湘教版数学八年级下册思想方法专题：直角三角形中的思想方法

小学教育复习系列资料小学教育复习系列资料小学教育复习系列资料思想方法专题：直角三角形中的思想方法——找准方法，快准解题eq\a\vs4\al(◆)类型一方程思想一、利用方程思想求角度1．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是()A．9°B．18°C．27°D．36°2．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝________°.第2题图第3题图第4题图二、结合勾股定理利用方程思想进行计算3．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为()A．4B．5C．6D．84．如图，有一直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，则CD的长度为()A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm5．如图，小刚准备测量一条河的深度，他把一根竹竿垂直插到离岸边1.5米远的水底(不计淤泥深度)，竹竿高出水面0.5米，再把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐．求河水的深度．eq\a\vs4\al(◆)类型二分类讨论在勾股定理中的应用一、直角边与斜边不明时需分类讨论6．(湘潭县期末)若一个直角三角形的两边长分别为2，4，则第三边长为____________．【易错1】二、三角形形状不明时需分类讨论(分钝角三角形和锐角三角形)7．★在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为________cm2.【易错2】【变式题】一般三角形→等腰三角形等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为____________．三、等腰三角形腰和底不明时需分类讨论8．有一块直角三角形的绿地，量得BC，AC两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且要求扩充的绿地部分是以AC为直角边的直角三角形ACD，求扩充后绿地所构成等腰三角形ABD的周长．eq\a\vs4\al(◆)类型三利用转化思想结合勾股定理求最短距离9．(武冈市期中)如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为________．参考答案与解析1．B2.183．C解析：设BD＝2x，则AD＝5x.在Rt△ACD与Rt△BCD中，AC2－AD2＝BC2－BD2，即172－(5x)2＝102－(2x)2，解得x＝3，∴BD＝6.故选C.4．B解析：由题意可知AE＝AC＝6cm，CD＝ED，ED⊥AB.在Rt△ACB中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，∴BE＝10－6＝4(cm)．设CD＝DE＝xcm，则BD＝(8－x)cm.在Rt△BDE中，DE2＋BE2＝BD2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，即CD＝3cm.故选B.5．解：设河水的深度为x米，由题意得x2＋1.52＝(x＋0.5)2，解得x＝2.答：河水的深度为2米．6．2eq\r(3)或2eq\r(5)7．126或66解析：当∠B为锐角时，如图①，在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5(cm)．在Rt△ADC中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(202－122)＝16(cm)．∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·AD＝eq\f(1,2)×21×12＝126(cm2)；当∠B为钝角时，如图②，同理求出BD＝5cm，CD＝16cm.∴BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)·BC·AD＝eq\f(1,2)×11×12＝66(cm2)．故答案为126或66.【变式题】90或10解析：分两种情况讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，可求得底边长的平方为10；②当等腰三角形为钝角三角形时，可求得底边长的平方为90.8．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8m，BC＝6m，由勾股定理得AB＝10m.应分以下三种情况：(1)如图①，当AB＝AD＝10m时，∵AC⊥BD，∴CD＝CB＝6m，∴△ABD的周长为10＋10＋2×6＝32(m)；(2)如图②，当AB＝BD＝10m时，∵BC＝6m，∴DC＝BD－BC＝4m，∴AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)(m)，∴△ABD的周长为10＋10＋4eq\r(5)＝(20＋4eq\r(5))(m)；(3)如图③，当AB为底时，设AD＝BD＝xm，则CD＝(x－6)m，由勾股定理得AD2＝AC2＋CD2，即x2＝82＋(x－6)2，解得x＝eq\f(25,3)，∴△ABD的周长为AD＋BD＋AB＝eq\f(25,3)＋eq\f(25,3)＋10＝eq\f(80,3)(m)．综上所述，扩充后绿地所构成的等腰三角形ABD的周长为32m或(20＋4eq\r(,5))m或eq\f(80,3)m.9．25dm解析：三级台阶平面展开图为长方形(如图)