高考数学基础知识条

高考数学基础知识条第1页，共48页，2023年，2月20日，星期四一.集合

1.注意区分集合中元素的形式：例如①，②，③，④,⑤,(1).,

N=(2).第2页，共48页，2023年，2月20日，星期四2.遇到或，不要遗忘了的情况，例如：⑴，若，求实数a的值.(不要遗忘a=0的情况)⑵，如果，求a的取值范围。例如：⑴，若，求实数a的值.(不要遗忘a=0的情况)⑵，如果，求a的取值范围。第3页，共48页，2023年，2月20日，星期四3.⑴奇数集{x|x=2n-1，n∈Z}={x|x=2n+1，n∈Z}={x|x=4n±1，n∈Z}⑵正奇数集{x|x=2n-1,n∈Z}≠{x|x=2n+1，n∈Z}4.CU(A∩B)=CUA∪CUB;CU(A∪B)=CUA∩CUB5.A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U第4页，共48页，2023年，2月20日，星期四二．逻辑⒍原命题:若;逆命题:若;否命题:若；逆否命题:若；互为逆否的两个命题是等价的，即它们是同真或同假。如：“”是“”的

条件。（答：充分非必要条件）⒎注意命题“若”的否定与它的否命题的区别:一般地，命题“若”的否定是；否命题是若；命题“p或q”的否定是“┐p且┐q”，“p且q”的否定是“┐p或┐q”第5页，共48页，2023年，2月20日，星期四⒏注意下面几个命题的真假：

⑴“一定是”的否定是“不一定是”（真）；

⑵若|x|≤3，则x≤3；（真）

⑶若x+y≠3，则x≠1或y≠2；（真）

⑷若A={x|x≠1}∪{y|y≠2},

B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),则A=B.(假)第6页，共48页，2023年，2月20日，星期四三.函数与导数

⒐在映射f：A→B中满足“两允许，两不允许”：

允许B中有剩余元素，不允许A中有剩余元素；

允许多对一，不允许一对多.

10.⑴A={(x,y)|x=a},B={(x,y)|y=f(x)},则A∩B中至多有一个元素;

⑵若f(x)存在反函数,则方程f(x)=a至多有一个实根.第7页，共48页，2023年，2月20日，星期四11.关于函数图象对称性的几个重要性质：

①如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关于直线对称是偶函数；

②如果对于一切都有，那么函数的图象关于直线对称；

③函数与函数的图象关于直线对称；第8页，共48页，2023年，2月20日，星期四函数与函数的图象关于直线x=0对称；

函数与函数的图象关于直线y=0对称；

④函数与函数的图象关于坐标原点对称；

⑤若奇函数在区间上是增函数，则在区间上也是增函数；

若偶函数在区间上是增函数，则在区间上是减函数第9页，共48页，2023年，2月20日，星期四12.求一个函数的解析式时，一定要标注该函数的定义域。

13.判断一个函数的奇偶性时，必须注意“函数的定义域是否关于原点对称”这个必要非充分条件

14.奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);

f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);

15.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是：取值、作差、变形、定号、下结论。第10页，共48页，2023年，2月20日，星期四16.用导数研究函数单调性时，一定要注意“>0(或<0)”是该函数在给定区间上单调递增（减）的充分不必要条件。

17.注意单调区间必须用区间表示，不可用集合的其它表示形式，并注意区间端点值的取舍:

若端点值在定义域内且图象在该点不断开，则闭开均可;

若端点值不在定义域内，必须为开；若增（减）区间不只一个，则区间之间应该用“和”或“，”，不可用“∪”.第11页，共48页，2023年，2月20日，星期四18.对号函数(NIKE函数)：的单调区间：该函数在和上单调递增；在和上单调递减。这可是一个应用广泛的函数！

19.两大撇：的单调区间：该函数在都是递增的

20.切记在有定义的奇函数y=f(x)，其图像必定过原点。第12页，共48页，2023年，2月20日，星期四21.“关于的实系数的准一元二次方程有实数解”转化为“”，否则必须要分和两种情况；若原题中没有指出是二次方程、二次函数或二次不等式，必须考虑到二次项系数可能为零的情形.例如：对一切恒成立，求a的取值范围，必须讨论a＝2的情况.22.关于函数的周期性，有如下结论：①函数满足，则是周期为2的周期函数；②若恒成立，则；③若恒成立，则.第13页，共48页，2023年，2月20日，星期四23.证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形。

24.曲线关于点的对称曲线的方程为。

如：若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则＝______第14页，共48页，2023年，2月20日，星期四25.形如的图像是双曲线，对称中心是点。26.①的图象：“以下翻上再去下”先保留在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；②的图象：“去左留右再翻折”先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。如（1）作出函数及的图象；（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于

对称.第15页，共48页，2023年，2月20日，星期四27.判断复合函数的单调：同增异减

（外层），（内层），则当内、外层函数单调性相同时，为增函数，否则为减函数。

28.周期性：

①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；

②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；

③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为。

29.下列函数的最值你会求吗？

⑴y=|x-1|+|x+2|；⑵y=|x-1||x+2|；

⑶y=x+|x+2|；⑷y=|2x-1|+|x+2|；第16页，共48页，2023年，2月20日，星期四30.导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。V＝s/(t)表示t时刻即时速度，a=v′(t)表示t时刻加速度。如一物体的运动方程是，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t=3时的瞬时速度为_____31.导数应用:⑴注意区分曲线在某点处的切线与过某点的切线，曲线在某点处的切线与曲线的公共点可能多于1个，过某点的切线不一定只有一条;如：已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程.⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)≥0得增区间;解不等式f/(x)≤0得减区间;注意f/(x)=0的点;第17页，共48页，2023年，2月20日，星期四

如：设函数在上单调函数，则实数a的取值范围______;⑶求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.如：（1）函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是______;

（2）已知函数在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c有最__值______;（3）方程的实根的个数为（第18页，共48页，2023年，2月20日，星期四32．（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）33.y=在x=0处的切线为x轴，y=在x=0处的切线为y轴.第19页，共48页，2023年，2月20日，星期四四、数列

34.⑴等差数列中的重要性质：

①；

②若，则；

③成等差。

⑵若，是否一定有？（不一定）

35.⑴等比数列中的重要性质：

①；

②若，则；

③是等比数列前n项和，一定是等比数列吗？（不一定）。第20页，共48页，2023年，2月20日，星期四36.等比数列求前n项和时,需要分类讨论．时，；时，37.等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是：（a,b为常数），其公差是2a。38.数列求和时，若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和则要用“错位相减”法，也叫倍差法。39.已知求的通项公式时，必须分类讨论;求得的an不一定是分段形式.第21页，共48页，2023年，2月20日，星期四40.记住两个结论：

⑴；⑵

41.首项为正的递减(或首项为负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式

,或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是

（答：4006）第22页，共48页，2023年，2月20日，星期四42.三数成等差可设为:a-d,a,a+d;四数成等差a可设为:-3d,a-d,,a+d,a+3d;三数成等比可设为:a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)

43.等比数列中任意一项及公比均不为零.44.等差数列{an},项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an;项数2n为时，则;项数为2n-1奇数时，.45.构造等差（比）数列求通项是是一种常用方法：①已知，求；②已知=1，，求；③已知=求；④已知=,求；第23页，共48页，2023年，2月20日，星期四五、三角函数46.诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视为锐角)47.记住以下结论：48.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．如等

第24页，共48页，2023年，2月20日，星期四49.正弦曲线的对称轴是：,对称中心是余弦曲线的对称轴是：，对称中心是正切曲线对称中心50.在任意△ABC中，sinA>sinBA>B在锐角△ABC中，任意内角的正弦大于其它内角的余弦，即，51.的最小正周期为；但的最小正周期为.第25页，共48页，2023年，2月20日，星期四52.函数是周期函数吗？（都不是）53.=的图象关于直线x=t对称=±A；=的图象关于点（t，0）对称=0；54.辅助角公式：，(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由确定)这一公式在求三角函数最值、对称轴、对称中心、最小正周期、化简时起着重要作用.第26页，共48页，2023年，2月20日，星期四六、平面向量

55.向量b在方向上的投影：︱b︱cos＝.

56.以下命题均为假命题：

⑴若∥，∥，则∥；

⑵若∥，则存在使得=；

⑶若，都是非零向量，且.>0,则，夹角为锐角.

⑷(.)2=2.2;

⑸若.=.,则=.

57.和是平面一组基底,则该平面任一向量(唯一)

特别：＝，则是三点P、A、B共线的充要条件.

第27页，共48页，2023年，2月20日，星期四58.△ABC的面积59.设O为△ABC所在平面内一点.(1)O为△ABC重心＋＋=2＋2＋2取得最小值=(＋＋).(2)O为△ABC外心2=2=2

（+）∙=（＋）∙=（＋）∙(3)O为△ABC垂心∙=∙=∙

2＋2=2＋2=2＋2.第28页，共48页，2023年，2月20日，星期四(4)O为△ABC内心a＋b＋c=∙（+）=∙（+）=∙（+）=0.60.设P为△ABC所在平面内的动点.(1)若=(+)(≥0)或=(+)(≥0)或=(+)(≥0)则点P轨迹经过△ABC的重心.(2)若=(+)(≥0),则点P轨迹经过△ABC的内心.(3)=(+)(≥0),则点P轨迹经过△ABC的垂心.61.△ABC中x在什么范围内取值,解△ABC有两解.第29页，共48页，2023年，2月20日，星期四七、不等式62.不等式解集的规范书写格式：必须写成集合。63.分式不等式的一般解题思路是移项通分，切忌不加讨论地去分母。64.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值：两边平方或分类讨论65.高次不等式:用根轴法（穿线法）.因式分解,系数化正,奇穿偶回,写出解集,注意零点.66.利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，必须注意a，b（或a，b非负），且“等号成立”的条件是第30页，共48页，2023年，2月20日，星期四67.①若ab>0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知，，则的取值范围是______68.常用不等式：若，（1）(当且仅当时取等号）；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则69.①(注意取等号的条件)；②|a|≥a；|a|≥－a.第31页，共48页，2023年，2月20日，星期四70.不等式恒成立、能成立、恰成立等问题是高考中的常见题型，常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的特征，利用数形结合法.其处理方法可以总结如下：（1）恒成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）max<B.（2）能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,则等价于在区间D上f（x）max>A;若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上f（x）min<B.（3）恰成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.第32页，共48页，2023年，2月20日，星期四八、直线和圆71.直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．要注意各种形式的局限性，如点斜式不适用于斜率不存在的直线，所以设方程的点斜式或斜截式时，就应该先考虑斜率不存在的情形.例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。(注意，不要漏掉x+3=0这一解.）72.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0,直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，也可以是直线y=kx，它在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等。72.直线Ax+By+C=0的方向向量为=(B，-A)或=(1,k),k为直线的斜率.73.B>0时,Ax+By+C>0表示直线斜上侧的区域;Ax+By+C<0表示直线斜下侧的区域;A>0时,Ax+By+C>0表示直线斜右侧的区域;Ax+By+C<0表示直线斜左侧的区域;第33页，共48页，2023年，2月20日，星期四74.处理直线与圆的位置关系有两种方法：

（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式法。（一般来说，前者更简捷。）

75.处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系。

76.在圆中，注意利用垂径定理，半径、半弦长、及弦心距组成直角三角形。

77.注意圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心).

第34页，共48页，2023年，2月20日，星期四78.①平面上到两定点距离的比为定值(>0且1)的点的轨迹是圆.

②两圆相交所得公共弦方程是两圆方程相减消去二次项所得。

79.①若点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上，则方程x0x+y0y=r2

表示圆x2+y2=r2在点P（x0，y0）的切线；

②若点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则方程x0x+y0y=r2

表示从P点所引的圆的两条切线的两

个切点确定的弦（称为切点弦）所在直线的方程。第35页，共48页，2023年，2月20日，星期四九、圆锥曲线80.曲线系方程你知道吗？直线系方程？圆系方程？共焦点的椭圆系，共渐近线的双曲线系？81.椭圆方程中三参数a、b、c满足a2+b2=c2对吗？双曲线方程中三参数应满足什么关系？82.椭圆和双曲线的焦半径公式你记得吗？83.直线与圆锥曲线位置关系由直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意二次项系数为0的讨论;注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式；注意过x轴上定点的直线有时可设为：第36页，共48页，2023年，2月20日，星期四84.中点问题:涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.①曲线(a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为M(x0,y0),则KABKOM=;②抛物线y2=2px(p≠0)有KAB＝85.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)，则①，，②焦点弦长公式|AB|=x1+x2+p。第37页，共48页，2023年，2月20日，星期四86.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。87.解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误;②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法;③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程;④运用假设技巧以简化计算.第38页，共48页，2023年，2月20日，星期四88.①中心在原点坐标轴为对称轴的椭圆方程可设为Ax2+Bx2＝1;②中心在原点坐标轴为对称轴的双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1;③共渐近线的双曲线标准方程可设为为参数,≠0);④抛物线y2=2px上点可设为(,y0);⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义.第39页，共48页，2023年，2月20日，星期四89.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知P是AB的中点;（4）给出,等于已知A,B与PQ的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点A,B,C共线.（6）给出，等于已知P是的定比分点，为定比，即第40页，共48页，2023年，2月20日，星期四（7）给,即等于已知是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角,（8）给出,等于已知是的平分线/（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出,等于AD已知是BC中边的中线;第41页，共48页，2023年，2月20日，星期四十、立体几何90.空间角的计算步骤：一作、二证、三算;⑴异面直线所成的角:范围：0°＜θ≤90°;求法：①平移法；②补形法.③向量法⑵直线与平面所成的角:范围：0°≤θ≤90°;求法：①直接法(关键是作垂线找射影);②间接法(设而不求);③向量法⑶二面角的平面角的作法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.(注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算.)91.空间距离：①两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离；②平行线、面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.

第42页，共48页，2023年，2月20日，星期四③求点到平面的距离的方法：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.92.平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系93.三棱锥中:①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心;

②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心;③斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心;第43页，共48页，2023年，2月20日，星期四94.立体几何中常用一些结论：⑴棱长为a的正四面体中:高为