：S :S BD:CDBA:AM．ABD ACDAMAB D C“8”字型线段比：S :ABD

BD:CDAB:CM．ACDADB ADM转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：S

:S BD:CDBM:CN．ABD ACDANDANDM1面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行．二、典例精析例一：yax2bxc(a0)MA(3,7)B(3,m的直线交抛物线的对称轴于点C．AB的解析式．在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点，是否存在点D，使得求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

DAC

2S

DCM

？若存在，yyMBCOxA【分析】Ayx22x8．当=3时，=5，故点B坐标为3,5，∴直线AB=2-1． 铅垂法表示△ACD D坐标为m22m8DABP点，P点坐标为m1S 14ACD 2

m29

2m218，面积公式表示△MCD的面积：DMCSMCD

1MCDQ181m4m42 2S 2S ，2m21824m4DAC DCM=5或-1．考虑D点在、M之间的抛物线上，故=-1．D点坐标为（-1,．例二：如图抛物线经yax2bxc过点A(1,0)，点C(0,3)，且OBOC．求抛物线的解析式及其对称轴；P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．yyCOBAxPyx22x3，对称轴为直线连接可将四边形CBPA分为△CAP和即S :CAP共底边记CP与x轴交于点则S :S AM:BMCAP CBP

CBP

3:5

:CAP

CBP

5:3．考虑△CAP和△CBP2yyCOBAMxPM坐标为3,0、M坐标求解直线CMy2x3， 2 2联立方程：x22x32x3，解得：x0（舍，x 4．故P点坐标为4-．1 2M坐标为1,0、M坐标求解直线CMy6x3， 2 2x22x36x3x1

0（舍，x2

8．故P点坐标为8-4．yyMDQBCOxPA例三：如图，抛物线yax22xc(a0)与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧，与y轴交于点COBOC3．求该抛物线的函数解析式．（2）BCD是直线BC上方抛物线上的点，连接ODCDODBC于点FS S 3:2D的坐标．COF CDFyyCDFA OBx（1）解析式：yx22x3显然△COF和△CDFOF:DF思路1：转化底边之比为“A”字型线段比

:COF

CDF

3:2，在y轴上取点（0，5（为何是这个点？因此此时O：C=3：2）过点E作BC的平行线交x轴于G点，3yyED1CD2FA OBGxEG与抛物线交点即为所求D点，根据平行线分线段成比例，OFFD=OC2．直线EG解析式为：x22x3x5，解得：x1，x 2．故D点坐标为（1，）或（2，3．1 2思路2：转化底边之比为“8”字型线段比yyCDFGAOBxDBC边于点OFOC，故点G即可．这个问题设D点坐标即可求解．FD DG也可以构造水平“8DBCOFOBFD DG水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．yyCDGFAOBx其实本题分析点的位置也能解：53D坐标为m22mF点坐标为3m3m26m9，5 5 5 5m+ 点F在直线BC上，将点坐标代入直线BC解析式3 2 6 93m3，解得m1，m+

2，5 5 5 5 1 2故D点坐标为（1，4）或2，3．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D点坐标如何得到F点坐标．三、中考真题对决1Oly1x2xyA、CB(4,2)l的对称点是点2EECxD．ADCD；B、CD三点的抛物线的函数表达式；x0时，抛物线上是否存在点P

PBC

53

OAE

？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．4（1）证明：

y1x2xyA、C两点，A(4,0)C(0,2)，由对称得ACDACB，2B(4,2)，四边形O4BC是矩形，OA//BC，BCAOAC，ACDOAC，ADCD；解：设ODm，由对称可得CEBC4AEABOC2AEDB90，CDAD4m，3 3在RtOCD中，OD2OC2CD2，m222(4m)2，m ，D( ，0)，2 2B、CDyax2bxcB(4,2)C(0,2)D30)代入得：2 a8c2

1516a4b16a4bc2，解得：b ．经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y x2 x29 3

15 15 15 a bc0 c24 2 EEMxM，EDECCDECADOD3，S

1AEDE1ADEM，1231(43)EM，EM6，2PBCBC边上的高为h，

AED

2 2 2 2 2 2 5SPBC

53

OAE

，51OAEM1BCh，514614h，h2，3 2 2 3 2 5 2C(0,2)B(4,2)，P04，8 32 3 5①y0时， x2 x20，解得：x ，x ；15 15

1 2 2 28 32

4 31 4 31②y4时， x2 x24，解得：

，x （舍去，15 15

3 2 2 2存在，点P的坐标为(3，0)或(5，0)或(4

，4)．2 2 22．抛物线yx2bxc经过点A(3,0)和点C(0,3)．求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；若过顶点D的直线将ACD的面积分为1:2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 ．b 4acb2注：抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标( , )2a 4a5（1）yx22x3(x124，顶点D(1,4)．（2）ACEFDEDFx轴于点Q、Q1 2

，则：SDAE

:SDEC

1:2，

DAF

:SDFC

2:1，A(3,0)，点C(0,3)，E(2,1)F(1,2)，DFx轴于点Q，Q(1,0)，2 2DEykxb(k0)D(1,4)E(2,1)kb42kb1

，解得：k3，b7 DEy3x7y0x7，Q(70)．Q(70)

(1,0)．

3 1 31 3 2如图，点AByOA、OB．

x2AB、4AByC，连接4AB的函数表达式；1求AOB的面积；1若函数y x2的图象上存在点P，使PAB的面积等于AOB的面积的一半，则这样的点P共有 个．41解（1）点A、B在y x2的图象上，A、B的横坐标分别为24，14A(2,1)，B(4,4)，设直线AB的解析式为ykxb，2kb1

k1 1

，直线AB为y x2；4kb4

b2 2（2）y1x2x0y2，C的坐标为(0,2)，OC2，2SAOB

SAOC

SBOC

12212462 26（3）过OCABPPPABPAB的面积等于AOB的面积的一半，

1 2 1 2PPABPPPABPABAOB12 3 4 3 4的面积的一半，P44．yax2bx3A(1,0)B(3,0)y轴交于点CP为第二象限内抛物线上一点．求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；如图，连接PB，PO，PC，BC．OP交BC于点D，当S :S 1:2时，求出点D的坐标．CPD BPD（1）将点(1,0)和点B(3,0)代入函数解析式，ab30 a1可得 ，解得： ，yx22x3，9a30 b2又yx22x3(x4，抛物线的顶点坐标为(1,4)；（2）如图，过点D作DMy轴，yx22x3x0y3，C点坐标为(0,3)，BCykxbB(3,0)C(0,3)代入，3kb0k1，BCyx3，b3 b3S :S

1:2，

1，

2，CPD

BPD

BD 2 BC 3又DMy轴，DM//OB，

BD

2，

2OM2，OC BC 3 3 37在yx3中，当y2时，x1，D点坐标为(1,2)．如图，已知抛物线yax2bxcxA(3,0)ByC(0,2)，对称轴是直线x1，连接AC．求该抛物线的表达式；B的直线l与抛物线相交于另一点D，当ABDBAC时，求直线l的表达式；（3）（2）Dx轴下方时，连接ADy轴左侧的抛物线上存在点PSBDP

32

ABD

．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（1）抛物线的对称轴为x1，

b1，b2a，2a点C的坐标为(0,2)，c2，yax22ax2，A(3,0)在抛物线上，9a6a20，a2，b2a4，3 32 抛物线的解析式为y x2 x22 3 3Dx1BDACE，ABDBAC，AEBE，直线x1AB，Ex1上，点A(3,0)，C(0,2)，直线AC的解析式为y2x2，当x1时，y4，点E( 4，1, )3 3 3A(3,0)Bx1对称，B(1,0)，BDy2x2，3 3即直线l的解析式为y2x2；3 3Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，ABDBAC，BD//AC，ACy2x2，BDy

2x2，即直线ly

2x2；3 3

3 3 3综上，直线ly2x2y2x2；3 3 3 3由（2）BDy

2x2①，3 32 4 x

x4 10抛物线的解析式为y x2 x2②， 或 10，D(4, )，SABD

1AB|y2

3 31410202 3 3

y0 y3 3SBDP

32

ABD

，

BDP

32010，2 382 点