(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》检测(有答案解析)

一、选择题1．若正数，满足，则的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．设正数m，n，，，则的最大值是（）A． B． C． D．13．已知，则的最小值为（）A． B． C． D．4．设实数，满足约束条件则的最小值是（）A．2 B．-2 C．1 D．-15．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A． B．2 C．3 D．46．已知实数满足约束条件，则的最小值为（）A． B． C． D．7．不等式的解集为，则函数的图像大致为（）A． B．C． D．8．已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．已知点（x，y）在直线x+2y=4上移动，则的最小值是（）A． B． C．6 D．810．设，满足约束条件，且的最小值为，则（）A． B． C．或 D．或11．已知，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．若实数满足约束条件，则的最大值为（）A．0 B．4 C．8 D．12二、填空题13．若实数和满足，则的取值范围为______．14．若，，满足约束条件，则的最小值为__________．15．若不等式在上恒成立，则实数的最小值为________16．已知不等式对任意的恒成立,则实数的范围为_______．17．已知，若恒成立，则的取值范围是_____．18．已知点，O是坐标原点，点的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是__________.19．已知正实数满足，则的最小值为______．20．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为__________．三、解答题21．（1）已知、都是正数，若，求的最小值；（2）当取何值时，不等式对一切实数都成立？22．已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意实数,都有，求实数的取值范围.23．某校食堂需定期购买大米已知该食堂每天需用大米吨，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用单位：元与购买天数单位：天的关系为，每次购买大米需支付其他固定费用900元．该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？若提供粮食的公司规定：当一次性购买大米不少于21吨时，其价格可享受8折优惠即原价的，该食堂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．24．已知函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.25．已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）.（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞0.26．已知圆．（1）求轴被圆所截得的线段的长；（2）过圆圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为，求的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由，对乘以，构造均值不等式求最值.【详解】，当且仅当，即时，等号成立，∴.故选：D【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B【分析】化简，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，正数m，n，，，则，当且仅当时，即时，等号成立,所以的最大值是为.故选：B.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D【分析】利用，展开后应用基本不等式可得最小值．【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立．故选：D．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．4．C解析：C【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解.【详解】作出约束条件所表示的平面区域如图所示：移动直线，可知当其过点时取得最小值，解方程组，求得，即，代入求得，所以的最小值是，故选：C.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的约束条件画出可行域；（2）根据目标函数的意义找到最优解；（3）解方程组求得最优解的坐标；（4）代入求得最小值，得到结果.5．D解析：D【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，利用数形结合即可得到结论.【详解】画出约束条件或所表示的平面区域，如图所示，.目标函数，可化为，由图象可知，当直线经过点时，使得目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选：D.【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．A解析：A【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为，通过平移直线法可求出的最大值，从而可得的最小值．【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数变形为，由图可知当直线经过点时，截距最大，所以，的最小值为．故选：A【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.7．C解析：C【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出的关系，然后再判断二次函数的图象．【详解】∵不等式的解集为，∴，∴，，图象开口向下，两个零点为．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，二次函数的图象，解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系．8．D解析：D【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式在区间上有解，设，由函数在上单调递增，可求得实数的取值范围.【详解】由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以，所以实数的取值范围为，故选：D.【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：有解⇔，有解⇔.9．D解析：D【分析】运用基本不等式即可得到答案．【详解】因为，所以，（当且仅当时取“=”）．故答案为D.【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件．10．B解析：B【分析】画出可行域，讨论当时,当时，当时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的的值.【详解】根据题中约束条件可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：，当时，无最小值；当时，在处取最大值，无最小值．当时，在处有最小值：，则，解得，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.11．A解析：A【分析】先将变形为，再代入不等式，，解这两个不等式，即可得与的比值关系，联立可求的取值范围【详解】解：因为，所以，，因为，所以，即，解得，将代入中，得，即，得，所以，故选：A【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题12．C解析：C【分析】画出不等式组表示的平面区域，将转化为斜截式，即，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件表示的可行域，如图所示，将转化为斜截式，即，平移直线，由图可知当直经过点A时，直线在y轴上的截距最大，由，可得，所以的最大值为.故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.二、填空题13．【分析】设方程化简为得到再结合基本不等式得到根据一元二次不等式不等式的解法即可求解【详解】设因为可得所以解得或又由当且仅当时即时等号成立整理得解得所以即则的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：设利解析：.【分析】设，方程化简为，得到，再结合基本不等式，得到，根据一元二次不等式不等式的解法，即可求解.【详解】设，因为，可得，所以，解得或，又由，当且仅当时，即时等号成立，整理得，解得，所以，即则的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：设，利用换元法把方程化简为，根据指数函数的性质和基本不等式，得出不等式和是解答的关键.14．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是解析：【分析】画出满足条件的平面区域，结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可．【详解】画出，，满足约束条件，的平面区域，如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离，显然到直线的距离是最小值，由，得最小值是，故答案为．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．15．【分析】根据题意令分析可以将不等式在x∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x∈12上恒成立则有△＝m2﹣4m≤0或或解可得实数m的最解析：【分析】根据题意，令，分析可以将不等式在x∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，令，若不等式在x∈[1，2]上恒成立，则有△＝m2﹣4m≤0或或，解可得，实数m的最小值为：，故答案为．【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是将x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y＝x2+mx+m在x∈[1，2]上的最值问题．16．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解解析：.【分析】利用基本不等式求得在的最大值，即可求得实数的范围.【详解】因为，则，当且仅当时，即等号成立，即在的最大值为，又由不等式对任意的恒成立，所以即实数的范围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题解析：【分析】先将问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案.【详解】解：根据题意，，若恒成立等价于恒成立，由于，，当且仅当，即时等号成立.所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.18．【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时；当时的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题解析：【分析】作出可行域.根据投影的定义得，数形结合求出的取值范围，即求z的取值范围.【详解】作出可行域，如图所示.，∴当时，；当时，，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题.19．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：.【详解】正实数满足，故得到等号成立的条件为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20．1【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】画出不等式组对应的可行域如图所示由可得数形结合可得当直线过A时直线在y解析：1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】画出不等式组对应的可行域，如图所示，由可得，数形结合可得当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，联立，解得A（1，2），此时z有最小值为3×1﹣2＝1．故答案为：1【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．三、解答题21．（1）；（2）.【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；（2）分和两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的取值范围.【详解】（1）已知、都是正数且，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为；（2）由于不等式对一切实数都成立.①当时，可得，合乎题意；②当时，可得，解得.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设①在上恒成立，则；②在上恒成立，则；③在上恒成立，则；④在上恒成立，则.22．（1）;(2).【解析】试题分析：（1）零点分段法去绝对值，将表示成分段函数，由此解得解集为；（2）原不等式等价于恒成立.左边，故.（1）1.当时，解得2.当时，解得无解3.当时，解得综上可知不等式解集（2）恒成立，即恒成立,故有.23．（1）10天购买一次大米；（2）见解析.【分析】根据条件建立函数关系，结合基本不等式的应用求最值即可；求出优惠之后的函数表达式，结合函数的单调性求出函数的最值进行判断即可．【详解】解：设每天所支付的总费用为元，则，当且仅当，即时取等号，则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．若该食堂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次大米，设该食堂接受此优惠条件后，每x，天购买一次大米，平均每天支付的总费用为，则，设，，则在时，为增函数，则当时，有最小值，约为，此时，