(北师大版)九年级下：3.3《垂径定理》同步练习及答案

3.3垂径定理一、选择题1．下列语句中，不正确的个数是 ()①弦是直径②半圆是弧③长度相等的弧是等弧④经过圆内一点可以作无数条直径A．1 B．2 C．3 D．42. 如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是()A．40°B．45°C．50°D．60°3. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为()A．35° B．45°C．55° D．75°4．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是 ()A．80° B．160°C．100° D．80°或100°5.如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为 ()A．3 B．4C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)6.(2014年贵州黔东南6．（4分）)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（） A．4cmB．3cmC．2cmD．2cm二、填空题7. 如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为________．8. 如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是________度．9．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．10．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)，那么该圆的半径为________cm.11．（2014•湖南张家界，第16题，3分）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．三、解答题12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P.求证：(1)D是BC的中点；(2)△BEC∽△ADC.13. 如图，AB是⊙O的直径，C是eq\a\vs4\al(⌒,BD)的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.求证：CF＝BF.14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.15. 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积．(参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)参考答案：1、解析直径是弦，但弦不一定是直径故①不正确，弧包括半圆，优弧和劣弧故②正确，等弧是能够重合的弧故③不正确，而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心，故④不正确。)答案C2.解析连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝eq\f(1,2)(180°－∠BOC)＝40°.答案A3.解析连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝55°，∴∠A＝90°－∠ABD＝35°，∴∠BCD＝∠A＝35°.答案A4．解析如图，∵∠AOC＝160°，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)×160°＝80°，∵∠ABC＋∠AB′C＝180°，∴∠AB′C＝180°－∠ABC＝180°－80°＝100°.∴∠ABC的度数是：80°或100°.答案D5.解析作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM＝eq\r(52－42)＝3，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四边形MONP是正方形，∴OP＝3eq\r(2).答案C6.解答： 解：连结OA，如图，∵∠ACD=22.5°，∴∠AOD=2∠ACD=45°，∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，∴AE=OA，∵CD=6，∴OA=3，∴AE=，∴AB=2AE=3（cm）．故选B．7. 解析连接OD，∵AM＝18，BM＝8，∴OD＝eq\f(AM＋BM,2)＝eq\f(18＋8,2)＝13，∴OM＝13－8＝5，在Rt△ODM中，DM＝eq\r(OD2－OM2)＝eq\r(132－52)＝12，∵直径AB⊥弦CD，∴AB＝2DM＝2×12＝24.答案248. 解析连接OE，∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上，∴∠EOA＝2∠ECA，∵∠ECA＝2×35°＝70°，∴∠AOE＝2∠ECA＝2×70°＝140°.答案1409．解析由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝eq\r(162＋122)＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.答案8或1010．解析连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)(9－1)＝4，设OA＝r，则OD＝r－3，在Rt△OAD中，OA2－OD2＝AD2，即r2－(r－3)2＝42，解得r＝eq\f(25,6)cm.答案eq\f(25,6)11.解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．12. 证明(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点；(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即∠CEB＝∠CDA＝90°，∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC.13. 证明如图．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠2＝90°－∠ACE＝∠A.又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A.∴∠1＝∠2，∴CF＝BF.14．证明(1)∵OD⊥ACOD为半径，∴eq\a\vs4\al(⌒,CD)＝eq\a\vs4\al(⌒,AD)，∴∠CBD＝∠ABD，∴BD平分∠ABC；(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°，∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝eq\f(1,2)AB，∵OD＝eq\f(1,2)AB，∴BC＝OD.15. 解如图，连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB.∵OA＝OB＝5m，AB＝8m，∴AF＝BF＝eq\f(1,2)AB＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF，在Rt△AOF中，sin∠AOF＝eq\f(AF,AO)＝0.8＝sin53°，∴∠AOF＝53°，则∠AOB＝106°，∵OF＝eq\r(OA2－AF2)＝3(m)，由题意得：MN＝1m，∴FN＝OM－OF＋MN＝3(m)，∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE＝FN＝3m，DC＝AB＋2DE.在Rt△ADE中，