(北师大版)广州市九年级数学上册第四单元《图形相似》测试(答案解析)

一、选择题1．如图，在平行四边形中，是上的点，，连接交于点，则与的面积之比为（）A． B． C． D．2．如图，，若，则的值是（）A．2 B． C． D．33．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，DE，AC相交于点F，S△CEF＝1，则S△ADC＝（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知小亮的身高为1.8米，同一时刻，小亮在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为（）．A．3.8米 B．5.4米 C．5.6米 D．6米5．如图，已知□ABCD，以B为位似中心，作□ABCD的位似图形□EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连结CG，DG．若□ABCD的面积为30，则△CDG的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD=120°，CO=CD，若B（2，0），则点C的坐标为（）A．（2，） B．（3，）C．（3，） D．（，）7．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为和则它的内接正方形的边长为（）A． B． C． D．8．如图，正方形中，E，F分别在边，上，，相相交于点G，若，，则的值是（）A． B． C．2 D．9．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，再过点C作分别交边，于点P，Q．若，，则的长为（）A．14 B．9 C． D．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点的坐标为（）A．（4，2） B．（1，1） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）11．如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式：①＝；②＝；③＝；④＝．其中成立的是（）A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④12．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（）A． B． C． D．二、填空题13．边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F，若CF的长为，则CE的长为_____．14．如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N．（1）当AB＝4时，AN＝_____．（2）S△ANF：S四边形CNFB＝_____．（S表示面积）15．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为__________．16．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是线段的中点，过点的直线将截成两部分，直线交折线于点．当截成两部分中有三角形与相似时，则点的坐标为__________．17．如图，是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B到墙距离是1.6米梯上的点D到墙距离是1.4米，的长是0.55米，则梯子的长为__________米．18．在Rt△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当△ADE∽△ABC时，AE=____．19．在中，是延长线上的一点，与交于点，则__________．20．如图，一次函数与坐标轴交于、两点，反比例函数与一次函数只有一个交点，过点作轴垂线，垂足为，若，，则的面积为____．三、解答题21．我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深儿何？”它的大意是：如图，已知四边形是矩形，尺，尺，尺，求井深为多少尺？22．如图，已知由边长为1的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，为格点三角形，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．（1）画出绕点顺时针旋转后得到的；（2）在边上找一点，连结，使得的面积与的面积之比是2:1．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）23．如图，在中，，是斜边上的高，是的中点，连接并延长交的延长线于点．（1）求证：．（2）若是的中点，连接，，，求点到的距离．24．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长．25．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．26．如图1，边长为4的正方形ABCD与边长为a（1＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C重合，点E在对角线AC上．问题发现：（1）如图1，AE与BF的数量关系为．类比探究：（2）如图2，将正方形CFEG绕点C旋转α度（0＜α＜30），请问（1）中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．拓展延伸：（3）若点F为BC的中点，在正方形CFEG的旋转过程中，当点A，F，G在一条直线上时，求线段AG的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得，然后利用高相同的三角形面积比等于底的比得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠EDF=∠ABF，∠DEF=∠BAF，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC=3：2，∴，∴，设点D到AE的距离为h，∴．故选择：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握同高三角形的面积比等于底的比．2．A解析：A【分析】由BF=3DF，得BD=2DF，使用平行线分线段成比例定理计算即可.【详解】∵BF=3DF，∴BD=2DF，∵，∴=，∴==2，故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是定理的对应关系是解题的关键.3．D解析：D【分析】根据已知可得△CEF∽△ADF，及EF和DF的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，△CEF∽△ADF，∴∵E是BC的中点，∴EC=∴∴∵S△CEF＝1，∴S△ADF＝4，∵∴DF=2EF∴S△DCF＝2S△CEF＝2，∴S△ADC＝S△ADF+S△DCF=4+2=6故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．4．B解析：B【分析】设旗杆的高度约为hm，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h的值即可．【详解】解：设旗杆的高度约为hm，∵同一时刻物高与影长成正比，∴，解得：h＝5.4（米）．故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．5．C解析：C【分析】连接BG，根据位似变换的概念得到点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接BG，∵▱ABCD和▱EBFG是以B为位似中心的位似图形，∴点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，面积为30，∴△CDB的面积为15，∵FG∥CD，∴△BFG∽△BCD，∴＝＝，∴＝，∴△CDG的面积＝15×＝5，故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、平行四边形的性质，掌握位似图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行是解题的关键．6．B解析：B【分析】作AE⊥OB于E，根据等腰三角形的性质求出∠COD＝∠CDO＝30°，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k即可求出点C的坐标．【详解】解：作AE⊥OB于E，∵∠OCD＝120°，CO＝CD，B（2，0），∴∠COD＝∠CDO＝30°，OB＝2，∴AE＝OA，∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，∴AO＝AB，∴OE＝AB＝1，∴OA2－AE2＝OE2，即3AE2＝1，解得AE＝，∴点A的坐标为：（1，），∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，∴点C的坐标为（3，），故选：B．【点睛】本题考查了位似变换、直角三角形的性质等知识，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的性质是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．【详解】解：∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=5-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，∴x=，∴正方形CDEF的边长为．故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．8．B解析：B【分析】如图，延长BC、AF，交于点H，由正方形的性质及DF＝CF判定△ADF≌△HCF（AAS），从而可得CH＝AD；由AE＝3ED，可设DE＝x，从而可用x表示出正方形的边长；然后由AD∥BC判定△AEG∽△HBG，从而可得比例式，化简比例式即可得到答案．【详解】解：如图，延长BC、AF，交于点H，∵AE＝3ED，∴设DE＝x，则AE＝3x，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝4x，AD∥BC，∴∠DAF＝∠CHF，∠D＝∠FCH，∴在△ADF和△HCF中，，∴△ADF≌△HCF（AAS），∴CH＝AD＝4x，∴BH＝BC＋CH＝8x，∵AD∥BC，∴△AEG∽△HBG，∴．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．9．C解析：C【分析】连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得，进而可求得CQ＝6，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝6，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长．【详解】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE＝∠BCH＝45°，∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上，∵DE∥AI∥BH，∴∠CEP＝∠CHQ，∵∠ECP＝∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴，∵PQ＝9，∴PC＝3，CQ＝6，∵EC:CH＝1:2，∴AC:BC＝1:2，设AC＝a，则BC＝2a，∵PQ⊥CR，CR⊥AB，∴CQ∥AB，∵AC∥BQ，CQ∥AB，∴四边形ABQC为平行四边形，∴AB＝CQ＝6，∵，∴，∴（舍负）∴，，∵，∴，∵JR＝AF＝AB＝6，∴CR＝CJ＋JR＝，故选择：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键．10．D解析：D【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】解：∵△ABO与的相似比为，且在第四象限，∴点A的对应点的坐标为，即(4，-2)，故选：D．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．11．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，由△AEF∽△DCF得到，用AB等量代换CD，得到；再利用AF∥BC，由△AEF∽△BEC得，由此可判断．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD；∴△AEF∽△DCF，∴，而AB=CD，∴∴②③正确；又∵AF∥BC，∴△AEF∽△BEC，∴，∴④正确，①不正确；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．12．C解析：C【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．【详解】解：根据黄金比的比值，，则，…依此类推，则线段，故选C．【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．二、填空题13．1或3【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出结合可得出由可证出再利用相似三角形的性质可求出的长【详解】解：四边形为正方形即或故答案为：1或3【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质正方形的解析：1或3．【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出，结合可得出，由，可证出，再利用相似三角形的性质可求出的长．【详解】解：四边形为正方形，，．，，，，，，即，或．故答案为：1或3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形内角和定理，利用“两角对应相等的三角形相似”找出是解题的关键．14．1∶11【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理等腰直角三角形的性质解决问题即可（2）设△ANF的面积为m由AF∥CD推出△AFN∽△CDN推出△ADN的面积为3m△DCN的面积为9m推出△ADC的解析：1∶11【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．（2）设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可得S四边形CNFB=11m，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD∴，∵AF：FB＝1：2，∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，∴，∴，∵ACAB，∴，∴ANAB；∵AB=4∴AN=故答案为；（2）设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴，△AFN∽△CDN，∴△AFN和△CDN高的比=∴△AFN和△ADN高的比=∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题．15．或【分析】根据在平面直角坐标系中如果位似变换是以原点为位似中心相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k即可求得答案【详解】解：∵△ABC的三个顶点坐标分别为A（-24）B（-31）C（-2解析：或【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】解：∵△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，4），B（-3，1），C（-2，0），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C′，∴点A的对应点A'的坐标为：（-2×，4×）或[-2×（-），4×（-）]，即（1，-2）或（-1，2）．故答案为：（1，-2）或（-1，2）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．16．或或【分析】分三种情况讨论当时则则当时由则当时则则再利用相似三角形的性质求解的坐标即可【详解】解：点是线段的中点当时则如图当时由如图当时则综上：或或故答案为：或或【点睛】本题考查的是坐标与图形三角形解析：或或【分析】分三种情况讨论，当时，则则，当时，由则，当时，则则再利用相似三角形的性质求解的坐标即可．【详解】解：点是线段的中点，当时，则，如图，当时，由，如图，当时，则综上：或或故答案为：或或【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．17．4【分析】由DE//BC可得到进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子AB的长；【详解】∵∴DE∥BC∴∴解得：；故答案是44【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用准确计算是解题的关键解析：4【分析】由DE//BC可得到，进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子AB的长；【详解】∵，，∴DE∥BC，∴，∴，，解得：；故答案是4.4．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．18．【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案【详解】解：∵△ADE∽△ABC∴即解得：AE＝；故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的性质掌握相似三角形的性质是解题的关键解析：【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解，即可求得答案．【详解】解：∵△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AE＝；故答案为：．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．掌握相似三角形的性质是解题的关键．19．2:3【分析】证明△ABF∽△DEF进而得到设AF=2k(k≠0)则DF=k得到BC=AD=3k由此即可求解【详解】解：∵ABCD为平行四边形∴AB∥DE∴∠A=∠FDE且∠AFB=∠DFE∴△AB解析：2:3【分析】证明△ABF∽△DEF，进而得到，设AF=2k(k≠0)，则DF=k，得到BC=AD=3k，由此即可求解．【详解】解：∵ABCD为平行四边形，∴AB∥DE，∴∠A=∠FDE，且∠AFB=∠DFE，∴△ABF∽△DEF，∴，设AF=2k(k≠0)，则DF=k，BC=AD=3k，∴，故答案为：2:3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．20．6【分析】根据一次函数与坐标轴交于两点得结合勾股定理计算得；再根据一次函数与反比例函数与一次函数只有一个交点通过一元二次方程根的判别式计算得到k从而得到点C坐标；过点作轴垂线垂足为通过勾股定理性质得解析：6【分析】根据一次函数与坐标轴交于、两点，得、，结合勾股定理计算得；再根据一次函数与反比例函数与一次函数只有一个交点，通过一元二次方程根的判别式计算，得到k，从而得到点C坐标；过点作轴垂线，垂足为，通过勾股定理性质得，从而计算得BC；结合和，分别得和；过点F作轴垂线，垂足为M，通过证明，得，最后通过三角形面积关系计算，即可得到答案．【详解】∵一次函数与坐标轴交于、两点，∴，，即，，∴，∵一次函数与反比例函数与一次函数只有一个交点，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵过点作轴垂线，垂足为，∴，即，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵，且，∴，∴，∴，如图，过点F作轴垂线，垂足为M，∴，∵，∴，∴，∴，，，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查了一次函数、一元二次方程、相似三角形、勾股定理、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、一元二次方程判别式、相似三角形、勾股定理、反比例函数的性质，从而完成求解．三、解答题21．井深为57.5尺【分析】方法一：根据已知条件证明，得到，代入计算即可；方法二：根据已知条件证明，得到，代入计算即可【详解】解：方法一：四边形是矩形，，，，即．（尺）．答：井深为57.5尺．方法二：四边形是矩形，，，，即．（尺）．答：井深为57.5尺．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，准确计算是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用格点三角形为等边三角形即可得到旋转角，再利用旋转的性质即可画出图像；（2）利用高相等的三角形面积比为底边长之比，取得，再通过相似三角形的性质即可确定D点在BC上的位置，连接AD即可.【详解】解：（1）如图1将绕点顺时针旋转：图中，旋转后；∵格点三角形为等边三角形；∴即为旋转角；同理顺时针方向旋转即为图中；连接即为旋转后的．（2）如图若∵与的高形同，∴与的面积比等于底边长之比∴如图2将图1中部分拆分可得∵∴，且∴∴∴点D在BC上的位置如图1所示连接AD即可.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和旋转图形的作图方法和相似三角形的性质，需要灵活综合运用所学知识.23．（1）见解析；（2）【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线得DE=EA，可得∠1=∠A，可推出∠FDC=∠FBD，证明△FBD∽△FDC，根据相似三角形的性质即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线得DG=CG，则∠3=∠4，根据相似三角形的性质即可得∠4=∠1，可证明∠5+∠1=90°，即DG⊥EF，可得DG的长度点到的距离，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解．【详解】证明：（1）∵是斜边上的高，是的中点，∴E是Rt△ACD斜边中点．∴DE=EA．∴∠A=∠2．∵∠1=∠2．∴∠1=∠A．∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A．∴∠FDC=∠FBD．∵∠F是公共角．∴△FBD∽△FDC．∴．∴FD2=FB•FC；（2）∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，∴DG=GC，∴∠3=∠4，由（1）得∠4=∠1，∴∠3=∠1，∵∠3+∠5=90°，∴∠5+∠1=90°，∴DG⊥EF，∵，，∴，∵是的中点，是斜边上的高，∴DG=，∴点到的距离为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上中线的性质，解题的根据是掌握在证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似，求点到直线的距离转化为证明两直线垂直．24．（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形ABCD，可得∠ADF=∠CED（平行线的内错角），由∠AFE＝∠B，结合∠B+∠C＝180°可得∠AFD=∠C，由此可判定两个三角形相似；（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．【详解】解：（1）