(专题精选)初中数学锐角三角函数的分类汇编

（专题精选）初中数学锐角三角函数的分类汇编一、选择题1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A．4 B．8 C．6 D．【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=4，∴光盘的直径为8．故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.2．在半径为的中，弦、的长度分别是，，则为（）度．A． B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=．sin∠AOD=，∴∠AOD=60°；sin∠AOE=，∴∠AOE=45°；∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.3．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为，小正方形的边长为5，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出．4．如图，在中，，是边上一条运动的线段（点不与点重合，点不与点重合），且，交于点，交于点，在从左至右的运动过程中，设，的面积减去的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设a＝BC，∠B＝∠C＝α，求出CN、DM、EN的长度，利用y＝S△BMD−S△CNE，即可求解．【详解】解：设a＝BC，∠B＝∠C＝α，则MN＝a，∴CN＝BC−MN−BM＝2a−a−x＝a−x，DM＝BM·tanB＝x·tanα，EN＝CN•tanC＝（a−x）·tanα，∴y＝S△BMD−S△CNE＝（BM·DM−CN·EN）＝，∵为常数，∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．5．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A．(54+10)cm B．(54+10)cm C．64cm D．54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．6．如图，点从点出发沿方向运动，点从点出发沿方向运动，同时出发且速度相同，（长度不变，在上方，在左边），当点到达点时，点停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=S△GDE＋S△EGF即可求出结论．【详解】解：连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N设AE=BG=x，则BE=AB－AE=AB－x∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB∴S阴影=S△GDE＋S△EGF=DE·GN＋GF·EM=DE·（x·sinB）＋DE·[（AB－x）·sinB]=DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]=DE·AB·sinB∵DE、AB和∠B都为定值∴S阴影也为定值故选B．【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．7．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2＋ B．2 C．3＋ D．3【答案】A【解析】【分析】【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x，所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，故选A.8．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【详解】设AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，是的弦，直径交于点，若，，则的长为()A． B．4 C．6 D．【答案】D【解析】【分析】连接．证明是等边三角形即可解决问题．【详解】如图，连接．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴，故选D．【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC•tan30°=，故选A11．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：，根据x＝2，y＝6，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为，点Q的速度为，故点P、Q的速度比为3：，故设点P、Q的速度分别为：3v、v，由图2知，当x＝2时，y＝6，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×v＝2v，y＝AB×BQ＝6v×2v＝6，解得：v＝1，故点P、Q的速度分别为：3，，AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝6，如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝x＝4，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣4＝2，过点P作PH⊥BC于点H，PC＝6，则PH＝PCsinC＝6×＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝3﹣2＝，PQ＝＝＝2，故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．12．如图，在中，，，是的角平分线，，则点到的距离为()A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】如图，过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAC=60°，由AD为∠BAC的角平分线可得∠DAC=30°，根据角平分线的性质可得DE=CD，利用∠DAC的正切求出CD的值即可得答案．【详解】∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，DE=CD，∵AC=6，∴CD=AC·tan∠DAC=6×=，即DE=，∴点到的距离为，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．13．如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点.若，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得，证明，根据全等三角形的性质可得，继而根据，可求得CG的长，进而根据即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD是正方形，，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.14．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣的图象上，OA'交反比例函数y=的图象于点C，且OC=2CA'，则k的值为（）A．4 B． C．8 D．7【答案】C【解析】【详解】解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα），∵点B'在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣asinα=﹣，得a2sinαcosα=2，又∵点C在反比例函数y=的图象上，∴2acosα=，得k=4a2sinαcosα=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.15．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．(30-50，30) B．(30，30-50) C．(30，30) D．(30，30)【答案】A【解析】【分析】【详解】解：OA=15×4=60海里，∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°，∵sin30°==，∴CO=30海里，∴AC=30海里，∴BC=（30－50）海里，∴B（30－50，30）.故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用．16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】过点作x轴的垂线，垂足为M，通过条件求出，MO的长即可得到的坐标.【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为M，∵，，∴，，∴，在直角△中，，，∴，，∴OM=2+1=3，∴的坐标为.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17．如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB，AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=，则AB=2AC，∴cos70°=，∴AC=AD•cos70°，AD=，∴=2cos70°．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝AD＝x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝OE＝x．∴tan∠EDC＝＝＝．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．19．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．nmile B．60nmile C．120nmile D．nmile【答案】D【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再