(完整版)利用空间向量法证明与求空间角-解答题篇·解题技能(教师)

课题利用空间向量法证明与求空间角——解答题篇·解题技能一、空间向量（一）空间向量基本定理对于如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量存在唯一的有序实数组，使（二）空间向量的坐标表示（1）空间直角坐标系设为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为正交基底），以的公共起点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系。建立空间直角坐标系要遵循“左手法则”。（2）空间向量的坐标对于空间任一向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量。由空间向量基本定理可知，存在有序实数组，使。我们把称作向量在单位正交基底下的坐标，记作。点的坐标：此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标。（3）空间向量运算的坐标表示①空间向量的坐标运算法则设，，则②空间向量平行与垂直条件③空间向量夹角公式④空间向量长度公式若，，则即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。或这个公式也是空间中两点间的距离公式。二、空间中点、线、面的向量表示（1）直线的方向向量空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定。（2）平面的向量形式空间中平面的位置可以由上两条相交直线来确定。三、平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量。（1）平面法向量的求法已知平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当选取平面的一个法向量。平面法向量的确定通常有两种方法：①几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；②几何体中没有具体的线面垂直关系，此时可以采用待定系数法求解平面法向量。步骤如下：建系设平面的法向量为选取平面内的两个不共线向量，不妨设为由，列出方程组解方程组取中一个为非零值（常取）得到平面的一个法向量（2）平面法向量的性质A：平面的一个法向量垂直于平面共面所有向量。B：一个平面的法向量有无限多个，它们互相平面。（3）利用方向向量、法向量判断线面的位置关系设两不同直线、的方向向量分别是、，两不同平面、的法向量分别为、，则向量间的关系线、面间位置关系图示方向向量法向量方向、法向量或四、向量法求解（一）证明空间中的平行关系（1）线线平行①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；求出直线的方向向量；②证明两个向量共线；③证明其中一个向量所在直线在直线上一点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线不共线，即可得证。（2）线面平行方法一：先证直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即满足，即可证方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（3）面面平行方法一：由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可方法二：若能求出平面、的法向量、，则证明即可【例1】如图，在长方体中，，，，分别为棱的中点。证明：平面平面。【解】建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，，即；平面平面（二）证明空间中的垂直关系（1）线线垂直：证明两直线方向向量数量积为0，即垂直。（2）线面垂直：①求直线方向向量；②证明直线方向向量就是平面的法向量。（3）面面垂直：①求两平面法向量；②证明两平面法向量垂直。【例2】在正方体中，分别是中点，求证：平面【解】建立如图空间直角坐标系，令棱长为，则，，，，，，，，即，又，平面【例3】如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，是棱的中点。证明：平面平面【解】建立如图空间直角坐标系，令，则，，，，，，设平面的一个法向量为则，即；令，则，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，，即平面平面【变式练习1】在正方体中，是棱的中点，试在棱上求一点，使得平面平面。【解】建立如图空间直角坐标系，取棱长为，设则，，，，，，，设平面的一个法向量为则，即；令，则，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，平面平面，即；，则，即为的中点。五、向量法求空间角（一）异面直线所成的角异面直线所成的角的范围：两条直线所成的角的范围：两个向量所成的角的范围：求法一：作平行线：在一条上任一点，作另一条的平行线；求法二：（向量法）两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值设直线的方向向量为，异面直线所成的角为,则（二）斜线与平面所成角斜线与平面所成的角的范围：求法一：一找公共点，二找垂线；解直角三角形，斜线、斜线的射影、垂线构成直角三角形；求法二：（向量法）已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角为；POPOAal（三）二面角向量求法l平面的法向量，记二面角的大小为，则，钝角还是锐角根据具体的何图形确定。【例4】已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点。（1）证明：面面；（2）求与所成角的余弦值；（3）求与面所成角的正弦值；（4）求平面与平面所成二面角的余弦值。【解】（1）建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，易得为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，面面（2），，设与所成的角为则与所成角的余弦值为（3），，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，设与面所成的角为，则（4），，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，设面与面所成的二面角为，则由图形知平面与平面所成二面角为钝二面角，故其余弦值为【变式练习2】如图，四面体中，是的中点，，（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求与平面所成角的正弦值；（4）求二面角的余弦值。【解】（1）易证（2）建立如图空间直角坐标系，则，，，，，设与所成的角为则直线与所成角的余弦值为（3），，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，设与面所成的角为则与平面所成角的正弦值（4）易得是平面的一个法向量，设二面角的大小为则由图形知二面角为锐二面角，故其余弦值为六、真题演练（周一至周五每天1题，完整步骤）1．已知三棱锥中，面，，，为上一点，，分别为的中点。（1）证明：；（2）求与平面所成角的大小。【解】（1）建立如图空间直角坐标系，令则，，，，，，，则（2），设平面的一个法向量为则，即；令，则，，设与平面所成角为则与平面所成角为2．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面。（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值。【解】（1）在中，由余弦定理得，则又底面，则又，平面平面，又平面（2）以直线为轴，直线为轴，直线为轴，建立如图空间直角坐标系，令，则，，，，，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，设平面的一个法向量为则，即；令，则，设二面角的大小为，则由图形知二面角为钝二面角，故其余弦值为3．如图，直三棱柱中，分别的中点，（1）证明：∥平面；（2）求二面角的正弦值。【证】（1）连接交于，连接，则为中点又为中点，则为的中位线，又平面，平面∥平面（2）建立如图空间直角坐标系，令，则，则，，，，，，设平面的一个法向量为则，即；令，则，设平面的一个法向量为则，即；令，则，，设二面角的大小为，则，故二面角的正弦值为4．如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且，。（1）求证：；（2）求二面角的大小。【解】（1）建立如图空间直角坐标系，令则，，，，，，，，，则（2），设平面的一个法向量为则，即；令，则，，设平面的一个法向量为则，即；令，则，设二面角的大小为，则由图形知二面角为锐二面角，故二面角的大小为5．如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，。（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。【证】（1）由是的正方形得，又平面平面，平面平面，且平面平面