(典型题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(含答案解析)

一、选择题1．记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项，···的最小项为，令，若数列的通项公式为，则数列的前项和为（）A． B． C． D．2．已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（）A． B． C． D．3．设首项为1的数列的前n项和为，且，若，则正整数m的最小值为（）A．14 B．15 C．16 D．174．已知等比数列的前n项和为，则下列命题一定正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．记为等比数列的前项和.若，，则（）A．2 B．-4 C．2或-4 D．46．某食品加工厂年获利万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从年开始每年比上一年获利增加，则从（）年开始这家加工厂年获利超过万元．（已知，）A．年 B．年 C．年 D．年7．若数列满足，为常数)，则称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为（）A． B．2 C． D．48．已知等比数列的前n项和为，若，则，（）A．10 B．15 C．20 D．259．已知等差数列的前项和为，满足，，，则（）A．10 B．11 C．12 D．1310．如果数列的前项和，则()A．8 B．16 C．32 D．6411．设为等比数列，给出四个数列：①，②，③，④.其中一定为等比数列的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①②12．已知为等比数列，，，以表示的前项积，则使得达到最大值的是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题13．已知正项数列的前项和为，且满足，则______.14．已知首项为1的数列的前项和为，若，则数列的前项和______.15．已知为数列的前项和，若，且，则________.16．数列满足：，，则数列的通项公式___________.17．定义表示实数中的较大的数．已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为___________．18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则实数的值为_____19．设是等比数列的前n项和，（），且，则______.20．________.三、解答题21．已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项．（1）求数列的公比；（2）若，数列的前和为且，求的最小值．22．已知等比数列的公比不为1，且，是与的等差中项.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.23．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的首项为1，公差为1，求数列的前项和.24．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，.（1）求的值及数列的通项公式；（2）若有，求证：25．数列的前n项之和为，，(p为常数)（1）当时，求数列的前n项之和；（2）当时，求证数列是等比数列，并求.26．若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：；②等比数列：；（2）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可.【详解】数列的通项公式为，故从起单调递增，且，所以，，，，…，，又，所以数列的前项和为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从起单调递增，才能依次确定的项，找到规律，突破难点.2．C解析：C【分析】由，可得，数列为常数列，令，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.【详解】数列满足，对任意的都有，则有，可得数列为常数列，有，得，得，又由，所以．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.3．C解析：C【分析】根据已知递推关系求出数列的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出后，检验可得．【详解】当为奇数时，，所以，又，所以成等比数列，公比为2，，即，当为偶数时，，所以，又，所以成等比数列，公比为2，，即，所以，，，，所以满足的正整数m的最小值为16．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和，再检验取具体数值的结论．4．B解析：B【分析】根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案.【详解】当时，，故，，当时，，分以下几种情况，当时，，此时；当时，，此时，当时，，此时；当时，，此时；故当时，与可正可负，故排除A、C.当时，，故，；当时，，由于与同号，故，所以符号随正负变化，故D不正确，B正确；故选：B【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.5．B解析：B【分析】利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．【详解】∵为等比数列的前项和，，，∴，解得，∴，故选B．【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．C解析：C【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于的不等式，解出的值，注意其中对数式的计算．【详解】由题意，设从年开始，第年的获利为万元，则数列为等比数列，其中年的获利为首项，即.年的获利为万元，年的获利为万元，数列的通项公式为，由题意可得，即，，，从年开始这家加工厂年获利超过万元．故选：C．【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．7．C解析：C【分析】先由题设为调和数列是等差数列，进而利用等差数列的前项和公式及性质求得的值，再利用基本不等式求得的最大值即可.【详解】解：由题设知：，为常数)，是等差数列，，，(当且仅当时取“等号“，，(当且仅当时取“等号“，的最大值为.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.8．A解析：A【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得，结合的值进而可得结果.【详解】，则，故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.9．C解析：C【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得，从而求得，然后由求解.【详解】由题意得，所以.所以.所以，解得.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.10．B解析：B【分析】根据题意得到，（n），两式做差得到，可得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列的前项和，（n）,两式做差得到（n），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到=，解得=1，故得到数列通项为，令n=5得到故答案为B.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.11．D解析：D【分析】设，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】设，①,,所以数列是等比数列；②，，所以数列是等比数列；③，不是一个常数，所以数列不是等比数列；④，不是一个常数，所以数列不是等比数列.故选D【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．A解析：A【分析】先求出首项和公比，得出是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．【详解】为等比数列，，，，，，，．故是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以表示的前项积，则使得达到最大值的是4，故选：．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题解析：【分析】先利用求出，再利用时可知是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出.【详解】当时，，解得，当时，，整理可得，是首项为1，公差为1的等差数列，，是正项数列，，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的判断，考查和的关系，属于中档题.14．【分析】根据求数列通项分析时求解数列通项得到整理可得即可求出通项公式代入数列的通项中进行列项整理最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和【详解】∵∴∴∴即∴即故则故故答案为：【点睛】本题主要考查了利用解析：【分析】根据求数列通项，分析时求解数列通项得到，整理可得，即可求出通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和.【详解】∵，∴，∴，∴，即，∴，即，故，则，故.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解通项公式，考查了裂项相消法求和问题，属于中档题.15．【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项得出数列是周期数列从而可求和【详解】由题意∴数列是周期数列且周期为4故答案为：【点睛】本题考查数列的周期性考查求周期数列的和解题时可根据递推公式依次计算数列的解析：【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项，得出数列是周期数列，从而可求和．【详解】由题意，，，，∴数列是周期数列，且周期为4.．故答案为：．【点睛】本题考查数列的周期性，考查求周期数列的和，解题时可根据递推公式依次计算数列的项，然后归纳出周期性．16．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数解析：【分析】当时，，作差即可得到，再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时，②；①减②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，所以，所以，又，所以，当时也成立，所以故答案为：【点睛】对于递推公式为，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式；17．7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254【分析】参数进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据求得的值可得答案.【详解】由题意，当时，，，，，因此是周期数列，周期为，所以，不合题意，当时，，，，，同理是周期数列，周期为，所以，，，.故答案为：．【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由依次求出），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．18．【分析】首先利用与的关系式得到求得公比首项和第二项再通过赋值求的值【详解】当时两式相减得即并且数列是等比数列所以当时解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列和的关系式求数列的通项解析：【分析】首先利用与的关系式，得到，求得公比，首项和第二项，再通过赋值求的值.【详解】当时，，两式相减得，即，并且数列是等比数列，所以，，，当时，，解得.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列和的关系式，求数列的通项.19．4或0【分析】设等比数列的公比为q化简已知得再分类讨论即得解【详解】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解由可得即∴若则此时若则此时故或故答案为：4或0【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求解析：4或0【分析】设等比数列的公比为q，化简已知得，再分类讨论即得解.【详解】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解.由可得，即，∴，若则，此时，若，则，此时，故或.故答案为：4或0【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．【分析】将分母利用等差数列求和公式化简然后利用裂项相消法求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和属于中档题解析：【分析】将分母利用等差数列求和公式化简，然后利用裂项相消法求解即可.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和，属于中档题.三、解答题21．（1）5；（2）50.【分析】（1）利用基本量代换，求出，直接求出公比；（2）裂项相消法求出，解不等式即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由是等比数列的连续三项，得，即，化简得．．设数列的公比的公比为，则．（2）若，则，．由，得，故的最小值为50．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）设数列的公比为，由是与的等差中项.求出后可得通项公式；（Ⅱ）求出，用裂项相消法求和．【详解】（Ⅰ）设数列的公比为，由条件知，即，整理可得，解得（舍去），所以.（Ⅱ），所以.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．23．（1）；（2）.【分析】（1）由等差数列的前项和公式，等比数列的性质列出关于和的方程组，解方程组后可得通项公式；（2）由等差数列通项公式求得后得，然后由错位相减法求得和．【详解】（1）设公差为，则.（2）由题意，，（1），（2）（1）－（2）得：，.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．24．（1），；（2）证明见解析．【分析】（1）已知等式中令，可求得，在中用代，然后两式相减，得出的递推关系，从而可得其通项公式；（2）时，由，用放缩法求出后可证得不等式成立．【详解】（1）在中令得，因为，所以，又由①得②