(北师大版)广州市九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(答案解析)

一、选择题1．如图，在中，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（）A．个 B．个 C．个 D．个2．如图，在菱形中，，点E在上，F为的中点，，垂足为E，，则长为（）A．8 B．10 C．12 D．163．已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（）A． B． C．0.618 D．4．如图，，若，则的值是（）A．2 B． C． D．35．已知小亮的身高为1.8米，同一时刻，小亮在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为（）．A．3.8米 B．5.4米 C．5.6米 D．6米6．如图，，射线和互相垂直，点D是上的一个动点，点E在射线上，，作并截取，连结并延长交射线于点C．设，，则y关于x的函数解析式是（）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（）A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．8．若2x＝5y，则的值是（）A． B． C． D．9．如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，折痕到的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第4次操作后得到的折痕到的距离记为，若，则的值是（）A． B． C． D．10．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④11．两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（）A．12 B．12或24 C．27 D．12或2712．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题13．△ABC，△DEF的条件如图所示，则n的值是_____．14．如图，一组平行线L1、L2、L3截两相交直线L4、L5，则____．15．在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，相似比为；若点的坐标为，则的对应点的坐标为________．16．如图，在正方形中，对角线相交于点是的中点，连接并延长交于点若的面积为则正方形的面积为________________________．17．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m．18．如图，在中，，，是上一点，，在上取一点，使、、为定点的三角形与相似，则的长为_______________．19．如图，菱形中，，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为______．20．在中，D、E分别是AB、AC的中点，若面积为，则四边形DBCE的面积为_____．三、解答题21．如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是多少米？22．如图，四边形中，，为的中点，交于点．（1）求证：平分（2）求证：（3）若的长是的两根，求的值．23．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．（1）当点E恰好落在延长线上时，求的度数．（2）在（1）的条件下连结交于点D．求证：．24．如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的而积为S′．（1）当D是AB的中点时，直接写出＝．（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．25．如图，在△ABC中，DE//AC，EF//AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）若，且△BDE的面积是5，求△EFC的面积．26．梅涅劳斯定理梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有．任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在中，，，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用直角三角形斜边上的高线模型，可判断有2个三角形与相似，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，传递一组等角，得到第3个三角形.【详解】∵∠EAC=∠CAF，∠AEC=∠ACF，∴△ACE∽△AFC；∵∠EAC+∠AFC=90°，∠ECF+∠AFC=90°，∴∠EAC=∠ECF，∵∠AEC=∠CEF，∴△ACE∽△CFE；∵是边的中点，∴DC=DB，∴∠ECF=∠EAC=∠B，∵∠AEC=∠BCA，∴△ACE∽△BAC；共有3个，故选B.【点睛】本题考查了直角三角形的相似，熟练运用三角形相似的判定定理是解题的关键.2．C解析：C【分析】连接AC，交BD于点O，由菱形性质，可得，且BD=2OB，由勾股定理求得，由，，可证得，由此，即可求得DO=6，从而BD=2OD=12.【详解】如图：连接AC，交BD于点O，在菱形中，则，且BD=2OB，，点E在上，F为的中点，AD=10，DF=5，，，，，，，，即，DO=6，BD=2OD=12，故选：C【点睛】此题考查了勾股定理、菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键.3．B解析：B【分析】根据黄金分割比求出AP，PB计算即可；【详解】∵点是线段的黄金分割点，，∴，令，∴，，∴；故答案选B．【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键．4．A解析：A【分析】由BF=3DF，得BD=2DF，使用平行线分线段成比例定理计算即可.【详解】∵BF=3DF，∴BD=2DF，∵，∴=，∴==2，故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是定理的对应关系是解题的关键.5．B解析：B【分析】设旗杆的高度约为hm，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h的值即可．【详解】解：设旗杆的高度约为hm，∵同一时刻物高与影长成正比，∴，解得：h＝5.4（米）．故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．6．A解析：A【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．【详解】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE与△EGF中，，∴△DBE≌△EGF，∴EG=DB，FG=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y-3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即，∴，故选：A．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线分线段成比例，辅助线的做法是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∠ADE=∠B，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；B、∠AED=∠C，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意；C、，即，且夹角∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意；D、，缺少条件∠AED和∠ACB相等，则不能确定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．B解析：B【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断．【详解】解：∵2x＝5y，∴．故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质）．9．C解析：C【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA==DB，从而可得，结合折叠的性质，，可得，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得，得到，求出，同理，，于是经过第4次操作后得到的折痕到BC的距离；【详解】连接，由折叠的性质可得：，DA=，∵D是AB的中点，∴DA=DB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DE∥BC，∴，∴，∴，∴，，于是经过第4次操作后得到的折痕到BC的距离；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，平行线分线段定理，找出规律是解题的关键；10．D解析：D【分析】由正方形，与是等边三角形的性质求解，求解从而可判断①；证明可判断②；由可判断③；证明再证明可得从而可判断④．【详解】解：正方形，是等边三角形，故①符合题意；正方形，是等边三角形，而由故②符合题意；不相似，故③不符合题意；正方形，，故④符合题意，综上：符合题意的有：①②④．故选：【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．11．D解析：D【分析】把面积之比转化为周长之比，后分周长为较大三角形或较小三角形的两种情形求解即可.【详解】∵两个相似三角形面积比是，∴两个相似三角形周长比是2：3，当较大三角形的周长为18时，较小三角形的周长为18×=12；当较小三角形的周长为18时，较大三角形的周长为18×=27；故选D.【点睛】本题考查了相似三角形面积之比，周长之比，解答时，熟练将面积之比转化为周长之比，会用分类思想求解是解题的关键.12．C解析：C【分析】连接AF交于点G，根据平行线分线段成比例，得出和，则，即可求出结果．【详解】解：如图，连接AF交于点G，∵，∴，∵，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质．二、填空题13．6【分析】通过证明△ABC∽△EFD可得即可求解【详解】解：∵∠A＝50°∠B＝60°∴∠C＝70°∵∠B＝∠F＝60°∠C＝∠D∴△ABC∽△EFD∴∴∴n＝6故答案为6【点睛】本题考查了相似三角解析：6【分析】通过证明△ABC∽△EFD，可得，即可求解．【详解】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠C＝70°，∵∠B＝∠F＝60°，∠C＝∠D，∴△ABC∽△EFD，∴，∴，∴n＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．14．【分析】根据L1//L2//L3证明△AOF∽△EOB∽△DOC根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵L1//L2//L3∴∠AFO=∠OCD∠AOF=∠COD∴△AOF∽△DOC同理△BO解析：【分析】根据L1//L2//L3，证明△AOF∽△EOB∽△DOC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵L1//L2//L3，∴∠AFO=∠OCD，∠AOF=∠COD∴△AOF∽△DOC，同理，△BOE∽△COD，△AOF∽△EOB，∴，即∴，∴∴∴故答案为：【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．15．或【分析】根据位似图形的有两个在原点同侧或异侧分类讨论根据坐标变化规律求解即可【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形分两种情况当与在原点同侧时E点坐标为：当与在原点异侧时E点坐标为：故答案为解析：或【分析】根据位似图形的有两个，在原点同侧或异侧分类讨论，根据坐标变化规律求解即可．【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形，分两种情况，当与在原点同侧时，E点坐标为：，当与在原点异侧时，E点坐标为：，故答案为：或．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中位似图形的坐标变化规律，解题关键是注意分类讨论，熟记位似坐标变化规律．16．【分析】根据正方形的性质得OB＝ODAD∥BC根据三角形相似的性质和判定得：根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得结论【详解】解：∵四边形ABCD是正方形∴OB＝ODAD∥BC∴△BEF∽△DE解析：【分析】根据正方形的性质得OB＝OD，AD∥BC，根据三角形相似的性质和判定得：，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OD，AD∥BC，∴△BEF∽△DEA，∴，∵E是OB的中点，∴，∴S△BEF：S△AEB＝EF：AE＝，∵△BEF的面积为1，∴△AEB的面积为3，∵，∴S△AEB：S△AED＝，∴△AED的面积为9，∴S△ABD=9+3=12，∴正方形的面积=12×2=24．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键．17．3【分析】根据题意画出示意图根据相似三角形的性质求解即可；【详解】根据题意做出示意图则∵∴∴∵∴∴∴∴∴即树的高度为3m故答案是3【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点准确分析计算解析：3【分析】根据题意画出示意图，根据相似三角形的性质求解即可；【详解】根据题意做出示意图，则，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即树的高度为3m．故答案是3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点，准确分析计算是解题的关键．18．或【分析】本题应分两种情况进行讨论①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根据各相似三角形得出的关于AEAEABAC四条线段的比例关系式求出AE的长【详解】解：本题分两种情况：①△ADE∽△A解析：或【分析】本题应分两种情况进行讨论，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根据各相似三角形得出的关于AE、AE、AB、AC四条线段的比例关系式求出AE的长．【详解】解：本题分两种情况：①△ADE∽△ACB∴AB：AC=AE：AD，∵AB=8，AC=6，AD=4，∴AE=；②△ADE∽△ABC∴AB：AC=AD：AE，∵AB=8，AC=6，AD=4，∴AE=3，故答案为：或3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质．由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解．19．【分析】连接BD利用菱形的性质得AD=BC再证明接着判断四边形BDEF为平行四边形得到DE=BF设AE=xFB=DE=2xBC=3x所以AE：CF=1:5然后证明得到AH：HC=AE：CF=1:5最解析：【分析】连接BD，利用菱形的性质得，AD=BC，，再证明，接着判断四边形BDEF为平行四边形得到DE=BF，设AE=x，FB=DE=2x，BC=3x，所以AE：CF=1:5，然后证明得到AH：HC=AE：CF=1:5，最后利用比例的性质得到AH：AC的值．【详解】连接BD，如图，四边形ABCD为菱形，，AD=BC，，，，而，四边形BDEF为平行四边形，，由AE：FB=1：2，设AE=x，FB=DE=2x，BC=3x，AE：CF=x：5x=1：5，，，AH：HC=AE：CF=1：5，AH：AC=1:6故答案为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公有角，公有边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过做平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．20．【分析】先根据三角形的中位线定理可得再根据相似三角形的判定与性质可得由此即可得出答案【详解】在中DE分别是ABAC的中点即面积为面积为则四边形DBCE的面积为故答案为：【点睛】本题考查了三角形的中位解析：【分析】先根据三角形的中位线定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．【详解】在中，D、E分别是AB、AC的中点，，，，即，面积为，面积为，则四边形DBCE的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．三、解答题21．6米【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的对应边成比例求出AD的值，由AC＝AD+CD得出结论．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，设AD＝x，则有＝，解得x＝5．甲的影长AC＝1+5＝6米．答：甲的影长是6米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意判断出△ADE∽△ACB是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）先证明再证明利用相似三角形的性质可得结论；（2）先证明再证明证明再利用相似三角形的性质可得结论；（3）先解，可得由＜＜再求解再由可得可得【详解】解：（1），平分．（2）为的中点，．（3），或＜＜为的中点，【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）80°；（2）见解析【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质分别得到∠AEF和∠AEB，从而得到结果；（2）证明△ADF∽△ACB，得到，结合AB=AE，AF=AC，得到，从而计算出结果．【详解】解：（1）由题意可得：∠BAE=∠CAF=100°，∠B=∠AEF，AB=AE，AC=AF，又∵E在BC的延长线上，∴∠AEB=∠B=40°，∴∠AEF=40°，∴∠FEB=∠FEA+∠AEB=80°；（2）如图，∵∠BAC=∠DAF，又∵AF=AC，∠CAF=100°，∴∠AFC=∠ACF=40°，即∠AFD=∠ABC=40°，又∵∠DAF+∠ADF+∠AFD=180°，∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ACB=∠ADF，∴△ADF∽△ACB，∴，又∵AB=AE，AF=AC，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用旋转的性质得到相似三角形的条件．24．（1）；（2）;0＜x＜4【分析】（1）先求出△ADE和△CDE