2023版高考数学一轮复习讲义：第二章函数的概念与基本初等函数2-6

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第六节对数与对数函数·最新考纲·1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象3．体会对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．·考向预测·考情分析：对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题．学科素养：通过对数运算考查数学运算的核心素养；通过对数函数的图象与性质考查直观想象、逻辑推理的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．对数(1)对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)对数的性质：①alogaN＝________；②logaab＝b(a>0(3)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝____________；②logaMN＝________________③logaMn＝________(n∈R)．(4)换底公式：logab＝________(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．2．对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：________值域：________当x＝1时，y＝0，即过定点________当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________3.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．它们的定义域和值域正好互换．二、必明2个常用结论1．换底公式的三个重要结论①logab＝1logba；②logambn③logab·logbc·logcd＝logad.2．对数函数图象的特点(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势．(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，-1(3)在直线x＝1的右侧，当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．()(2)log2x2＝2log2x.()(3)当x>1时，logax>0.()(4)函数y＝ln1+x1-x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．((二)教材改编2．[必修1·P73练习T3改编]已知a＝2-13，b＝log213，c＝log1A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b3．[必修1·P74习题T3改编]计算：lg427-lg823(三)易错易混4．函数y＝3＋loga(x＋3)的图象必经过定点的坐标为________．5．(忽视底数a的讨论出错)若loga34<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________(四)走进高考6．[2021·全国乙卷理]设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝1.04－1，则()A．a<b<cB．b<c<aC．b<a<cD．c<a<b提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一对数式的化简与求值[基础性]1．[2022·山西省临汾市高三考试]已知4x＝3y＝m，且1x+2y＝2，则mA．2B．4C．6D．92．[2022·临沂期末改编]若10a＝4，10b＝25，则下列选项中不正确的是()A．a＋b＝2B．b－a＝1C．ab>8lg22D．b－a>lg63．已知a>b>1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________4．计算：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)lg3(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．反思感悟对数运算的一般思路考点二对数函数的图象及应用[基础性、综合性][例1](1)[2022·泰安模拟]函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为()(2)已知函数f(x)＝log2x，x>0，3x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－听课笔记：反思感悟对数型函数图象的考查类型及解题思路(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解．(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法．【对点训练】1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()2．[2022·西安调研]设x1，x2，x3均为实数，且e-x1＝lnx1，e-x2＝lnA．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3考点三对数函数的性质及其应用[综合性]角度1比较对数值的大小[例2](1)[2020·全国卷Ⅲ]设a＝log32，b＝log53，c＝23，则(A．a<c<bB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b(2)[2022·衡水检测]已知a＝(12)0.2，b＝log120.2，c＝ab，则a，b，cA．a<b<cB．c<a<bC．a<c<bD．b<c<a听课笔记：反思感悟比较对数值大小的方法若底数相同，真数不同若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较角度2解简单的对数不等式[例3]已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为()A．(2，＋∞)B．0C．(0，22)∪(2，＋∞)D．(听课笔记：反思感悟求解对数不等式的两种类型及方法类型方法形如logax>logab借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论形如logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解角度3对数型函数性质的综合应用[例4]已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．听课笔记：反思感悟求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤一求求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．二判判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性【对点训练】1．已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b<cB．a＝b>cC．a<b<cD．a>b>c2．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．微专题❾巧借运算性质拟合函数破压轴思想方法[例][2021·辽宁大连期中]定义在(0，＋∞)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)<2的解集是()A．(－1，9)B．(0，8)C．(8，9)D．(0，9)解析：方法一(一般解法)因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(3×3)＝f(9)，则不等式f(x)＋f(x－8)<2等价于f[x(x－8)]<f(9)．因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以不等式等价为x>0，x-8>0，xx-8<9，所以不等式的解集为(8，9)，故选C.方法二(秒杀解法)根据在(0，＋∞)上的增函数f(x)，满足对于任意正实数x，y恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，可以设f(x)＝log3x(x>0)，则不等式f(x)＋f(x－8)<2可化为log3x＋log3(x－8)<2，得log3x解得8<x<9.答案：C名师点评本题是一个抽象函数的试题，如果直接研究抽象函数的单调性有困难，可尝试根据抽象函数的结构和形式，从中找到一个能“拟合”这个规律的具体函数，结合具体函数的性质解决问题．如本题抽象函数有性质“f(xy)＝f(x)＋f(y)”，可以借助对数函数模型解题．[变式训练]若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则f2f1+f4f3A．1009B．2018C．2019D．2020第六节对数与对数函数积累必备知识一、1．(1)x＝logaN(2)N(3)logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM(4)log2．(2)(0，＋∞)R(1，0)增函数减函数3．y＝logaxy＝x三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：因为0<a<1，b<0，c＝log1213＝log23>1.所以c>答案：D3．解析：原式＝lg4＋12lg2－lg7－23lg8＋lg7＋12lg5＝2lg2＋12(lg2＋lg5)－答案：14．解析：因为当x＝－2时，y＝3＋0＝3，所以该函数的图象必过定点(－2，3)．答案：(－2，3)5．解析：当0<a<1时，loga34<logaa＝1，所以0<a<3当a>1时，loga34<logaa＝1，所以a所以实数a的取值范围是0答案：06．解析：a＝2ln1.01＝ln1.012＝ln(1＋0.01)2＝ln(1＋2×0.01＋0.012)>ln1.02＝b，所以b<a；下面比较c与a，b的大小关系．记f(x)＝2ln(1＋x)－1+4x＋1，则f(0)＝0，f′(x)＝21+x-2由于1＋4x－(1＋x)2＝2x－x2＝x(2－x)所以当0<x<2时，1＋4x－(1＋x)2>0，即1+4x>(1＋x)，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(0.01)>f(0)＝0，即2ln1.01>1.04－1，即a>c；令g(x)＝ln(1＋2x)－1+4x＋1，则g(0)＝0，g′(x)＝21+2x-2由于1＋4x－(1＋2x)2＝－4x2，在x>0时，1＋4x－(1＋2x)2<0，所以g′(x)<0，即函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)＝0，即ln1.02<1.04－1，即b<c；综上，b<c<a.答案：B提升关键能力考点一1．解析：由题知，x＝log4m，y＝log3m，则1x+2y＝1log4m+2log3m＝logm则m＝6，故选C.答案：C2．解析：由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，则a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正确；b－a＝lg25－lg4＝lg254>lg6且lg254<1，故B错误，D正确；ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8lg22，故答案：B3．解析：设logba＝t，则t>1，因为t＋1t＝5所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b又a>b>1，解得b＝2，a＝4.答案：424．解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝lg＝1-＝－32(3)原式＝lg2lg3+lg2lg9·lg3lg4考点二例1解析：(1)令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．答案：(1)A(2)(1，＋∞)对点训练1．解析：函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B项；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D项，故选C项．答案：C2．解析：画出函数y＝1ex，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lg由图象直观性，知x2<x1<x3.答案：D考点三例2解析：(1)因为a＝log32＝log338<log339＝23b＝log53＝log5327＞log5325＝23＝c，所以a＜c(2)函数y＝(12)x与y＝log12x的图象关于直线y＝x对称，则0<12又c＝ab＝(＝(12)log120.20.2＝0.20.2<(12)0.2答案：(1)A(2)B例3解析：因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，即|log2x|>1，解得0<x<12或x答案：B例4解析：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1.因此a＋5＝4，即a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3.即函数f(x)的定义域为(－1，3)