集合的基本关系及运算

.z.集合的基本关系及运算编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：要点诠释：（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．真子集：若集合，存在元素*B且，则称集合A是集合B的真子集(propersubset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作．要点二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={*|*A，或*B}Venn图表示：要点诠释：（1）“*A，或*B”包含三种情况：“”；“”；“”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={*|*A，且*B}；交集的Venn图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，则就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(plementaryset)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数*围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．4.集合基本运算的一些结论若A∩B=A，则，反之也成立若A∪B=B，则，反之也成立若*(A∩B)，则*A且*B若*(A∪B)，则*A，或*B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一、集合间的关系例1.集合，集合，则间的关系是（）.A.B.C.=D.以上都不对【答案】B【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集，即.集合中的元素.而（为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即.由依次得0,2,6,12，，即.综上知，，应选.【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合，则（）.A.B.C.=D.【答案】C例2.写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.举一反三：【变式1】已知，则这样的集合有个.【答案】7个【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（）A.16个B.15个C.7个D.6个【答案】C【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.例3．集合A={*|y=*2+1}，B={y|y=*2+1}，C={(*,y)|y=*2+1}，D={y=*2+1}是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A={*|y=*2+1}的代表元素为*，故集合A表示的是函数y=*2+1中自变量*的取值*围，即函数的定义域A=；集合B={y|y=*2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=*2+1中函数值y的取值*围，即函数的值域B=；集合C={(*,y)|y=*2+1}的代表元素为点（*，y），故集合C表示的是抛物线y=*2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=*2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=*2+1．【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．举一反三：【变式1】设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C表示区间（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D．【变式2】设集合，，则与的关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】集合M表示函数的定义域，有；集合N表示函数的值域，有，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430例2】【变式3】设M={*|*=a2+1，aN+}，N={*|*=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足()A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=【答案】B【解析】当aN+时，元素*=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素*=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素*=1不在M中，即MN，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430例3】例4．已知若M=N，则=．A．－200B．200C．－100D．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|*|，y}可知若*=0，则*y=0，即*与*y是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以*≠0.若*·y=0，则*=0或y=0，其中*=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故*y≠0若，则*=y，M，N可写为M={*，*2，0}，N={0，|*|，*}由M=N可知必有*2=|*|，即|*|2=|*|∴|*|=0或|*|=1若|*|=0即*=0，以上讨论知不成立若|*|=1即*=±1当*=1时，M中元素|*|与*相同，破坏了M中元素互异性，故*≠1当*=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，*=y=-1=-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决*些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a，bR，集合，则b-a=()【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：∴当b=1时，a=-1，当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.类型二、集合的运算例5.设集合，，，求.【答案】,【解析】先将集合、、、转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.集合表示3的倍数所组成的集合；集合表示除以3余1的整数所组成的集合；集合表示除以3余2的整数所组成的集合；集合表示除以6余1的整数所组成的集合；,.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式1】已知集合M={y|y=*2-4*+3，*R}，N={y|y=-*2-2*+8，*R}，则M∩N等于()A.B.RC.{-1，9}D.[-1，9]【答案】D【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值*围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D.例6.设集合M={3，a}，N={*|*2-2*<0，*Z}，M∩N={1}，则M∪N为()A.{1，3，a}B.{1，2，3，a}C.{1，2，3}D.{1，3}【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．【答案】D【解析】由N={*|*2-2*<0，*Z}可得：N={*|0<*<2，*Z}={1}，又由M∩N={1}，可知1M，即a=1，故选D.举一反三：【变式1】（1）已知：M={*|*≥2}，P={*|*2-*-2=0}，求M∪P和M∩P；（2）已知：A={y|y=3*2}，B={y|y=-*2+4}，求：A∩B，A∪B；（3）已知集合A={-3，a2，1+a}，B={a-3，a2+1，2a-1}，其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.【答案】（1）{*|*≥2或*=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}.【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={*|*≥2或*=-1}，M∩P={2}.（2）∵A={y|y≥0}，B={y|y≤4}，A∩B={y|0≤y≤4}，A∪B=R.（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：①a-3=-3a=0，A={-3，0，1}，B={-3，1，-1}A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；②2a-1=-3a=-1，∴A={-3，1，0}，B={-4，2，-3}，符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【高清课堂：集合的运算377474例5】【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.综上A∪B=｛2，3，6，18｝例7.已知全集，求CuA.【思路点拨】CuA隐含了，对于，注意不要忘记的情形.【答案】当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.【解析】当时，方程无实数解.此时.CuA=当时，二次方程的两个根，必须属于.因为，所以只可能有下述情形：当时，，此时CuA=；当时，，此时CuA=.综上所述，当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.【总结升华】求集合的补集，只需在全集中剔除集合的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式1】设全集U={*N+|*≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.类型三、集合运算综合应用例8．已知全集A={*|-2≤*≤4}，B={*|*>a}.（1）若A∩B≠，**数a的取值*围；（2）若A∩B≠A，**数a的取值*围；（3）若A∩B≠且A∩B≠A，**数a的取值*围．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.【答案】（1）a<4；（2）a≥-2；（3）-2≤a<4．【解析】(1)∵A={*|-2≤*≤4}，B={*|*>a}，又A∩B≠，如图，a<4；(2)画数轴同理可得：a≥-2；(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4.【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P=｛*︱*2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值*围是（） A．(-∞,-1] B．[1,+∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）【答案】C【解析】｛︱｝又，∴，∴故选C．例9.设集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【思路点拨】明确、的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.【答案】（1）或；（1）2．【解析】首先化简集合，得.（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.①若时，，解得.②若,代入得.当时，符合题意；当时，也符合题意.③若，代入得，解得或.当时，已讨论，符合题意；当时，，不符合题意.由①②③，得或.（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.举一反三：【变式1】已知集合，若,**数的取值*围.【答案】或【解析】,.①当时，此时方程无解，由，解得或.②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，，且，解得.综上，实数的取值*围是或.【变式2】设全集，集合，若CuA，**数的取值*围.【答案】【解析】CuA=，.CuA，，即.实数的取值*围是.【巩固练习】1．设，，，则（）A．B．C．D．2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（）3．若集合，，且，则的值为()A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或04．已知集合满足,则下列各式中一定成立的是（）A．ABB．BAC．D．5．若全集，则集合的真子集共有()A．3个B．5个C．7个D．8个6．设集合，，则()A．B．C．D．