18 微积分的基本定理(概念、性质)

1.6微积分基本定理教学目标导数和定积分之间的内在联系，得到微积分基本定理，进一步得出积分定理。重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点：了解微积分基本定理的含义。教学过程问题分解：1、如图，一个做变速直线运动的物体的运动规yy(t)，并且yy(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)y(t[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？显然，物体的位移s＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。（1）将区间[a,b]等分成n个小区间：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，每个小区间的长度均为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。近似代换当t很小时，在

,ti1

]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似地以速度v(ti1

)做匀速运动，物体所做的位移si

＿＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿＿＿。由导数的几何意义知， ti1

对应的点处的切线的斜率等于 y(ti1

)，于是shi i

y(ti1

)t可得物体的总位移＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。求和取极限n越大，即＿＿＿＿＿越小，区间[a,b]的分化就＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿于＿＿＿＿＿＿n于＿＿＿＿。由积分定义有s＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿由sy(b)y(a)，得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。2、微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式定理F(x是[abfx的任意一个原函数，则bf(x)dxF(x)F(b)F(a)a a思考并回答下列问题：f(x)F(x)选择影响最后的计算结果吗？②计算定积分a

f(x)dx的关键是什么？③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么？④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数若f(x)cosx,则F(x)若f(xex,F(xf(xxn,F(x(7)若f(x)1则F(x)x2若f(x)sinx,F(x)(4)若f(x)1则F(xx(6)若f(x)x3,F(x)f(x) x,F(x)三、随堂练习计算下列定积分：（1）21dx； （）3(2x

1)dx。1x 1 x2计算下列定积分：（1）sinxdx ）2sinxdx （）2sinxdx0 0可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:(l）当对应的曲边梯形位于x（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；x轴上方的曲边梯形面积等于位于x为＿＿＿，且等于位于xx四、自主测评计算定积分：1、计算定积分：（1）；2(42x)(4x2)（1）；2）32xdx1； 2）32xdx1； 1 xx1x3x1x（3） ( 2

)2dx（4）4 x( xdx；（4）；（5；（5）（6）2(3xsinx)dx02 2x (ex ．x12、计算定积分：）1e2xdx； （2）0自主练下列各式中，正确的是（）

4cos2xdx6

32xdx（3（3）ababa

f′(x)dx=f′(b)-f′(a)f′(x)dx=f′(a)-f′(b)f′(x)dx=f(b)-f(a)a

f′(x)dx=f)2、1x2dx等于（ ）01 1A.0 B. C. x2

D. 2x3 33、计算下列定