(人教版)深圳市选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(含答案解析)

一、选择题1．直线过下面哪个定点（）A． B． C． D．2．过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（）A． B． C． D．3．若圆平分圆的周长，则的最小值为（）A．8 B．9 C．16 D．204．圆上一点到直线的距离最小值为（）A． B．C． D．5．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：①对任意三点、、，都有；②已知点和直线，则；③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（）A．0 B．1 C．2 D．37．过点P(1，2)引直线使两点A(2，3)､B(4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（）A．4x+y-6=0 B．x+4y-6=0C．2x+3y-7=0或x+4y-6=0 D．4x+y-6=0或3x+2y-7=08．直线y=x+b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是（）A． B．-1<b≤1或C．-1≤b<1 D．非以上答案9．直线：与圆：交于、两点，若的周长为，则实数的值为（）A． B． C． D．10．曲线与直线有两个相异交点，则k的取值范围是（）A． B． C． D．11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．8 B．7 C．6 D．512．若直线与直线平行，则的值为（）A． B． C．或 D．二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知点、．若直线上存在点P使得，则实数的取值范围是___________．14．已知点为直线上的任意一个动点，则点到点的距离的最小值是______.15．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．16．过圆的圆心，且垂直于的直线方程是______．17．若为直线上一个动点，从点引圆的两条切线，（切点为，），则的最小值是________.18．已知圆为坐标原点，点的坐标为，点为线段垂直平分线上的一点，若为钝角，则点横坐标的取值范围是______.19．已知直线，．若，与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则________．20．已知，则的最小值是______．三、解答题21．已知圆的圆心在直线：上，且过点和.（1）求圆的方程.（2）求证：直线：，与圆恒相交.（3）求与圆相交所得弦的弦长的最小值及此时对应的直线方程.22．已知直线方程为，其中.（1）当变化时，求点到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于，两点，求面积的最小值及此时的直线方程.23．已知圆C：．（1）过点向圆引切线，求切线的方程；（2）若为圆上任意一点，求的取值范围．24．已知直角三角形的项点坐标，直角顶点，顶点在轴上.（1）求边所在的直线方程；（2）设为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程；（3）已知与平行的直线交轴于点，交轴于点.若为圆上任意一点，求三角形面积的取值范围.25．已知圆，点、，其中．（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若以为直径的圆与圆有公共点，求实数的取值范围．26．已知圆：，斜率为1的直线与圆交于、两点.（1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线平行移动时，求面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由恒等式的思想得出，解之可得选项.【详解】由，解得：，故直线过恒过点，故选：C.【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.2．A解析：A【分析】由得，由题知直线斜率存在，设直线的斜率为，，设直线为，然后根据圆的弦长公式，以及圆心到直线的距离，由，进而化简求解即可【详解】由得，曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与轴的交点），由题知，直线斜率存在，设直线的斜率为若直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合，则，直线的方程为：，即则圆心到直线的距离直线被半圆所截得的弦长为令则，当，即时，有最大值为此时，又，综上所述，直线的斜率是故答案为：A【点睛】关键点睛：通过圆的弦长公式和圆心到直线的距离，得出，进而令，可得，进而利用二次函数的性质求解即可，属于中档题3．A解析：A【分析】由两圆的相交弦是圆的直径得出的关系，然后由基本不等式求得最小值．【详解】两圆方程相减得，，此为相交弦所在直线方程，圆的标准方程是，圆心为，∴，，∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：A．【点睛】本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．4．C解析：C【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解.【详解】圆心为，直线方程为，所以，圆上一点到直线的距离最小值故选C．【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.5．C解析：C【分析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.【详解】直线方程变形得：.由得，∴直线恒过点，，，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.6．B解析：B【分析】由新定义表示出三点两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出，判断②，根据新定义求出的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③．【详解】①设，则，，显然，同理，∴，①正确；②设是直线上任一点，则，，易知在上是增函数，在上是减函数，∴时，，②错；③由得，易知此曲线关于轴，轴，原点都对称，它是以为顶点的正方形，其转成图形面积为，③错．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．7．D解析：D【分析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，不成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，∵直线l与两点A(2，3)，B(4，-5）的距离相等，解得或.:.直线l的方程为或整理，得：或故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．B解析：B【分析】作出曲线，它是单位圆的右半个圆，作出直线，求出直线过半圆直径两端点时的值，及直线与半圆相切时的值可得结论．【详解】作出曲线，它是单位圆的右半个圆，作出直线，如图，易知，当直线过点时，，当直线过点时，，当直线与半圆相切时，，，由图可知∴的取值范围是或．故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．9．A解析：A【分析】先根据半径和周长计算弦长，再利用点到直线的距离公式和弦心距关系求参数即可.【详解】圆：中，圆心是，半径是，故的周长为，即，得，又直线与圆相交后的弦心距，故由得，解得.故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C【分析】曲线表示半圆，作出半圆，直线过定点，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论．【详解】曲线是半圆，圆心是，圆半径为2，直线过定点，作出半圆与过的点直线，如图，与圆相切，由，解得，即，，，∴．故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．C解析：C【分析】求出关于的对称点,根据题意，为最短距离，求出即可.【详解】设点关于的对称点，设军营所在区域为的圆心为,根据题意，为最短距离，的中点为，，直线的斜率为1,解得：,，故选:C.【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.12．B解析：B【分析】根据两直线平行，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，直线与直线平行，可得，解得.故选:B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的平行的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．【分析】设点利用条件可求得点的轨迹方程进而可转化为直线与点的轨迹曲线有公共点可得出关于实数的不等式由此可解得实数的取值范围【详解】设点由于则化简可得由题意可知直线与圆有公共点则解得因此实数的取值范围解析：【分析】设点，利用条件可求得点的轨迹方程，进而可转化为直线与点的轨迹曲线有公共点，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】设点，由于，则，化简可得，由题意可知，直线与圆有公共点，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，方法如下：（1）代数法：将直线的方程和圆的方程联立，消去一个元（或），得到关于另外一个元的一元二次方程.①若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；②若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；③若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离；（2）几何法：计算圆心到直线的距离，并比较与圆的半径的大小关系.①若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；②若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；③若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.14．【分析】利用点到直线距离公式可求得点A到直线的距离即为直线上点到点A距离的最小值【详解】根据点到直线的距离公式可得结合图像点到直线的距离为即直线上一动点到的距离的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：【分析】利用点到直线距离公式，可求得点A到直线的距离，即为直线上点到点A距离的最小值.【详解】根据点到直线的距离公式可得，结合图像点到直线的距离为，即直线上一动点到的距离的最小值为，故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用，解题的关键是分析题意，结合图像将直线上动点到点的距离的最小值转化为点到直线的距离，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于基础题.15．【分析】设点连接交于可写出的坐标再在直角中利用勾股定理列方程可得xy的关系式即顶点的轨迹方程【详解】设点如图连接交于由矩形可知为的中点连接在直角中则即整理得所以顶点的轨迹方程是故答案为：【点睛】关键解析：【分析】设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x,y的关系式，即顶点的轨迹方程.【详解】设点，如图连接交于，由矩形可知为的中点，，连接，在直角中，，则即，整理得，所以顶点的轨迹方程是故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x,y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.16．【分析】求出圆心坐标由垂直设出直线方程为代入圆心坐标求出参数得直线方程【详解】圆的标准方程是圆心坐标为垂直于的直线方程为则∴所求直线方程为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由垂直求直线方程解题方法解析：【分析】求出圆心坐标，由垂直设出直线方程为，代入圆心坐标求出参数，得直线方程．【详解】圆的标准方程是，圆心坐标为，垂直于的直线方程为，则，，∴所求直线方程为．故答案为：．【点睛】方法点睛：本题考查由垂直求直线方程，解题方法有两种：（1）由垂直得斜率乘积为，得出所求主直线的斜率，再由写出点斜式方程，（2）与直线垂直的直线方程可设为，代入已知点坐标求出参数后可得．17．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为：解析：【分析】根据题意得当的长度最小时，取最小值，进而根据几何关系求解即可.【详解】如图，由题可知圆C的圆心为，半径．要使的长度最小，即要最小，则最小．因为，所以当最小时，最小因为，所以当最小时，最小．因为，所以，所以，由于所以．故答案为：.【点睛】本题解题的关键是根据已知当的长度最小，即要最小，进而得当最小时，最小．由于的最小值为点到直线，故.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.18．【分析】利用垂直斜率关系和中点坐标可求得垂直平分线所在直线方程设由为钝角可知由此构造不等式求得的范围；当三点共线时不合题意需舍去从而得到最终结果【详解】设垂直平分线斜率为则即又中点为垂直平分线方程为解析：【分析】利用垂直斜率关系和中点坐标可求得垂直平分线所在直线方程，设，由为钝角可知，由此构造不等式求得的范围；当三点共线时不合题意，需舍去，从而得到最终结果.【详解】设垂直平分线斜率为，则，即又中点为垂直平分线方程为：，即为钝角设，，解得：又当时，三点共线，此时，不合题意故答案为：【点睛】本题考查直线方程的综合应用、平面向量夹角的运算求解问题；关键是能够通过垂直且平分的关系求得直线方程，同时利用角为钝角确定向量数量积所处的范围；易错点是忽略向量数量积小于零时，夹角有可能为平角的情况，造成增根出现.19．【分析】由l1l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆可得此四边形存在一组对角的和等于180°当直线l2的斜率大于零时根据l1⊥l2由此求得k的值当直线l2的斜率小于零时应有∠ABC与∠ADC互补即t解析：【分析】由l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，可得此四边形存在一组对角的和等于180°．当直线l2的斜率大于零时，根据l1⊥l2，由此求得k的值．当直线l2的斜率小于零时，应有∠ABC与∠ADC互补，即tan∠ABC＝﹣tan∠ADC，由此又求得一个k值，综合可得结论．【详解】由题意知，l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补．由于直线l1：x+3y﹣5＝0是一条斜率等于的固定直线，直线l2：3kx﹣y+1＝0经过定点A（0，1），当直线l2的斜率大于零时，应有l1⊥l2，∴3k×（）＝﹣1，解得k＝1．当直线l2的斜率小于零时，如图所示：设直线l1与y轴的交点为B，与x轴的交点为C，l2与x轴的交点为D，要使四边形ABCD是圆内接四边形，应有∠ABC与∠ADC互补，即tan∠ABC＝﹣tan∠ADC．再由tan（90°+∠ABC）＝KBC，可得tan∠ABC＝3，∴tan∠ADC＝﹣3＝KAD＝3k，解得k＝﹣1．综上可得，k＝1或k＝﹣1，故答案为±1．【点睛】本题考查两条直线垂直的条件，直线的倾斜角、斜率间的关系，存在一组对角的和等于180°的四边形一定有外接圆，属于基础题．20．-10【分析】将问题转化为动点到两定点的距离之差的最小值结合三角形法则即可求解【详解】可转化为点到点距离之差当点三点不共线时则有当点三点共线时则有故当且仅当点P为直线AB与x轴的交点时取最小值-10解析：-10【分析】将问题转化为动点到两定点的距离之差的最小值，结合三角形法则即可求解.【详解】可转化为点到点距离之差，当点三点不共线时，则有,当点三点共线时，则有,故，当且仅当点P为直线AB与x轴的交点时，取最小值-10.故答案为：-10【点睛】本题主要考查两点间距离公式的逆用，属于能力提升题.三、解答题21．（1）；（2）证明见解析；（3）最小值：，对应的直线方程：.【分析】（1）设圆的方程为：，利用待定系数法求解；（2）可利用圆心到直线的距离运算求证，也可求出直线过定点，由点在圆内求证；（3）当弦的弦长的最小时，圆心到直线的距离最大，即为垂足时，即可求解.【详解】（1）设圆的方程为：，由题意得：，解得：，故圆的方程为：.（2）方法一：由（1）知圆心为，，所以圆心到直线的距离，，当即时，，直线与圆恒相交，当，即时，，令，，，当且仅当，即时取等，所以，直线与圆恒相交，当，即时，，当且仅当，即或时取等，所以，直线与圆恒相交，综上所述，，直线与圆恒相交.方法二：因为直线：，，，，所以直线过定点，因为，所以在圆内，所以直线与圆恒相交.（3）设与圆相交于，两点，由垂径定理得：，求的最小值即求取得最大值时，由（2）知，所以，此时，所以直线方程为：.【点睛】关键点点睛：证明过定点的动直线与圆恒相交时，可考虑定点在圆内求解，求直线与圆相交的弦长及最值时，可利用弦心距、半径、半弦长之间的关系求解.22．（1）（2）4，【分析】（1）求出动直线所过定点,当变化时，直线时，点到直线的距离的最大．（2）直线的斜率存在且，因此可设直线的方程为，求出直线在轴、轴的截距．可得的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果．【详解】（1）直线方程为，可化为对任意都成立，所以，解得，所以直线恒过定点.设定点为,当变化时，直线时，点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，即.（2）由于直线经过定点．直线的斜率存在且，因此可设直线方程为可得与轴、轴的负半轴交于，两点∴，，解得．∴当且仅当时取等号，面积的最小值为4此时直线的方程为：，化为：．【点睛】关键点点睛：求三角形面积最小时，一般首先表示出三角形的面积，本题利用直线在坐标轴的截距表示可得,再根据均值不等式或利用函数求最值，确定最值取得的条件，求解即可.23．（1）或；（2）．【分析】（1）点在圆外部，所以切线有两条，讨论斜率不存在的情况是否相切，斜率存在时设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径即可求出斜率，即可求解；（2）表示圆上的点到定点的距离的平方再减，转化为求定点到圆心的距离加上或减去半径，进而可得答案.【详解】（1）圆C：的圆心，半径，当经过点的直线与轴垂直时，方程为，恰好到圆心到直线的距离等于半径，此时直线与圆相切，符合题意．当经过点的直线与轴不垂直时，设直线为，即，由圆C到直线的距离，解得，此时直线的方程为，化简得，综上圆的切线方程为：或．（2），设点，则表示圆上的点到定点的距离的平方再减，设圆心与的距离为d，则；所以圆上动点与定点距离的最大值为，最小值为，所以，即，所以的取值范围为．【点睛】方法点睛：求过圆外一点的圆的切线方程（1）几何法：当斜率存在时，设斜率为，则切线为，即，由圆心到直线的距离等于半径，可求出的值，进而写出切线方程.（2）代数法：当斜率存在时，设斜率为，则切线为，即，与圆的方程联立消去，得到一个关于的一元二次方程，由即可求出的值，进而写出切线方程.24．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）设中点为，则，得到，求出，利用点斜式写方程即可；（2）利用（1）得到圆心坐标以及半径即可得解；（3）先求，再求直线的方程，点到直线的距离，则三角