函数与几何压轴题1答案版优选课程网

（2021•省市）抛物线y＝x2－1交x轴于A，B两点（A在B的左边□ACDECyEy（1

的模坐标是2

A，D（2（3FOyl分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG＋FH的值是定值．（1）①A13CACDE为E13D，即可求解；（2）由FG+FH＝+＝ （﹣）＝ （1）A、B的坐标分别为（﹣1（4，顶点坐标为（0，A、C故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，则+8＝， ②C（3，n，m2﹣1D的坐标为（m+4，m2﹣1+nD的坐标代入抛物线表达式得：m3﹣1+n＝（m+1）2﹣1，n＝2m+8，C的坐标为（0，2m+6CEEyx（m+2+m2m+1﹣m＝﹣5（舍去）2，（8,3（2）∵FOF的坐标为（0，B、F的坐标得，AFy＝﹣6x﹣2②，ly＝tx+n，y＝tx+ny＝x2﹣4故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣6）＝0n＝﹣故直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣8③，联立①③并解得xH＝， （﹣ （1，1（2021，2021）（MN的左侧a＞1①c②求∠EMN，PPCP的坐标；若不存在，请说明理由．（1）由题意得：x＝x＝±2，0，MP≌△PNBAAS（1）当x＝±2时，y＝＝±2，（﹣2，﹣2y＝x，y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，ax2+5x+c＝x，解得x＝﹣，即点E的坐标为（﹣，﹣EEH⊥xH，故∠EMN45°；Cy＝xC的坐标为（t，tPxCyMByP的坐标为（m，﹣m2+2m+3∴△CMP≌△PNB（AASm﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，解得m＝1+（舍去）或1﹣或，（2021•怀化市）xA、ByC（3）DCOGDxE，再走到抛物线对FCGE、F的位置，（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理 三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+＝，即可求解；C′（2，8﹣4ANQQMCAAS（1）（﹣2，0（4，0（0，8设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则 当∠CP′MP、C、M为顶点的三角形与△MNBP′C∥x轴，（1，8当∠PCM，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，则BM＝＝3 由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC＝MB＝，Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α， ＝故点P的坐标为（1，∵DCOD（0，4C（28D（0﹣4C′DxEFE、F为所求点，理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，C′、DC′Dy＝6x﹣4，，0（1，2Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8QyxNCx∴△ANQ≌△QMC（AAS即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝ 故点Q的坐标为（ （4，1Ca＝﹣1C21①C1②C1xA，B两点（AB的右侧yC，连接m的值；若不存在，请说明理由．②当以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似时，则tan∠DOE＝2或，即DOE＝＝＝2或，即可求解（1）∵点y＝﹣x2+5x﹣3；y＝﹣x2+x+2＝0x＝﹣12x＝0y＝2，（﹣1,0（2,0C（0,2O，D，E为顶点的三角形与△BOCD的坐标为（m，﹣m2+m+2解得：m＝﹣2（舍去）或1或（舍去）或，故m＝1或．（2021•岳阳市）yax2bx2A10B40y轴交于点CBC．2，直线lykx3AP为直线lx轴的上方，点QPQ//y轴时，作QMPQM（点M在点Q的右侧PQQMPQMN3D，在（2）PQMN的周长取最小值F，使得∠CBFDQMF的坐标；若1

F528【答案（1）y x x2（2） （3） 或， 9（2021•株洲市）已知二次函数yax2bx 若a1bc2，求方程ax2bxc02xAx1,0Bx2,0x10x2y轴的负半轴交于点C

段OCACBD BCDDEBCEF0

cxAF，且ACOCAFCBDx1

x x1A、ByCB(30)（3）Q为抛物线上一点，若ACQ45Q【答案】（1

m1

yx3；（2

P2

，P317,717 （3）

4 取点Q，连接CQ，过点AADCQDDDFxF，过点C作CEDFE，得直线CDy1x3，即可求出结果；2（1）B

ymx2m23x6m9化简得m2m0m0（舍）或m∴m得：yx24x3，则C 设直线BC对应的函数表达式为y B

、C

03k代入可得

kBCyx3由（1）BCyx3A(1AGyx1， yx联立yx24x3x x解得：y0（舍，或 AG的表达式可得G10∴GC2，CH2P3P2yx5 yx联立yx24x3x3 x3 解得： 717， 717y y ∴∴3

17,7

，2，

17,7 ∴P2

，P317,717，P317,7 如图，取点Q，连接CQ，过点AADCQD，DDFxF，过点C作CEDFE，∵ACQ45∴ADFCDE90DCEADF，DEAFa∵OA1，OFCE∴CEDFa

，CEDF由OC3，则DF3a，即a13a，，a1．D22，又C03，可得直线CDy1x32 2设Q m3，代入y2

4x31m3m24m31mm24mm27m0 又m0，则m7．所以Q7 5 xA、B两点（AB的左侧，且在对称轴上，OD⊥BD，OC＝ECEDyF已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值0（1,0，（m+1，FBQQ为所求点，进而求解．（1）A、B的坐标分别为（m（1， COBCD为△BOF的中位线，FO2＝（7CD）2＝4CD7＝1﹣m2，Rt△AOFBAFB理由：△AFQ的周长＝AF+FQ+AQ＝1+QF+BQ＝1+BF为最小，即8+BF＝，故m＝﹣．（2021•宿迁市）如图，抛物线y1x2bxcxA(-1，0)，B(4，0)25（2（6，-7（3）PH5

51.5E（2，0∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQCE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出CEPQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；APyG，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为G（0，mmAPP的坐标，（1）A(-1，0)，B(4，0)y1x2bxc21bc b2 2 ，解得： 2 y1x23x2 C（0，2∵AC212225，BC2224220∴AC2BC2AB2E（2，0CE=OE=2，∵C（0，2，E（2，0y1x23x

x

x解方程组

，得y

或y7yxB

x2121G（0mA（1，0 x4y解方程组

x

，得

2m，ymx

y

2mF的坐标是42m,5m 2m12m1 ∴CG22m2,， 42m

5 5CG=CF2

2m12m12

m

（舍去负值

512

512y

3x55

x

x555解方程组y

x2

，得y

或y

75112P的坐标是（5

5，7511，此时点H的坐标是（5 52

5125∴PH=7511 515

5 42m FG=FC2m1

m12m1（舍）m=2（舍2AFy=1x+1 y1x23x解方程组y

1x

xy，得y

x或y2（3，22∴PH=2-12GF=GC2

42m

，解得m3m=2（舍去4 y1x23x

x解方程组y

3x

xy，得y

或 y ∴点P的坐标是（ ，此时点H的坐标是（， ∴PH=21315

551.585（2021•江苏省扬州）yx2bxc（1）b ， D在该二次函数的图像上，且SABD2SABCDPxSAPCSAPB

10，6）或

，6（3（4，5）先求出△ABCD（mm22m3SABD2SABC，得到方mD的坐标；（1）01b b则093bc，解得： 1，，B3，0，0，-

yx22x3△∴SABC=143△2∵S△ABD=2S△ABCD（mm22m3∴1AB

2614m22m3262

10或

yx22x3可得：y

10，6）或

P（nn22n3∴n＜-1S△APCS△APB当点 ∵△APC和△APBAP为底，若要面积相等，BCAPBC∥AP，BCy=kx+p，03k则3

kp3APy=x+qA（-1，0）代入，APy=x+1P（nn22n3）代入，即n22n3n1，n22n35（4，5（2021•山东省聊城市）y＝ax23x＋cxA，By2A（1，0，C（0，﹣2将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称DDD不在对称轴上，请说明理由；BPQS1，ABQS2SP（2） （3）ACBCACDDC＝ACDDEyE△ACO≌△DCEAASD的横坐标为－1x3B2MM坐标为1

P坐标为m2m2m2N坐标为m2m2 S11(m

（1）yax23xcA（1，0，C（0，﹣22a3c∴ a解得： 2

y1x23x2 设AC所在直线表达式为y ∴，kb∴，bk解得 ∴ACy2x2y1x23x2 y＝01x23x20 x14x2（－4，0OA1，OC2∴OAOC 又

COB ∴ACBC∴将△ABCBCADACACDDC＝ACDDEy∴△ACO≌△DCE(AAS)x32（0，－2（－4，0B，Cy1x22AxBCM坐标为15 P

m2m2m2N坐标为m2m2 ∴PN1m21m23m21m22m ∵△AQM∽△PQN∴PQPN，ASS1PQS

1m2 ∴S1PN

m4m1(m2)24

2∵105 SS2

的最大值为5m＝－2y1x23x2y3 SS∴ （－2，－32（﹣40（1，0PPD⊥xD． 请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理BPyEOE＝aCE＝4﹣a，BE＝4﹣aPDACNByACM，利用待定系数0P(a0﹣aN(a0a0+4)0（1）A（﹣4，0，B（1， ，，（2）BPy∵PD∥yBE 解得 PDACByACM，ACy＝mx+n， AC∴M点的坐标为（1，5∴＝＝0P(a0，﹣a2﹣3a0+4)(﹣4＜a0＜0)0 ＝＝＝∴当a0＝﹣2时，有最大值，P的坐标为(﹣2，6)．（2021•市）已知抛物线yax2c(a0)过点P(3,0),Q(1,4)APQAABxB

（1）y1x29（2）①1C的坐标是2 a【分析】(1)P(30)、Q(14)yax2c9aa

可mC的坐标，代入抛物线解析式求解即可.a（1）P(30)、Q(14)yax2c，得9aa解得a1c9 y1x29 （2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点Q(1,4)重合时，AB 作CHAB于H． ∴CBH和CAH∴CHAHBH2k3PQy=kx+b，由P(30)、Q(14)，得3kkk解得 PQy2x6，A(m2m6)，∴AB2m6所以CHBHAHm3．所 将点C(2m3m3y1x29 得m31(2m3)29 整理，得2m27m30因式分解，得(2m1)(m3)0解得m1，或m3（B重合，舍去2当m12m3132m3135 C的坐标是25 2 （2021•山西省中考）y1x22x6x轴交于AB两点（点2B的左侧y轴交于点CACBC求ABCACBCPACPBC的平行线lAC于D．①试探究：在直线lEDCBE为顶点的四边形为菱形，E的坐标；若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线lMACNS△DMNS△AOC时，DM的长．（1）点A的坐标为6,0B的坐标为20，点C的坐标为06AC的yx6BCy3x6（2）①E的坐标为6,8或225,25；② y0x0时即可求解ABCACBCD的坐标为mm6，其中6m0BD2m2)2m6)2BC2226240DC2m2m22m2BDBC时，BDEC是菱形，当CDCB时，CBED是菱形，然后分别求解即x2，由（1）可得直线ACyx6BCy3x6，点A为6,0，点C的坐标为0,6，进而可得 16618，设点M2,m ly3xm6Dm12m12，所以就 有MNm4，最后根据面积及两点距离可进行求解（1）y01x22x60x6x2， ∵点AB∴点A的坐标为6,0B的坐标为20，x0y6，∴点C的坐标为06

6kbACykxbA、C

b k解得 bACyx6BCy3x6（2）①D的坐标为mm6，其中6m0B，点C的坐标分别为2006∴BD2(m2)2(m6)2，BC2226240，DC2m2m22m2DEBCDCBE为顶点的四边形是平行四边形，BDBC时，BDEC是菱形，如图所示：∴m22m6240解得m14m20（舍去D的坐标为4E的坐标为68当CDCB时，CBED∴2m2405解，得m15

5，m25

（舍去5∴点D的坐标为25, 6，5E的坐标为22525；EDBCEE68或22525；x2，由（1）ACyx6BCy3x6，点A的坐标为6,0，点C的坐标为06，N24OAOC6∴ 16618 ∵l//BCly3xbM6bm，bm6，ly3xm6lACx63xm6xm124∴y3m12m6m12 Dm12m12 PACS△DMNS△AOC18MN∴MNm4 m12

m∴SDMN2m42

18 m18m216（不符合题意，舍去∴M2,8,D5,12522528

（2021•省随州市）在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc与x轴交于1P在抛物线上且满足PCBCBDP2MBCM作MNxNQ直线AC上一个动点， 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点（1）（2）（3） 2 4 1 3 Q5,4；M13,4，Q13,4；

1 3 233 2 93 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当QMMN，QMN90当QNMN，QNM90；③当QMQN，MQN90（1）abc得abc∴b1a∴解得bcyx22x3BDy2xyx22x3y轴交于点CxA1BC点坐标为03，B点坐标为30则直线CP1y2x3，yx22x3x22x32x3，x10（舍x24，By轴平行线，过点Cx轴平行线交于点G，由OBOC可知四边形OBGC为正方形，∵直线CP1y2xCPxE3,0 BC下方作BCFBCEBGF又∵OC=CGCOEG

∴FGOE3，F3,3 2 又由C03直线CFy1x32yx22x3x22x31x32x0（舍x5 2 4P52 4 PP4,5P57 1 BCyBCx

2 4M的坐标为m，m3N的坐标为m，m22m∴MN=m3m22m3m2∵A1,0，C0,BCyAC3x ∴①当QMMN，QMN90Q点的坐标为m，m 3∴QM=mm3 3∴

3=m23m0（舍去m13m M54Q54M134Q1341 3 1 3 233 2 93 ②当QNMN，QNM902m 则Q点的坐标为 ，m2m 2m3m22m3m23m2m23

=

m10（舍去m25m3③当QMQN，MQN90Q1m3m22m31m2m6=1m21m 1m1

1m2 ∴Q点的坐标为

m ∴QMN的距离

m1m2m16616

562 5626∴

m+156656

=12

3m（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半m10（舍去m27m3M及其对应点QM54Q54M1341 3 1 3 233 Q13,4；

2 93

y1﹣（x+4x﹣）（n0（n≥﹣4（h1k1（h2，k2Ak1，k2的值（n的代数式表示当﹣4≤n≤4k1k2经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4（x﹣n，2＝﹣x2n）2n2+n+9（1）y1＝0xA、B讨论k1﹣k2＝n2﹣5与0比较大小得n的取值范围即在不同的取值范围内得k1、k2大小．①，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2得解析式x2+（4n﹣1）x＝0，解得n＝MNy1，y2的公共点恰好为三个不同点，即（5n﹣4（1只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1只有一个公共点时，联立直线y＝﹣x﹣n＝，由①而知直线MN与抛物线y2公共点的横坐标为（1）y1﹣x﹣4x﹣ny1＝0，﹣（x﹣4（x﹣n）＝0，∴A（﹣4，0（2）1＝﹣x﹣4（﹣n）＝x+（n﹣）+4n，①当n2﹣5＞0时，可得n＞2或n＜﹣2，即当﹣4≤n＜﹣22＜n≤4时，k1＞k2；②当n2﹣5＜0时，可得﹣2＜n＜2，即当﹣2＜n＜2时，k1＜k2；③当n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣2，n＝2n＝﹣2时，k1＝k2；（4）设直线MN的解析式为：y＝kx+b， MN①MNy1，y2x1＝0x1＝0y1得：y＝4n，x1＝0，y＝4n代入直线的解析式得：MNy1，y2的公共点恰好为三个不同点，x2＝1﹣4nx2＝1﹣4n代入①得：（5n﹣4（﹣4n）﹣5n﹣2n+，②MNy1y2MNy1＝﹣x2+（n﹣4）x+4n只有一个公共点时，y＝﹣x﹣5n2+2n+9y＝﹣x2+（n﹣4）x+4n可得，③当n＝时，△＜0，MNy1，y2（2021•山东省菏泽市）y＝ax2+bx﹣4x轴A（﹣1，0、B（4，0）yC．PPBCCQ∥BPxQ，连PQ，求△PBQP的坐标；，A、P、E、FF的坐标；若不存在，，

xy

x2y2 PBy＝kx+tCQ∥BPCQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，，0，（﹣yPAPA向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，同样点AE＝F（A＝PE求解；当AP是对角线时，由中点坐标和AP＝EF，列出等式，即可求解．（1）C（0，﹣4P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4PB ，解得CQy＝（m+1）x+p，C（0，﹣4p＝﹣4，CQ令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（则BQ＝4﹣＝，设△PBQ∵﹣2＜0Sm＝2时，△PBQ8，（2，﹣6（3，mF（s，t①APA36AE＝P（AF＝PE 解 （3，2②AP 解 综上，点F的坐标为 ）或 （3，2（2﹣1BC．B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAPCxCBt，∠ABC＝90tC的横坐标，并求t＜0C的横坐标的取值范围．（2，﹣1（0,0，2﹣1＝在y＝x2﹣x中，令y＝x得x＝x2﹣x,可得B(0,0)或B(8，8),分两种情况分别求解析式为y＝x﹣2,再求得直线BC解析式为y＝x, 8)PPQ⊥xQ,BBH⊥xHHABM, ,解得 ,直线BM解析式为y＝x+2,再 得C(﹣1,BCyMBBH⊥xHMMN⊥BHN△BMN,可 , ＝，BN＝＝4,故M(0,设直线BM解析式为y＝ex+t2﹣t+4,将B(t,t2﹣t）代入得e＝﹣,可得直线BM解析式为y＝﹣x+t2﹣t+4， 得,解得C的横坐标为﹣t﹣+4;当t＜0时，xC＝﹣t﹣ ﹣)2+12,可 时，xC12t＜0C（1）（2，﹣1y＝a（x﹣h）2+kOy＝a(x﹣2)2﹣1的图象过（0,0在y＝x2﹣x中，令y＝x得x＝x＝0在y＝x2﹣x中，令y＝0,得x2﹣x＝0，x＝0x＝4,,解得 ∴直线BC解析式为y＝ ②B(8，8)PPQ⊥xQ,BBH⊥xHHAB∵HAB∴∠ABM＝∠OAP,C是满足条件的点，M(x,y),∵HAB , ,, ,,解 BMy＝ 或（此时为B,舍去BCyMBBH⊥xHMMN⊥BHN,B , ∴NH＝ ∴点C的横坐标为 t＜0 时，xC最小值是12，此时t＜0C（2021•省）已知二次函数yax2

有4x12剟ax2bxc2x28x6

xNACM （1）令4x122x28x6xx3 x34x122x28x60yax2bxc必过3,0 1又Qyax2bxc过1,0abc b2a 9a3bc cyax22ax3a，又4x12„ax2bxc，ax22ax4x123a?0 且„02a424a123a„0a12„0b2，c

2yx22x3 3

Mmm2

，N ACxAxCxMyyy

，解得m0（舍m2

2m3

5xAyMxCAMy

y3m0

，解得m0（舍）m20m22m33 n5，即N25,0 7ANxAxNxCyyy3n0

，解得m1

7，m17003m22m 77n 2或n2 777N37

7,0．7N点坐标为1,0或5,0或7

20或2

7,0（2021•省荆州市）打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福2114元，32支百合的价2元．112支．设买这束鲜花所需费用为2（1） 解得 452∴wxx＝9时，w答：wx之间的函数关系式：w＝﹣x+5592支百合费用最少，最少46元．C（1，0B（0，3OE'（0°＜α＜90°，N的横坐标；若不存在NNN点（1）C（1，0，5）在OE上取一点D，使得OD＝，AE'，BD，∵，对称轴∴E（﹣1，4∴∴＝；BD＝＝；∴∵A（﹣3，7，3N（n，﹣2﹣8n+，M（x，∴△ABNAB即18＝（n3+2n﹣3）7+（n+3）2+n3+（n2+2n）4， ∴N的横坐标 ANn＝﹣8，∴N的横坐标是BNn2+（n7+2n）2＝18+（n5+2n﹣3）5+（n+3）2，n＝6，∴N（2021•省广元市）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxx…0123…y…03430…PQ1的一条动线段（PQ上方AQQP2DD作DFx△ABDDFEEF的长是否为定值？如果是，请求出这（1）yx124M14（2）

AQQPPCPE1PC，再利用两PEPCCE1PE1PC的最DEB点的距离等于圆心DqeEEF的长为定值．（1）由表格数据可知，顶点坐标yax124，∴a∴抛物线解析式为：yx124，顶点坐标M 1,0，C（0,3 AAPQ，AAAAPQ∴PA'=QA∴PA'= ∴AQQPPC=PE1PCP、E、CPEPC最短，CEymxn，n n∴m2 CEy2x3x1y7333021P

时，P、E、CPE

AQQPPC

1．（3）（pA、Bx=1对称，所以可设△ABD的外接圆的圆心为O'1e，（pDFx轴，（p,OD=OBB3120e2=p12qe2，4e2p12qe2，Dyx124∴qp124∴p124q∴4e24qqe2∵q0∴2eq1（p,∴EF1EF（2021•省乐山市）已知二次函数yax2bxc的图象开口向上，且经过A0,3，B2,1 求b的值（用含a的代数式表示yax2bxc在1x3y1a将线段 向右平移2个单位得到线段AB．若线段AB与抛物yax2bxc4a1仅有一个交点，求a（2）（3） 根据抛物线图像分析得在1x3yx1x3处取y1y2y1y2y1y2，计算即可ABAB与yax2bxc4a1仅有一个交点，即方程ax22a1)x4a1x7在2x4x2 0x4（1）∵yax2bxcA03B21， c ∴ 14a2bc ∴4a2b31 ∴b2a1(a0)（2）由（1）yax22a1)x32在1x3范围内， 最大值只可能在x1或x3处取得x1

a1x3

3a32yy时，即a13a3时，得a1 a31，得a5 yy，即a13a3时，得a1y

yy，即a13a3时，得0a1 a11a1 a56（3）

A03B21， n∴ ，∴m12mn ∴yx32将线段 ABy(x2)3yx7 yax2bxc4a1，∴yax2(2a1)x4a12AByax2bxc4a12x4即方程ax22a1)x4a1x7在2x4 整理得ax22ax4a30在2x4yax22ax4a3在2x4xx20x4对应的函数值大于或等于即可．x24a4a4a30a3，41当x4时，16a8a4a30，得a 4综上a1a3 （2021•省凉山州）如