解析专题五二次根式中的经典题型

x【例1】已 x

xx2x2x2x2【

1a1x2，xax

x2x2x2x2x2a1aaaa1aaax2x2x2x2x2x2∵

1 0a aaa

a1(a1

2a2 【例2】已知x1

x22x1x2

xx x22x x 解析

x2

x x x x 为你准备了例3~10~如果你觉得已hold住，可跳过，直接做例11.【例3】a

96aa22aa a22a 96a (a 【解析】a 0， a3 2

5a a2 a a(a 5【例411x x2

xx22x

，其中x 【】2008年，，中【 (x x (x1)(x 【解析】原式 x (x1)(x x x 当x 1时，原式 2

3 3【例5

.a2b2

(1a2b2

a5

，b3【】2006年，南通，中a2 a2 (ab)(a a22ab a 【解析】 ) a2b ab(a (a a当a5 ，b3 时，原式 a

【例6

a22aba2 ，其中a

，b (a a 【解析】原式 ，而a 1，b 1，故原式 (ab)(a a122122x2y2122122x2y222x2y2【解析】x 3),y 22x2y23【例8】当m 时，求m2 3m 2 m2 3【解析】 m2 2 2233m m m 31x3x24x【例9先化简，再求值x

x2

x22x1，其中x x(x(x1)(x1)(x1)(x【解析】原式1 1x(x(x1)(x1)(x1)(xx x (x (x (x当x 时，原式 (2

22

6 a24a4a24a24a4a24aa24a4a24a(a(2a【解析 a24a4a24a(a(2aa 2∴原式2a2a1a323【例11】已知x ，求x622x53x4x325x24x （【解析】x ，x 5，所以x222x30，同理可得x225x32原式x4(x222x3)x(x225x3)x 00 2) 2【例12】已知：ab3，ab1，且ab， aa abaa∵(ab)2(ab)24ab5，ab，∴ab ，原式 5【例13】已知ab2ab12

的值.（注意符号baba【解析】ab10，a，b同号，又ab2，a0，b0ba ba

ab

ab(a

ab12

2227【例14】x172

5)，y1727

5，求下列各式的值.x2xyy2xy 7【解析】x172

5)，y1727

5)，∴xy ，xy12⑴x2xyy2(xy)23xy(7)23151

(7)22⑵xyxy(xy)2xy 212 2【例15】已知a 31，求331的值.（学会此题思路，练熟 3a23a a33a23a1 a 1 【解析】

11a由已知，可得1 334323故原式3231

a18a【例16】若8a≥1，则3a

3a3aa18a33a18a a18a 【解析】设3a y，pxy，则x a128a 12ax3y3a2 a2

∴xy13 ∵x3y3xyx2xyy2xyxy23xy ∴p1p2p2a∵p2p2ap

12

18a1≥4若8a10p23a1；若8a10p10p125152515251525152525252515

15x2

25x215x225x215x210

5≠【例18】已知a、b均为有理数，并满足等式4

3ab2

32a，求a、b的值)【解析】由已知条件可得(2ab4)(a 0，所以2ab40，a30，即a3，b) 3 33【例19】已知x、y是有理数，且32x412y2.25 3

3 【解析】a、b为有理数，m为无理数，则当且仅当ab0时，abm0，由这一性质可解答本题． x3 4 因为x、y是有理数，所以 1x1因为x、y是有理数，所以

1x

1y1.45 6xy

y 【例20】a是一个无理数，且ababab1，求b【例21】已知a，b为有理数，x，y分别表示5 的整数部分和小数部分，且满足axyby21，ab的值7【解析】∵25 3，∴x2，y37axyby21，a237)b(37)21，即(2a6b)76a16b1)ab为有理数，2a6b06a16b10，解得a3b1，ab 51满足x3pxq0，则b是一个 2A.

)【解析】将x 51代入x3px10得(513 51p10) 化简得45(2p4(2qp4)02pp，q是有理数，2qp40p2，q1pq211，选7 的整数部分是a，小数部分是b，试求a2137【】1981年

7ab的值【解析】∵

37，而2 2

5 3， ，∴a2，从而b37a 7 故a21 【例24】设x ，a是x的小数部分，b是x的小数部分，则a3b33ab 【】2007年，初中数【解析】∵x 1，而2 13，所以ax2 又∵x 1，而3 12，所以bx32 ，于是aba3b33ababa2abb23aba2abb23abab26 1的整数部分为a，小数部分为b，求a2b的值62a【解析】通过估算得知a3，b 13 2.原式 9616 与9 的小数部分分别是a和b，求ab3a4b8的值【解析】∵9 12a，9 5b，∴a 3，b4 ∴原式 3)(413) 3)4(413)8888【例27】已知a 的小数部分，求(a)3(b2)2的值888【解析】∵2 3 的整数部分a2，8的小数部分b 8∴(a)3(b2)2(2)3 22)28813 13【 【解析】∵ 3

7，2 3，53 6，23

7373 7∴x2，y372 71，∴x2(17)xy4(17)27110 198 的整数部分为x，小数部分为y，试求xy1198y198(4【解析 4 22 ，故x2198(4∴xy122 4 2 6y2m212m211122【解析】m 1，m23 322

m2m21333【例31】 1)2000 3333【解析】原式 1)1999 1)2 1)2 3 y xy y 【解析】xyxy2003x xxxy y 2003 y 2003 2003xxx 2003 y 2003 2003xx 2003 2003xxx

0 12123246 n2n151021020 n5n【解析 111111119【11111111911 求11111 3nxxyxyx3 ，其中xxyxyx31010141510141510101415101415【解析 33353335235636

3

2 2323564643318123【解析】原式 6

61

336632332 2 336 61

2

1132 322 1 【例40】315102633523

2185 223

2

25【解析】原式5

23 2 52 52 12121 1

13

21432143151212002 1)【解析】原式 1)121100991211009999k【解析 1 k13141(k1)kkk k(k1)(k1k1314112原式(1 )(122

)(1

)

)1 212200721220073【解析】原式 1)(53) (20011999) 313149471314947472k2k【解析】 1 (2k1)2k1(2k 2k 原式1(1 )( )( ) )1(11)32 n1n【例45】已知对于正整数n 1n1n1211(n1)n1211

.... 2，则k 【解析】 21

322 .... 2

23 1 n∴11 2

1....3

k

1 1 2k83【例46】定义f(x) ，求f(1)f(3)f(5) f(999)的值13(x1)213(x1)23(x1)(x1)3(x3x3x13x2 ；f(3) ；f(5) ；…；f(999)310003 以上各式分别相加，得f(1)f(3)f(5) f(999) 5 1111 11 111 1111nn1所以11

1

nn1111 n 4 所以原式111111 4 20031 20032003 33333333

的值3636【解析】x 2)25 ，y 2)25 xy10，xy3636 y3 (xy)(x2xyy2 (xy)(xy)2 x2 x2 x23333 ，3333【解析】x 42322

，y 423233233xy4，xy1，x4y4(x2y2)22x2y2(xy)22xy22x2y2n1n1n1n1【例50】设x n1n1n1n1n(nn(n【解析】x(2n1) ，y(2n1) ，xy4nn(nn(n2(xy)2193xy1993，得2(4n2)21931993(4n2)2900n0，得n 19991999200119991997【解析】

a

b

caba bcb cac ab caabbcc bcabca cabcaabcbcaca abbcc 0 20062 【解析】令2005kkk1k2k3 kk1k2k3k23k22k23k k12k23k23k22k23k【例53】若x 1，则x52x417x3x218x16的值 【解析】∵x 1，∴x22x160故原式x3x22x16)x3x218x16x(x22x16)x22x160【例54】已知x 2，求x622x5x4x323x22x 的值2 10，x223x10，然后再用“代换法”来求2∵x 2，∴x 3x222x23x222x10.x223x102∴x622x5x4x323x22x x4(x222x1)x