《线性代数习题课》

二次型知识网络图二次型

矩阵表示f=xTAx标准形正定二次型化标准形正定二次型正定二次型惯性定律定义充要条件必要条件惯性指数R（A）=r;正惯性指数p;负惯性指数q.一、用正交变换化二次型为标准形

（1）写出二次型的矩阵A；（2）求A的特征值、特征向量；（3）对于A的各不相同的特征值所对应的特征向量已经正交，只需单位化；对于A的k重特征值所对应的特征向量是线性无关的，需用施密特正交化方法将这k个线性无关的特征向量化成两两正交的单位向量；（4）用所求得的n个两两正交的单位向量构造正交矩阵

P=(P1,P2,…,Pn)

（5）令x=Py，则得标准形f=λ1y12+λ2y22+…+

λnyn2.二、正定的判别法（1）用定义，∀x≠0,总有xTAx>0

（2）用顺次主子式全大于零；

（3）用n个特征值全大于零；

（4）用正惯性指数p=n；

（5）存在可逆矩阵C，使A=CTC.

例1

设f=x12+4x22+4x32+2λx1x2－2x1x3+4x2x3为正定二次型，则λ的取值范围是_________．

解二次型对应的正定矩阵为

三、典型例题1.填空题、选择题解得－2<λ<1，故应填－2<λ<1．由正定矩阵的有关定理可知例2、设二次型则其秩为；解：二次型矩阵为所以二次型的秩为3；例3a=

b=

_________,_________.解据题意，可知A的特征值为0，1，431例4设三阶实对称阵（

）C解因A为实对称阵,故必能正交相似对角化显然3a是A的一个特征值，又因R(A)=1,所以A的另外两个特征值均为0。由此可得实对称矩阵A、B有相同的特征值，从而A、B合同且相似。应选（C）

例5

已知矩阵正定，其相似的对角矩阵为[

]．

解由于A正定，所以特征值为正数，故(C),(D)不成立．又因trA＝8，而1+3+4＝8，1+2+5＝8，但|A|＝10，而1×3×4＝12，1×2×5＝10，故选（B).B

2、化二次型为标准形

例6

设α，β均为实3维的单位列向量，且αTβ=0，令A=ααT+ββT，求一个正交变换将f=xTAx化成标准形．

解

因为α，β为单位向量，且αTβ=0，故的秩为2．从而有x≠0,使得即αTx=0,βTx=0,于是有Ax=(ααT+ββT)x=ααTx+ββTx=0.Aα=(ααT+ββT)α=ααTα

+ββTα=α,

Aβ=(ααT+ββT)β=ααTβ+ββTβ

=β

,因此，A的特征值为1，1，0，对应的特征向量为α，β，x.显然，A为实对称矩阵，所以存在正交变换x＝Py，将f=xTAx化成标准形．

由于αTβ=0，αTx=0,βTx=0,所以α，β，x两两正交，将x单位化得则可得正交矩阵P=(α,β,γ)，作正交变换x=Py，故x=Py将f=xTAx化成标准形为f=xTAx＝y12+y22.

3、二次型正定性的判定

例7

设A为m×n矩阵，若Ax=0有唯一解，试证ATA为正定矩阵．

证明因为(ATA)T=AT(AT)T=ATA,所以ATA实对称矩阵，又因为Ax=0有唯一解,即零解.因此对任给n维列向量

x≠0，恒有Ax≠0，于是xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)=||Ax||>0.所以xT(ATA)x为正定二次型，故ATA为正定矩阵．

注：设A为n×n阶可逆矩阵，或A为m×n阶列满秩矩阵，则ATA为正定矩阵．

例8

设A为3阶实对称矩阵,且满足A2+2A=0,R(A)=2，①求A的全部特征值，②k为何值时，A+kE为正定矩阵．

解

①设λ是A的特征值，x是A的关于λ所对应的特征向量，则

(A2+2A)x=0(λ2+2λ)x=0λ(λ+2)=0,所以A的特征值为0和－2．又因为R(A)=2，所以有λ1=0，λ2