整式、分式不等式的解法讲义

3◎高考要求☆娴熟把握一次不等式、二次不等式的解法.☆把握有理不等式、分式不等式的解法.◎考向指南整式、分式不等式的解法是高考考察运算力气的重要途径，它们有时单独、直接地出现在选择、填空题中，难度中、低档；有时与函数、三角、解析几何等学问综合以解题工具的面貌消灭一些大、小综合题中，需娴熟把握其解法.◎考基要点1axb(a0)的解集：a0时，解集是x|x

b；当a0时，解集是x|xb. a a ※提示：含参数的一元一次不等式的解法，留意对其一次项系数符号的争论.另外这个结论的理解从一元一次方程的角度理解更简洁，可以用一元一次函数关心.2、一元二次不等式的解集☆一元二次不等式ax2bxc0(a0的解集：当b24ac0时，解集为R；当b24ac0时，则方程ax2bxc0有两个等根，记为xx1 2

b2a，原x|xR,且x不等式的解集为

b2a；当b24ac0时，原方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，记为xx，1 2xx1

1 2☆一元二次不等式ax2bxc0(a0的解集：当b24ac0时，解集为；当b24ac0时，则方程ax2bxc0有两个等根，记为xx1 2

b2a，原不等式的解集为；当b24ac0时，原方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，记为xx，1 2xx1

x|x1

xx.21yax2bxcx轴的关系来进展.上面给出了a0时的结论，当a0时，可以利用不等式运算性质化归为a0的情形.※提示：一元二次不等式的解集的端点值，恰为所对应一元二次方程的两根.3、高次不等式的解法高次不等式的解法的根本思路是因式分解，化为求一元一次或一元二次不等式组的解集.f(x)0 f(x)0F(x)f(xg(x)0 或g(x)0 g(x)0f(x)0 f(x)0F(x)f(xg(x)0 或g(x)0 g(x)0※提示：将简洁的高次不等式化成标准型F(x)xx1

2

3

n

，常利数轴标根法F(x)0F(x)0的解集.4、分式不等式的解法分式不等式的解法的根本思路是化归为一元一次或一元二次不等式组来求解高次不等式.f(x)

0f(x)g(x)0；

f(x)

0f(x)g(x)0；g(x) g(x) g(x)0f(x)

0f(x)g(x)0；

f(x)

0f(x)g(x)0.g(x)

g(x) g(x)0式不等式，千万不能“乱去分母”.5、含有参数的不等式的求解，往往需要比较〔相应方程的〕根的大小，对参数进展争论.解含参数的不等式是不等式学习的重点内容，也是中学数学培育参数争论力气的主要题型，因此解答含参数的不等式是高考数学考试中的中档题的热点题型.、解答含参数的不等式的根本方法是分类争论，学习中要以这种根本思想为主体，2训练扎实的根本功.、分类争论的方案是命题打算的，因此要依据命题的类型与特点提出最正确分类方案，确定不能任凭分类.、答题要层次清楚，书写标准，解答完毕要小结.方法定位：①、含参数不等式问题是中学数学中的一个难点，也是学生的一个弱点，其核心问题分类争论是不得已而为之.②、解含参不等式时，分类争论要不重不漏，据题目所给定的参数字母的范围，在各个不同的区间内分别考虑.③、含参不等式的解集要按参数的不同范围分开来写，不能合并在一起，但假设按未x来分类争论，最终解集应取各局部的并集.④、解含参不等式的过程，大局部都是化成一次或二次不等式组，然后再来解一次或axbaax2bxc0中留意判别式的符号及开口方向.⑤、含参数的有关恒成立的不等式问题，有以下三种状况：二次不等式在一切实数上恒成立，由0与a0a0a0结合求解.二次不等式在某区间上恒成立，由二次不等式相应函数在这区间上的最值求解或分别出参数后，利用函数在这区间上的最值求解.的最值求解；一次不等式也可利用一次函数的单调性求出最值后求解.6、不等式解法的根本思路解不等式的过程，实质上是用同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.地解一元一次和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.◎点击高考1x的不等式mxanxb2、关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|x0a0，求cx2bxa0的解集.33x的不等式ax2(a1)x10.4、解以下不等式：〔1〕(2x1)(x1)(x3)0； 〔2〕6xx3x2.5x x2 2x 3

1.a(x1)6x的不等式x27、不等式(a2)x22(a2)x40对于xR恒成立，那么a的取值范围是 〔〕A、(,2) B、(2,2] C、(,2) D、(2,2)2x22mxm 4x2 6x 3

1对一切xR都成立，则实数m的取值范围是 〔 〕4A、(1,3) B、(,3) C、(,1) (2,) D、(,)9、不等式ax2bx20的解集为x|1

x1，则ab的值为 〔 〕 2 3A、14 B、10 C、14 D、10x210、x1x1的解集为 .11、不等式(x2)2(x3)0的解集为 .x112、假设xR，ax24xa2x21恒成立，则a的范围是 .13xx22ax24a20.2a114、实数mx2(m3)xm0两根满足：1〕〔〕都在〕内.1 15xx1

(a1)2 (a1)2与x23(a1)x2(3a1)02 2〔aR〕A和BABa的取值范围.16、不等式2x21x1的解集是 .517〔2023，上海〕不等式2x0的解集是 .x418〔2023，广东〕不等式

x1

1的实数解为 .19〔20231〕不等式

X1X1

＜1〔〕Ax0x xx

C〕x

x0

20f(x)是定义在0,上的增函数，f(2)1，且对定义域内任意的x，y有f(xy)=f(x)f(y).f(4的值.1解关于x的不等式：f( )f(x21x

a)2.22、假设不等式

xa 03x1或x2，则a的值为x24x3A、2 B、2 C、1 D、12 2 23Ax|x2

x60，B

x|xk

xk1

0，假设A B则k的取值范围是、1C、|k2或k2

B、k|2k2D、|3k124ax22ax10R0a1，则命题甲是命题乙成立的 条件.x2

4，则2x3y的取值范围是A、[2 13,2 13] B、[2 13, 13] C、[0,2 13] D、[2 13,0]6参考答案1nm0nmab0即abRab0，ab，则不等式的解集为nm0，即nm时，不等式的解集为x|x

ab；当nm0，即nm时，不等式的解集为x|x n

abnm. 2为方程ax2bxc0的两根，且a0，cx2

bxa0同解变形为bcx2 x10.由韦达定理将代入，得x2bc

x10，即a a

1 1

1 1xx0，由0 ,可知. 1 1方程cx2bxa0的解集为x|

x .3a

4aa

0,方程ax2a1x10a0有两根x 1

1.a①假设a0,且x1

x时，即0a1x2

xx

1x1；2 a②假设a0且x

x时，即a1时，原不等式的解为：x xx即1x1；1③假设a0且x1

2 2 1 ax时，即a1时，原不等式无解；2④假设a0则原不等式变为x10x1；⑤假设a0,明显x2

xxx1

或xx1

1或x1.a1,13,

2

|1x1或2x34〔1〕 2

；〔2〕

；5、6、原不等式可化为a1x2a0，即a1x2ax20.x2ax

a2x20a2

a111 1

1x2当 a1

a1 a1 a1 或xa2；a1ax

a2x20，此时，假设a0，则a2

a

x2当 a1

a1 a1 ；7假设0a1a22x

a2；

a1 a1a2无解.a1当0a1时，原不等式的解集为2

a2 ， ,， ,a2；当a0时，原不等式的解集为；

， a1当a0时，原不等式的解集为a2,2. a1 8、B；8、A；9、A；10、x|x1；11、1,22,3；12、2,；13〔1〕当2a10即a1时，原不等式为x4ax6a02①当a0时，x,4a6a,；②当12

a1时，x,6a4a,；③当a0x,00,.〔2〕当2a10即a1时，原不等式为x4ax6a0x4a,6a，解得2综合以上原不等式的解集为：2a4a6a,1a时的解集为6a4a,2a1时，解集为6a,4a.214〔1〕0m1；〔2〕方程x20 3m

(m3)xm0的两根都在0,2f(x)x29m或m11m3

0则

2 2 m0

2m1.32f(0)0 2 mf()01

32 1 2 15x

a1

a1

，得2axa2Ax|2axa2且aR2 2x23(a1)x2(3a10x2x3a10.8当3a12，即a1x|2x3a1，aR；31

1时，Bx|3a1x2，aR.322a所以当a 时，假设AB，则有

，解不等式组得1a3；3 a213a13a12a

1 3 时，假设有A B则有23

1，解不等式组得a1. a21 AB的a的取值范围是a|1a3或a1.16、x|0x2；17、x|4x2；18、

x1

1

x1x2

(x1)2

(x2)2

x3x

2.x219、D；

x20

x20 220〔1〕f(4)f(2f(2)112.f(xa)2 a a〔2〕原不等式等价于 x

，由f(x )2得：x 4，即x24xa0.

xx2a0 x x①当164a0，即a4时，不等式无解；②当164a0，即a4时，不等式的解为x