高考数学大一轮复习 立体几何中的向量方法 理

高考数学大一轮复习立体几何中的向量方法课件理第1页，共84页，2023年，2月20日，星期四第七章立体几何第七节立体几何中的向量方法第2页，共84页，2023年，2月20日，星期四[考情展望]

1.考查利用空间向量判断、证明空间中的线、面位置关系.2.考查利用向量求空间角的大小.3.以解答题为主要考查形式．第3页，共84页，2023年，2月20日，星期四主干回顾基础通关固本源练基础理清教材第4页，共84页，2023年，2月20日，星期四(1)①平行(2)①垂直[基础梳理]第5页，共84页，2023年，2月20日，星期四2．空间位置关系的向量表示n1＝kn2

n1·n2＝0

n·m＝0

n＝km

n＝km

n·m＝0位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别是n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔________l1⊥l2n1⊥n2⇔________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔________l⊥αn∥m⇔________平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔________α⊥βn⊥m⇔________第6页，共84页，2023年，2月20日，星期四3．空间角的向量求法(1)异面直线所成角的求法．设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量.l1与l2所成的角θ范围______________________求法cosθ＝|cos〈a，b〉|＝________第7页，共84页，2023年，2月20日，星期四(2)直线和平面所成角的求法．如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝________.直线与平面所成角的范围为[0°，90°]．第8页，共84页，2023年，2月20日，星期四(3)二面角的求法．①如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝________.第9页，共84页，2023年，2月20日，星期四②如图②，图③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝__________或________．第10页，共84页，2023年，2月20日，星期四第11页，共84页，2023年，2月20日，星期四第12页，共84页，2023年，2月20日，星期四第13页，共84页，2023年，2月20日，星期四[基础训练]答案：1.(1)√

(2)×

(3)×

(4)√第14页，共84页，2023年，2月20日，星期四第15页，共84页，2023年，2月20日，星期四第16页，共84页，2023年，2月20日，星期四4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．第17页，共84页，2023年，2月20日，星期四5．(2015·上海普陀区一模)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．答案：30°第18页，共84页，2023年，2月20日，星期四第19页，共84页，2023年，2月20日，星期四试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克第20页，共84页，2023年，2月20日，星期四[调研1]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD．┃考点一┃利用空间向量证明平行、垂直——师生共研型第21页，共84页，2023年，2月20日，星期四第22页，共84页，2023年，2月20日，星期四第23页，共84页，2023年，2月20日，星期四第24页，共84页，2023年，2月20日，星期四第25页，共84页，2023年，2月20日，星期四1．恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．2．证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3．证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为证明直线与直线垂直．名师归纳类题练熟第26页，共84页，2023年，2月20日，星期四如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.[好题研习]第27页，共84页，2023年，2月20日，星期四第28页，共84页，2023年，2月20日，星期四┃考点二┃利用空间向量求线线角和线面角——师生共研型第29页，共84页，2023年，2月20日，星期四[解析]

(1)证明：由该四面体的三视图，可知BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC．∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．第30页，共84页，2023年，2月20日，星期四第31页，共84页，2023年，2月20日，星期四第32页，共84页，2023年，2月20日，星期四第33页，共84页，2023年，2月20日，星期四名师归纳类题练熟第34页，共84页，2023年，2月20日，星期四(2015·临沂一模)在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为菱形，AA1＝4，AC＝3，BC＝B1C＝5，∠ABB1＝60°，D为AB的中点．(1)求证：B1D⊥B1C1；(2)求直线AA1与平面CB1D所成角的正弦值．[好题研习]第35页，共84页，2023年，2月20日，星期四解：(1)证明：∵四边形AA1B1B为菱形，∴AB＝AA1＝4.又∵AC＝3，BC＝B1C＝5，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB．连接AB1，∵∠ABB1＝60°，∴AB1＝AB＝4.在△AB1C中，由B1C2＝AB＋AC2，得∠CAB1＝90°，∴AC⊥AB1.∵AB∩AB1＝A，∴AC⊥平面AA1B1B．又∵B1D⊂平面AA1B1B，∴AC⊥B1D．又D为AB的中点，∴B1D⊥AB．∵AB∩AC＝A，∴B1D⊥平面ABC．∵BC⊂平面ABC，∴B1D⊥BC，又B1C1∥BC，∴B1D⊥B1C1.第36页，共84页，2023年，2月20日，星期四第37页，共84页，2023年，2月20日，星期四第38页，共84页，2023年，2月20日，星期四[考情]二面角是高考的重点，也是考查热点，二面角可以将面面位置关系、线面位置关系、线线位置关系很好地融合在一起考查，且命题形式多样化．无论是选择题、填空题还是解答题都有关于这个考点常见的命题形式．┃考点三┃利用空间向量求二面角——高频考点型第39页，共84页，2023年，2月20日，星期四第40页，共84页，2023年，2月20日，星期四第41页，共84页，2023年，2月20日，星期四因为AO⊥BD，所以NH⊥BD．因为MN⊥NP，所以BD⊥NP.因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC．因为H为BO中点，故P为BC中点．第42页，共84页，2023年，2月20日，星期四第43页，共84页，2023年，2月20日，星期四第44页，共84页，2023年，2月20日，星期四第45页，共84页，2023年，2月20日，星期四第46页，共84页，2023年，2月20日，星期四第47页，共84页，2023年，2月20日，星期四第48页，共84页，2023年，2月20日，星期四提醒：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面所在的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．热点破解通关预练高考指数重点题型破解策略◆◆◆建立空间直角坐标系，求几何体中的二面角设n1，n2为二面角α－l－β的面α，β的法向量，则〈n1，n2〉与所求二面角相等或互补◆◆

给出两个半平面及相关线段长度及位置关系求二面角利用|a|2＝a2结合向量的数量积求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角◆◆

给出二面角的大小，求解或证明相关问题利用求解二面角的方法列出相关的关系式，根据实际问题求解◆◆

折叠问题中的二面角先根据条件将平面图形折叠成几何体，然后根据几何体的特征建立空间直角坐标系求二面角第49页，共84页，2023年，2月20日，星期四[好题研习]第50页，共84页，2023年，2月20日，星期四第51页，共84页，2023年，2月20日，星期四第52页，共84页，2023年，2月20日，星期四第53页，共84页，2023年，2月20日，星期四[考情]探索存在性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度，也是考生感觉较难，失分较多的问题，归纳起来立体几何中常见的探索性问题有：(1)探索性问题与空间角相结合；(2)探索性问题与平行或垂直相结合；(3)探索性问题与空间距离相结合．┃考点四┃利用空间向量解决探索性问题——多维探究型第54页，共84页，2023年，2月20日，星期四第55页，共84页，2023年，2月20日，星期四第56页，共84页，2023年，2月20日，星期四第57页，共84页，2023年，2月20日，星期四第58页，共84页，2023年，2月20日，星期四第59页，共84页，2023年，2月20日，星期四第60页，共84页，2023年，2月20日，星期四第61页，共84页，2023年，2月20日，星期四[解析]

(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC．(2)解：由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB．由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4)．第62页，共84页，2023年，2月20日，星期四第63页，共84页，2023年，2月20日，星期四第64页，共84页，2023年，2月20日，星期四视点三：探索性问题与空间距离相结合3．(2015·淄博模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2CB＝2.在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC＝2EF，EC⊥平面ABCD．(1)求证：BC⊥AF；(2)若二面角D－AF－C的大小为45°，求CE的长．第65页，共84页，2023年，2月20日，星期四[解析]

(1)证明：在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos60°＝3，所以AB2＝AC2＋BC2，由勾股定理的逆定理，知∠ACB＝90°，所以BC⊥AC．又因为EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥EC．又因为AC∩EC＝C，所以BC⊥平面ACEF，又AF⊂平面ACEF，所以BC⊥AF.第66页，共84页，2023年，2月20日，星期四第67页，共84页，2023年，2月20日，星期四第68页，共84页，2023年，2月20日，星期四名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优第69页，共84页，2023年，2月20日，星期四[规范答题]向量法求空间角第70页，共84页，2023年，2月20日，星期四[审题视角]

(1)转化为证明C1M∥AD1.(2)解法一是通过建立空间直角坐标系，用向量法求解．解法二是作出二面角的平面角，通过解三角形求解．[满分展示]

(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC，又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA．(2分)连接AD1，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1M∥D1A．又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，所以C1M∥平面