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PAGEPAGE4圆内极点与极线性质简证原题如图，过定点P作定⊙O两条动割线PAB与PCD，连结AD与BC，交于点Q．求证：动点Q在一条定直线上．问题1如图，过点P作⊙O两条割线PAB与PCD，连结AD与BC，交于点Q，直线PQ交⊙O于点E、F，点M为弦EF的中点．求证：．注：要证明的结论等价于，即“内分比＝外分比”，也即点P，E，Q，F构成调和分割。证法一：在射线PF上取点M，使PQ·PM＝PA·PB＝PC·PD＝PE·PF，则A，Q，M，B四点共圆，Q，C，D，M四点共圆．因此∠BMF＝∠BAD，∠DMF＝∠DCB，因此∠BMF＝∠FMD，从而∠BOD＝∠BMD，因此O，M，B，D四点共圆．因此∠OMD＝∠OBD，又，OB＝OD，因此∠FMD＋∠OMD＝90°即OM⊥MF（另法：将∠OMF视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆）因此点M为弦EF的中点．证法二：在射线PF上取点M，使PQ·PM＝PA·PB＝PC·PD，延长DM交⊙O于点N．连结OM，BM，BN，EN．由于C，Q，M，D四点共圆，Q，A，B，M四点共圆．因此∠BQF＝∠NDC＝∠NBC因此NB∥EF因此NE＝BF，∠NEF＝∠BFE又∠NME＝∠BCD＝∠BAD＝∠BMF因此△NME≌△BMF（AAS）因此EM＝FM，下略．证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比．因此只要证明，这可以由下面的推导得到：（由∠BAD＝∠BCD得∠PAQ＝∠PCQ）从而得证．证法四：设直线PQ为x轴，直线AB，CD，AD，BC方程为，，，；P(p，0)，Q(q，0)，E(e，0)，F(f，0).即，由此得，整理得.问题2如图，过定点P的动直线交定⊙O于点E、F，点M为弦EF的中点，求证：满足PE·PF＝PQ·PM的动点Q在一条定直线上．证明：如图，作直线OP，交⊙O于点、，取点H使．连结OM．因为，所以．因此Q，H，O，M四点共圆，从而QH⊥OP．下面证明点H为定点．设⊙O的半径为R，由得，，整理得，因此点P为定点．故动点Q的轨迹为过定点H且与OP垂直的直线．当直线PEF成为⊙O的切线时，点E与F重合为切点，因此定直线QH为切点弦所在的直线．HYPE

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