高中数学函数的极值和最值

高中数学函数的极值和最值第1页，共14页，2023年，2月20日，星期四本节重点:极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极值的方法,求最值的方法本节难点:极值和最值的关系,极值点和驻点、不可导点之间的关系,求极值和最值的方法第2页，共14页，2023年，2月20日，星期四一、极值及其求法1.极值的定义:定义:设y=f(x)在某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于的任意点x都有:(1)f(x)<f(),则称f()为f(x)的极大值,称为f(x)的极大值点;(2)f(x)>f(),则称f()为f(x)的极小值,称为f(x)的极小值点;极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点.注:(1)极值是局部概念,极值不一定是最值;(2)极值不唯一,极大值不一定比极小值大第3页，共14页，2023年，2月20日，星期四2.极值存在的必要条件和充分条件:(1)必要条件定理若函数f(x)在可导,且在处取得极值,则第4页，共14页，2023年，2月20日，星期四注：极值点是驻点或不可导点，反之不成立。例x=0是函数的驻点而非极值点;第5页，共14页，2023年，2月20日，星期四（2）极值存在的第一充分条件定理：设函数f(x)在点的某一邻域内可导且(1)若x<时，;当x>时,则f(x)在点处取得极大值f()(2)若x<时，;当x>时，,则f(x)在点处取得极小值f()(3）若x从的左侧变化到右侧时，不变号，则f(x)在处无极值.注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点第6页，共14页，2023年，2月20日，星期四x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)+不存在-0+y↗极大值0↘极小值-3↗函数有极大值f(0)=0极小值f(1)=-3第7页，共14页，2023年，2月20日，星期四（3）第二充分条件定理：设f(x)在点的某邻域内一阶可导，在x=处二阶可导，且,,(1)若,则f(x)在点取得极大值(2)若,则f(x)在点取得极小值。第8页，共14页，2023年，2月20日，星期四x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)+0-0+f(x)↗极大值10↘极小值-22↗第9页，共14页，2023年，2月20日，星期四二、最大值与最小值1.设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最值第10页，共14页，2023年，2月20日，星期四求最值的方法：①求②求出f(x)在[a,b]内的所有驻点和不可导点(i=1,2,…n)③求f(a),f(b),f(),其中最大(小)的即为f(x)在[a,b]上的最大(小)值。第11页，共14页，2023年，2月20日，星期四2．f(x)在某区间内可导且只有一个驻点，根据实际问题的性质知f(x)的最大（小）值一定存在，则在驻点处取得最值。例4从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后沿虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子，问要截去多大的小方块，可使盒子的容积最大？解：设小正方形的边长为a盒子的容积第12页，共14页，2023年，2月20日，星期四函数在定义区间驻点唯一，由问题性质知最大容积一定存在，所以，当正方形的边长为，即从四角各截去一边长为的小正方形，可使盒子的容积最大例5：一张1.4米高的图片挂在墙上，它