建筑结构抗震设计与实例第章2

第四章多自由度体系结构的地震反应§4.1概述§4.2多自由度体系的自由振动§4.3多自由度体系的振型分解法§4.4多自由度体系的水平地震作用及效应§4.5多自由度体系地震反应的时程分析§4.1多自由度体系的自由振动一、多自由度体系的基本概念1．实际房屋的自由度：无限个。简化：有限自由度模型。2．常用分析模型：层间模型。每层楼面、屋面可作为一个质点，墙柱质量则分别向上下质点集中。图4.1层间模型计算简图

二、两自由度无阻尼运动方程的建立以两个自由度为例图4.2两个自由度的层间剪切模型计算简图1．质点的运动质点绝对加速度:质点相对加速度:地面运动加速度恢复力惯性力2．质点1的运动方程平衡方程质点1运动方程(4.1)平衡方程惯性力恢复力(4.2)质点2运动方程3．质点2的运动方程合并式（4.2）和（4.3），写成矩整形式(4.3)

(4.4)考虑阻尼时采用瑞雷阻尼假定无阻尼自由振动方程(4.5)考虑两自由度情况,假定位移矢量(4.6)三、多自由度体系的自振频率(4.7)代入式4.5(4.8)或(4.9)展开(4.10)(4.11)频率方程——第一自振圆频率，——第二自振圆频率，频率特征——较大的为第一自振周期，——较小的为第二自振周期，——较小的为第一自振频率，——较大的为第二自振频率，1)体系的运动包含若干个频率的振动.2)每一个频率的振动有何特征？3)不同频率运动之间的关系？振型概念：对应某一自振频率各质点位移间的关系频率方程——X11、X12——X21、X22特点：位移幅值的比值为常数四、多自由度体系的振型1．对应某一自振频率各质点位移幅值的比值?位移比值仍为常数2．对应某一自振频率各质点任意时刻位移的关系1)多自由度运动方程的特点——耦联的微分方程;2)质点的运动包含所有振型频率;3)各主振型之间具有关系？3．体系运动的组成：包含所有的频率和振型(4.12)频率方程(4.13)左乘(4.12)(4.14)4．振型的正交性：任意两个不同频率的主振型之间存在互相正交的性质左乘(4.13)(4.16)式(4.15)－式(4.16)振型关于质量矩整正交性(4.17)转置变换(4.15)同样可得振型关于刚度矩整正交性(4.18)进一步可得振型规格化例4.1三层剪切结构如图示，求该结构自振频率和振型解:周期与自振频率的关系可得结构的各阶自振周期分别为为求第一阶段型，将代入同样可得第一振型第二振型第三振型1）体系的最大变形能2）体系的最大动能3）能量守恒原理五、结构屡周期的计短算（一）赢基本周困期的实舌用近似黄计算1．能量棒法对应第一陆振型，假刃定将质点的重力荷载视为水平力所产生的质点处的水平位移各层重力荷载为解：将各楼层的重力荷载当做水平力产生的楼层剪力为例4.2惭用能量张法求4.座1基本周赶期则将楼层重力荷载当做水平力所产生的楼层水平位移为与精确蹄解误差文为－2夜%基本思辩想：用挺一个等挥效单质援点体系骗代替原剧来的多立质点体秩系。等效原则费为：2．等锯效质量跑法1）等赖效单质判点体系胃与原多腔质点体扩系的基毒本自振煌频率相咏等；2）等效壳单质点体同系自由振颂动的最大遵动能与原窗多质点体通系的基本祝自由振动缩慧的最大动属能相等。多质点体系按第一振型振动的最大动能等效单质点体系的最大动能连续质量体系弯曲型悬臂构剪切型悬臂构弯、剪型悬臂结构介于前两者之间。等效单质点体系的频率——体系在等效质点处受单位水平力所产生的水平位移。例4.3半用等效报质量法求剖4.1基托本周期与精确解的相对误差为在单位质点下施加单位水平力产生的水平位移为3．顶点膀位移法基本思想碎：将悬臂死结构的基帐本周期，山用顶点位诵移来表示感，而该顶唉点位移为饥将结构重吸力荷载作余为水平荷距载作用在犹结构顶点慰所产生的湖假想顶点严位移。对质量沿高度均匀分布的等截面弯曲型悬臂杆将重力荷载作为水平荷载产生的顶点位移为：剪切型悬臂杆弯剪型悬臂杆例4.4卵用顶点狼位移法求搅4.1基擦本周期与精确解悄的误差为诱3%该结构属于剪切型悬臂杆（二）和求解结贱构体系胡自振频剥率及振魄型的其你它方法1．广牵义雅可慈比法求解自振频率及振型的问题归结为求解式（4.20）中的特征值和特征向量的问题。广义雅可比法的基本思路是寻找合适的相似转换矩阵和，使于是特征值由于变换为相似变换，所得的特征值即为式（4.20）的特征值P67、69、70例题2．利杏用Ma逼tla闲b编程欺求解3．矩看阵迭代搁法（s件tod哈ola浓法）矩阵迭代法是首先假定振型形状，经过迭代调整一直到获得满意的结果，然后再确定自振频率假定体系的刚度矩阵的逆矩阵存在，将其左乘式（4.20）（a）令，得（b）式（b）就是迭代方程，式中矩阵代表了结构的所有动力特征，所以也叫动力矩阵。矩阵迭织代法的是迭代步臭骤如下题：（1）先假定一个试探振型（其中下标1表示第一振型，上标0表示初始迭代振型。将其代入式（b）得（c）（2）一般说和是不一样的（除非是真实的振型）。再将代入式（b）得到（d）其中是第二次近似振型矢量（3）如果和间误差满足要求，则式（d）中的就是所求的特征值。如两者误差不满足要求，则继续进行迭代。可以证明，该迭代过程最终将收敛于第一振型。§4.针2多自蚕由度体系掘的振型分族解法一、振型汪分解法基独本概念1．思线路：利用各振威型相互正劈燕交的特性，将原倾来耦联最的微分息方程组欧变为若减干互相独旋立的微昨分方程，从而使谋原来多自漠由度体系芬的动力计闪算变为若权干个单自由度铺体系的问离题；2．求解撕：在求得逃了各单补自由度祥体系的练解后，此再将各紫个解进庙行组合，从而戴可求得俊多自由冶度体系碎的地震晴反应。3．两自尿由度体系谷振型分解归法1）坐标革变换（4.21）坐标变换和2）振弄型乘以创组合系盗数叠加将实际位军移按振型注加以分解谢，故称为染振型分解揪法。二、多逮自由度痛体系振预型分解振型分乎解式（4.22）将质点地沸震作用下勺任一时刻肃的位移用瞒其振型的何线性组合磁表示其中假定阻尼矩阵可表示为体系的运动方程将代入上式，（4.23）并左乘振型矢量得考虑式（4.23）左端第一项利用振型正交性类似地，可推得：将上述各式代入式（4.23），（4.24）并除以系数得式中（4.25）称为j振型参与系数令式（4.24）中（4.26）则式（4.24）可改写成（4.27）（4.28）称为对应于第振型的振型阻尼比，系数及可通过体系第一振型及第二振型的频率及阻尼比确定。已解耦的星第j个广昨义坐标的摊运动方程依次取，可得n个独立的微分方程，即在每一个方程中仅含有一个未知量，从而，可运用单自由度体系的求解方法，求得将求得的各广义坐标代入式（4.22），可求得各质点的位移比较单自由度情况（4.27）第j振型振位移反应雹表达式（4.29）令阻尼比为，自振频率为的单自由度体系的位移反应，对比式（4.27），可知第j振型的解即位移反应，而i质点的位移反应为式（4.25）中的称为第j振型的参与系数，它满足下式（4.30）P76有证明三、多自垄由度体系集地震反应秀振型分解弦法的求解滋步骤1）求体忙系的自振最频率和振标型。2）计算振型参与系数。3）求解耦的各阶单自由度体系的广义坐标。4）按振型叠加原理计算各质点的位移：§4泰.3捉多自由闭度体系习的水平厕地震作给用及效绕应适合于工逐程抗震设邪计的方法争：简单、实袜用；需要的关贡键参数：各质点幕反应的企最大值亭；简化分狮析方法凝：在振仅型分解裤法的基捧础上，注结合运毯用单自良由度体砍系的反阶应谱理峡论，推闪导出实用的振彩型分解反五应谱法；在某些遣特定的尝条件下枣，还可想推得更喜为简单横实用的底部剪废力法。一、振型开分解反应伤谱法多自由度体系的水平地震作用可用各质点所受的惯性力来代表，故质点i上的地震作用为由式（4.30），可写成（4.33）而由式（4.29）可知从而（4.34）式中（4.35）称为对素应于第缩慧j振型刊质点i屑的水平单地震作字用相当于就单自由迈度的地若震反应利用单自祖由度反应扁谱（4.36）？单自由度时定义地震影响系数（4.37）即为对应于j振型自振周期为的单自由度体系的地震影响系数，可按单自由度体系的地震影响系数确定。（4.38）对应于第j振型质点i的最大地震作用为利用规范给出的反应谱曲线，可方便地求得对应于某一振型各质点的最大地震作用所产生的作用效应（弯矩、剪力、轴力、位移等）（4.39）各振型催产生的抓地震作杯用效应S为总的地震作用效应，为对应于第j振型该处结构的地震作用效应。当某一振隐型的地震忌作用达最疏大值时，唯其余各振脖型的地震雁作用不一锹定也达到妹最大。从笑而结构地壮震作用的购最大值并场不等于各骂振型地震膨作用最大兄值之和根蛮据随机振乘动理论，讲近似地取顶“平方和来开方”。振型的晃地震组伐合时振耗型反应两数的确怨定结构的拼总地震服反应以荷低阶振名型为主叙，高阶备振型的联影响较有小：1）一辨般情况节下，可筑取结构椅前2～加3阶振涝型进行叙组合，察但不多涝于结构谜自由度简；2）当渠结构基像本周期励大于1弹.5s肺或高宽舍比大于翻5时，故可适当虏增加。例题分析[例题4.5]三层框架结构，假定横梁刚度无穷大，两柱截面相同，各层重量及三个振型及对应的周期如图4.3所示，设防烈度为7度,Ⅰ类场地设计地震动分组为第二组，，结构阻尼比为0.05，试用振型分解反应谱法求水平地震作用下框架梁的弯矩。图4.3三层框架各层的重量和振型[解]查第五章表5.5和地震影响系数曲线（图5.2）则对于第一振型地震影响系数第j振型参与系数第一振型参与系数对应第一振型的地震作用对应第二振型的地震作用对应第三振型的地震作用根据各振冬型的地震竞作用，可伤求出各振秤型地震作涂用下框架狂的弯矩如杠4.4所威示；按横平方和开夕方的组合嚷原则，可体求得各振窜型组合后羞框架弯矩蜘图，如图厕4.5所晌示第一振型弯矩第二振型弯矩第三振型弯矩各振型组合弯矩图二、底衫部剪力金法(寻求更除为简便的柱适合设计英的方法）1．适用守条件：结构的质杯量和刚度酱沿高度分绕布比较均音匀；房屋的总高度贿不超过庙40m拿；建筑结帜构在地庄震作用辨下的变形以剪肠切变形为困主；建筑结构蔑在地震作数用时的扭转效革应可忽恭略不计押。2．底部讨剪力计算按振型分解反应谱法，j振型质点的地震作用为（4.40）j振型下结构的底部剪力为式中——基本振型下的地震影响系数；——结构总的重力荷载代表值；为质点i的重力荷载代表值。按“平方和开方”的振型组合原则，结构的底部剪力为（4.41）为系数,《抗震规范》规定，当n=1时，取＝1，而当n>1时，取＝0.85，并定义等效总重力荷载代表值Geq＝GE，因此，其底部剪力（或称总水平地震作用）为（4.42）回忆单局自由度折的形式励?各质点旋的水平势地震作饺用近似毅地取为粉对应于缸第一振巧型的地愤震作用惩。3．总底粗部剪力的拖分配（4.43）根据第一振型近似为直线的假定，取（4.44）式中，Hi为质点i的计算高度，将式（4.44）代入式（4.43）（4.45）再根据各质点的水平地震作用之和等于总水平地震作用的条件，得进一步得将上式代入式（4.45），得（4.46）误差分析1）特遮殊情况淹处理《抗震规范》规定，当结构基本周期时，在顶点附加水平地震作用，即取2）顶事点的水著平地震嚼作用为（4.47）（4.48）其余各质点的地震作用为式中，为顶部附加地震作用系数，对多层内框架砖房，可取0.2，对多层钢筋混凝土房屋和钢结构房屋，可根据特征周期及房屋基本周期T1按第五章表5.7确定鞭梢效应突出屋面的小建筑，由于刚度和质量突然变小，局部地震反应有可能加剧，计算作用在小建筑上的地震作用需乘以增大系数抗震规范规定为3,向主体结构传递时不乘增大系数。表6．金顶部附黄加地震德作用系只数n例题分藏析〔例题4毅.6〕用底部剪储力法求例斗4.5中址三层框架判弯矩图地震影响系数[解]等效总重力荷载代表值总水平地震作用由于查表5.7，得顶部附加地震作用系数上述地震糕作用在框肠架引起的桥弯矩如下于图所示图4.6转底部剪对力法和振印型分解法穗计算结果述比较底部剪力法计算结果振型分解法计算结果§4裕.4咬多自由梯度体系慨地震反掘应的时倍程分析对于特别不顾规则的达建筑、特别重燥要的建虎筑，以及房屋高稀度和设首防烈度寄较高的宽建筑，规范规垃定，宜采剂用时程分林析法进行补锹充计算竭；当进行倘房屋结柔构的弹塑性辫变形验巾算时，由于冠结构已出果现了明显秆的非线性标，振型分砍解反应谱巨法已不再混适用，而江需采用弹塑性时涛程分析法；当需要对建筑结构进行地震作用下的时程分析时，一

般均采用数值计算方法，较为常用的是

法及第三章介绍过的线性加速度法。§4.颂5多自昼由度体系亦地震反应泄的时程分东析4.5.1多自由度体系的线性加速度法类似于3.6.3节的推导;可根据体系的初始条件，一步一步地求得各时刻体系的位移、速度、加速度反应。4.5.2多自由度体系的法在线性加速度法基础上改进得到的一种无条件收敛的数值方法，即只要参数取得合适，无论取多大，均能取得收敛的计算结果建筑结土构抗震紧作业第四章浆思考题计算地刻震作用鼻时结构烤的重力医荷载怎通样取值淘？怎样进行僚结构的振凤型分解？如何根办据各振雷型的反昨应求结脂构的总验反应？蜜其依据弹是什么骑？9、静夜膜四无邻蓬，荒居折旧业贫沾。。4月-2黄34月-2两3Fri耳day珠,A较pri喜l2饿8,械202葵310、雨中射黄叶树推，灯下龟白头人宜。。13:送09:降1413:鲜09:历1413:0额94/2腐8/2洗023涝1:瓜09:瓶14谷PM11、以我搏独沈久塞，愧君句相见频腾。。4月-唱2313:再09:角1413:做09Apr羽-2328-A极pr-2许312、故人抢江海别刚，几度霜隔山川粒。。13:0痕9:1413:0蛇9:1413:0内9Fri雀day鞠,A随pri洞l2钥8,床202浙313、乍见刑翻疑梦储，相悲见各问年盛。。4月-2赛34月-锻2313:救09:洗1413:0晨9:14Apri顾l28兄,20招2314、他乡贵生白发溉，旧国帮见青山悔。。28四胀月20聋231:0雄9:1翁4下昨午13:0牺9:144月-谷2315、比不狠了得就廊不比，匙得不到虎的就不飞要。。。四月掠231:0塌9下载午4月-抛2313:员09Apr膀il军28,妇20殃2316、行动源出成果夕，工作颜出财富钢。。202侧3/4即/28识13台:09葵:1413:棉09:辞1428才Apr君il宫202雀317、做前芬，能够惭环视四芽周；做辰时，你恶只能或嘉者最好暮沿着以棵脚为起趋点的射堡线向前舱。。1:09绸:14铜下午1:09浑下午13:摧09:愁144月-2谦39、没有灵失败，荡只有暂挂时停止追成功！辱。4月-2疏34月-检23Fri兔day蚀,A烧pri影l2热8,强202薄310、很多候事情努误力了未她必有结键果，但常是不努灵力却什庙么改变班也没有斤。。13:0榆9:1413:界09:沾1413:0漠94/2扁8/2棋023沃1:裳09:匆14答PM11、成功就族是日复一蓄日那一点兽点小小努送力的积累馆。。4月-2具313:浪09:垫1413:腔09Apr-丢2328-A交pr-2凶312、世间秩成事，欧不求其灰绝对圆看满，留扑一份不廉足，可砍得无限爽完美。趋。13:0饲9:1413:院09:舞1413:0虑9Fri屈day室,A异pri考l2勤8,冲202蜜313、不知香垫积寺，数孙里入云峰前。。4月-嘉234月-钳2313:0纱9:1413:宗09:假14Apri唤l28瓶,20富2314、意志讨坚强的里人能把芳世界放桂在手中浸像泥块股一样任龙意揉捏掀。28四棒月20祸231:09铲:14借下午13:0施9:144月-2序315、楚塞三秃湘接，荆鄙门九派通售。。。四月2倡31:0焦9下绕午4月-角2313:蹲09Apr迷il递28,旁20姻2316、少年十哪五二十时疲，步行夺蒜得胡马骑冻。。2023文/4/2趁813鼻:09:宏1413:授09:霜1428凶Apr博il额202漂317、空山新娃雨后，天堡气晚来秋弊。。1:0棚9:1陶4下炎午1:0剧9下趣午13:倘09:痰144月-迈239、杨柳散陕和风，青徐山澹吾虑愚。。4月-2击34月