线性代数行列式经典例题

WordWord文档线性代数行列式经典例题例1计算元素为aij

|i-j|的n阶行列式.解方法1由题设知，a=0a=111 ' 12 '…，a=n—1,…,，故,2c+c

j—nj=1,…,n—1n—2二(—1)n-12n-2(n—1)—2001•••n—1—1110•••n—2r—r,—1—1i—L+1********i=1,2,,n—1*n—1n—2•••0n—1n—2逐行减前一行.第二步用的每列加第〃列.方法2Dn…0其中第一步用的是从最后一行起，0—其中第一步用的是从最后一行起，0—2=(—1)n-12n-2(n—1)例2.设a,b,c是互异的实数，证明:的充要条件是a+b+c=0.证明：考察范德蒙行列式:b2g一与(鼻一c)(b-*)0-b2-（以-8）（"一一已+齿丁口+A1 1 1a b c行列式" 即为丫2前的系数.于是1 1 1a b c=疗/_（曰一句（以一白）色一己（口+方+白）1 1 1a 占 c=0所以^^的的充要条件是a+b+c=0.x -1例3计算D= 0 xn • •• •aan n-1解：方法1递推法0 ... 0-1 ... 0• •• •• •a...x+an-2 1按第1列展开，有—1x-1D=xD+(-1)n+1an x-1 =xD+an n-1 n n-1••••

••x-1n-1x -1由于D1=x+a,D= ，于是D=xD|+an=x(xD+a)+a=x2D+1 12ax+a n n-1 n n-2 n-1 n n-22 1xn-1D1+a=xn+axn-1+ +ax+an 1 n-1n方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，…，第n列的xn-1倍分别加到第1列上0-10 ...0x2x-1...0Dc1=c200x...0n************a+xaaa...x+an n-1n-1n-21WordWord文档0-100•••00x-10•••0C1至2c3x3*0*x*-1*•••0*a+xa+x2an n-1n-2*an-1*an-2*an-3•••*x+ai0-1x-1按r展开三(-1)n+1f-1x-1x*••••••-1*f***xx-1xn+axn-ih fax+an-1方法3利用性质，1c2+c12x11C+S3x2D=

n…x00...00x0...000x...0将行列式化为上三角行列式．方法41

c+c,

nxn—1按展开

n(—1)n+2an—1+(—1)2n(a1按r展开

nfx)（－1）n+1n-1an—2aa+-n-1+-；x2xn—1+an—1kn=xn—1(a n—xn—1a——n-1xn—2+.…+—2+ax1+x)x+ Faxn-1+xn1(—1)n+1an-10-1***0••••••00***x00-1+x-1•••000x•••00*0*0•••*0*x1）n-1a+n（－1）…+(-1)2n-1an+2（－1）n-2xn—1+…+(-1)2n-1(—1)a2xn-2+(—1)2n(a1+x)xn-1=a+axH \-axnx+xnn n-i i例4・计算n阶行列式：a+ba1 12aa+bD=i*2 2.n****aa12anana+bnn解采用升阶（或加边）(bb…b丰0)'12n'法．该行列式的各行含有共同的元素—2,…,a，可在保持的元素，n使得下一步化10D升阶0a1a+b11aa2a2a+b•••••••••ananar2-r1r=r11—1—1a1b10a20b•••••••••an00ni2 2n2•**•r一r****•**•n+1 1****•**•****0aa•••a+b—100•••b12n nn适当选择所增行（或列）原行列式值不变的情况下，增加一行一列，简后出现大量的零元素．aa1+T

b1a+…+-3b1c+c.

1=1jj=2,…,n+1bb…b(1a+-1+•••+

b1这个题的特殊情形是a+x1a1a1可作为公式记下来．a2aHx2anan例5,计算n阶“三对角”行列式aP

a+P10

aPxn-1(x+za)i=1...0...0a+P ...0000WordWord文档(n-1)而(n-1)而D1-(a+P),aB

a+B=a2+aP+P2代入得D-aD -P〃n n-1aP0 0...0 0按।展开/ Q、D-(a+P)d—1a+PaP...00・••• •n n-1••••••••0 0 0...1a+P解方法1递推法.按।展开/-(a+P)dn1-邓dn2即有递推关系式 D=(a+B)D「邓Dn-2(n>3)TOC\o"1-5"\h\zn n-1 n2故 D -aD =P(D -aD )n n-1 n-1 n-2递推得到 D -aD =P(D -aD ) =P2(D-aD)n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3二…二Pn-2(D-aD)2 1D-aD+P〃 (2.1)n n-1由递推公式得D-aD+Pn=a(aD +Pn-1)+Pnn n1 n2=a2d+aPn-1+Pn—...n-2—an+an-1P+…+aPn-1+Pn―<Bn+1-an+10—a,(n+1)an+1'当a牛0时当a=B时方法2把Dn按第1列拆成2个n阶行列式aPPaP0 ...00a0...00aP...a+PaP1a+P001...000a+P...00a+P1Dn=01...00+.*«••••000 ...a+PaP000...1a+P000 ...1aP上式右端第一个行列式等于aD广而第二个行列式n-1

BaB0 ...00 cB00...001a+BaB...001B0...000 1a+B...00c—ac _••*i01B...00=pn••••••••.•.i=2,,n .*0 00 ...a+BaB .二 000...1B0 00 ...1aB于是得递推公式D二n二aD+B〃.n—1已与(2.1)式相同.方法3在方法1中得递推公式Dn=(a+B)Dn「a「Dn—2aB

a+B又因为当a+aB

a+B二(a+B)2—aB=a2+aB+B2=aB0(a+B(a+B)3-2aB(a+B)1a+Ba4—B4(a+B)(a2+B2)=an+1—Bn+1于是猜想D= ，下面用数学归纳法证明.na—B当n=1时，等式成立，假设当n<k时成立.当门=卜+1是，由递推公式得D=(a+B)D-aBDk+1 k k—1=(=(a+B)ak+1—Bk+1FB--aB所以对于n£N+，等式都成立例6,计算n阶行列式：11+a11D=.n •11… 1… 1«…1+aWordWord文档解这道题有多种解法．方法1化为上三角行列式D碍1n.i=2,，孔1+a1—ai其中b=1+a+a£111ai=2i方法2升阶1—a1（或加边）1i=1aJ*/i,于是D=aa12…ci．ai=1ni(1+升阶C+c-,

1a j+1_j_j=1,2,"n——i方法3由于1+a11+£i=11+a2递推法.将D改写为

nD=n拆开

=nr=1i=2,3,,n+1000—1a—10010anani=1aJi11+011+a1+0111+an1011