(压轴题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(答案解析)

一、选择题1．已知，且满足，，则（）A．1 B．或1C．或1 D．1或-12．已知函数满足，则的解析式为（）A． B．C． D．3．已知，给出下列判断：①若函数的图象的两相邻对称轴间的距离为，则；②若函数的图象关于点对称，则的最小值为5；③若函数在上单调递增，则的取值范围为；④若函数在上恰有7个零点，则的取值范围为.其中判断正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值为（）A． B． C． D．5．已知为锐角，且，则的值为（）A． B． C． D．6．已知，，则（）A． B．3 C．13 D．7．函数的最大值为（）A． B． C． D．8．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的范围是（）A． B． C． D．9．求sin10°sin50°sin70°的值（）A． B． C． D．10．平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为A． B． C． D．11．已知是函数的最大值，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．12．若，，且，，则的值是（）A． B．C．或 D．或二、填空题13．经过点作圆的切线，设两个切点分别为，,则__________．14．已知、，，，则______.15．_________.16．若函数的图象与直线恰有两个不同交点，则m的取值范围是________.17．在△ABC中，cosA，cosB，则cosC＝_____.18．已知双曲线的左、右顶点分别是,,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________.19．化简________.20．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________.三、解答题21．已知函数．（I）求函数最小正周期和最小值；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象．若对任意，当时，都有成立，求实数的最大值．22．（1）求值：；（2）已知，求的值.23．函数且满足___________.①函数的最小正周期为；②已知，，且的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题.（1）确定的值并求函数的单调区间；（2）求函数在上的值域.24．已知.（1）求的值；（2）求的值.25．已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式.（2）若，且，求的值.26．如图，在中，斜边，，在以为直径的半圆上有一点（不含端点），，设的面积，的面积.（1）若，求；（2）令，求的最大值及此时的.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得和，用平方关系求得和，而，展开后计算，注意分类讨论．【详解】∵，∴，，，，，∴，，，当时，，当时，，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出和，未知角有，这样易确定使用的公式与顺序．2．A解析：A【分析】利用换元法，设，将原函数转化成关于t的关系式，进行整理即得的解析式.【详解】函数满足，设，则，由知，故原函数可转化为，，即的解析式为.故选：A.【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.3．C解析：C【分析】先将化简，对于①，由条件知，周期为，然后求出；对于②，由条件可得，然后求出，即可求解；对于③，由条件，得，然后求出的范围；对于④，由条件，得，然后求出的范围；，再判断命题是否成立即可．【详解】解：，周期．①．由条件知，周期为，，故①错误；②．函数的图象关于点对称，则，，∴的最小值为5，故②正确；③．由条件，，由函数在上单调递增得，，又，，故③正确．④．由得,解得且在，上恰有7个零点，可得，，故④正确；故选：C【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.4．D解析：D【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出，代入二倍角公式即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25，边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长，设直角三角形的直角边分别为，且，则，所以，得，所以或舍去，所以，∴，，．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算求解能力.5．B解析：B【分析】通过三角恒等式可求出的值，再根据两角和的正弦即可得出结果.【详解】∵，∴，又∵，∴，∴，故选：B.【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用以及通过两角和正弦公式求值，属于中档题.6．D解析：D【分析】根据同角三角函数基本关系式求出，再代入两角和的正切公式求的值.【详解】，，，，.故选：D【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，重点考查计算能力，属于基础题型.7．A解析：A【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简，由此求得的最大值.【详解】依题意，所以的最大值为.故选：A【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.8．B解析：B【分析】先化简函数，根据在区间上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于，最后取交集.【详解】因为，，，，令，则，因为在区间上是增函数，所以，解得，令，因为在区间上恰好取得一次最大值，所以，所以，所以的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．C解析：C【分析】由诱导公式可转化为，利用二倍角公式正弦公式求解即可.【详解】即故选：C【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，考查了运算能力，属于中档题.10．C解析：C【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】，，，，则，故选C．【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．11．C解析：C【分析】利用三角恒等变换化为正弦型函数，由此求出A、T以及的最小值，可得解.【详解】，，，∴，又存在实数，，对任意实数x总有成立，∴，，则的最小值为函数的半个最小正周期长度，∴，故选：C.【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．12．A解析：A【分析】先计算和的取值范围，根据取值范围解出和的值，再利用求解的值.【详解】∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，∴，∴.又∵，∴.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.二、填空题13．【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查解析：【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出，，从而求出的值，由，利用二倍角的正切公式，可以求出的值.【详解】圆的方程可化为，则圆心为，半径为r=1，设，，，，则,.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题．14．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析：【分析】利用同角三角函数的平方关系求得、的值，然后利用两角和的余弦公式可求得的值.【详解】因为、，则，又，，所以，，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.15．【分析】用诱导公式降次公式两角和与差的正余弦公式化简求值得到答案【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值诱导公式转化角两角和与差公式二倍角公式属于中档题解析：【分析】用诱导公式、降次公式、两角和与差的正余弦公式化简求值，得到答案.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值，诱导公式转化角，两角和与差公式，二倍角公式，属于中档题.16．【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解：因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示：依题意可得时函数的图象与直线恰有两解析：【分析】化简函数解析式为，做出函数的图象，数形结合可得的取值范围．【详解】解：因为所以，，由，可得，则函数，的图象与直线恰有两个不同交点，即方程在上有两个不同的解，画出的图象如下所示：依题意可得时，函数的图象与直线恰有两个不同交点，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．17．0【分析】计算得到再利用和差公式计算得到答案【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数关系和差公式意在考查学生的计算能力解析：0【分析】计算得到，再利用和差公式计算得到答案.【详解】，则..故答案为：.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.18．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最解析：.【分析】设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,结合已知,即可求得答案.【详解】不妨设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,,,,当且仅当,即当时,等号成立,此时最大,即的外接圆面积取最小值.点的坐标为,代入,可得,.双曲线的方程为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.19．1【分析】利用诱导公式得到通分整理后由利用两角差的正弦公式展开化简后得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值利用两角差的正弦公式进行化简求值属于中档题解析：1【分析】利用诱导公式，得到，通分整理后，由，利用两角差的正弦公式，展开化简后，得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值，利用两角差的正弦公式进行化简求值，属于中档题.20．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值.【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义，可知所以矩形的面积当时，故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（I）.（Ⅱ）.【分析】（I）先将函数解析式整理，得到，根据正弦函数的周期，即可求出函数的最小正周期；再由正弦函数的取值范围，即可求出函数的最小值；（Ⅱ）记，根据题中条件，先判断在上是增函数；再由题中条件，得到函数的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求出结果.【详解】（I），所以的最小正周期为，当时，函数的最小值为.（Ⅱ）因为对任意，当时，都有，即，记，即，所以在上是增函数.又.所以，令，求得.故的单调增区间为，，所以实数的最大值为.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移，利用构造函数的思想，求正弦型函数的单调区间，以及利用单调性求参数是解决本题的关键.22．（1）；（2）.【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式求解即可；（2）先利用已知条件得到的范围，进而求出的值，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】（1）；（2），，则，所以，又，，则；，所以；【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数与三角恒等变换问题.灵活的运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键.23．条件选择见解析；（1），单调增区为，单调减区间为；（2）.【分析】化简.（1）若选①，根据周期公式可得；若选②，由，可得周期和，再根据正弦函数的单调性可得单调区间；（2）由的范围求出及的范围可得答案.【详解】.（1）若选①，则有，，即，若选②，则有，，即，综上，于是由，解得，即单调增区为，由，解得，所以单调减区间为.（2），若，则，则，所以值域为.【点睛】本题考查了的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力.24．（1）；（2）.【分析】（1）)先求出，再由两角和的正弦公式计算；（2）根据同角关系求得，二倍角公式得，再由两角和的余弦公式求值．【详解】解：（1）因