逻辑联结词四种命题与充要条件

逻辑联结词四种命题与充要条件第1页，共31页，2023年，2月20日，星期四§1.3逻辑联结词、四种命题与充要条件1．逻辑联结词、四种命题与充要条件，可以综合高中数学的所有知识命题，但其实质是命题、联结词及充要条件的内在逻辑关系，只要弄清了这个关系，用什么知识为载体命题并不十分重要．2．复习时要在命题的结构(条件与结论)，四种命题及相互关系，“且”、“或”、“非”的含义，特称命题与全称命题的否定，充要条件的判定等方面多下工夫．3．本节的关键是要理解几种主要题型的解题模式，多做一些练习，教师并不需要全部讲解，应该对本节所列例题有所选择，不一定要逐一讲完．第2页，共31页，2023年，2月20日，星期四高考问题1：考查命题的真假主要考查由逻辑联结词联结起来的命题、含量词的命题的真假，多与其他数学知识综合，常见于选择、填空题中的中等题．高考问题2：考查命题的否定主要考查含量词的命题的否定，注意形式变化及其与否命题的区别，常见于选择、填空题中的容易题．高考问题3：考查充要条件综合考查四种条件关系，多以其他数学知识为背景，常见于选择、填空题中的中等题．第3页，共31页，2023年，2月20日，星期四1．命题与四种命题(1)四种命题原命题：若p则q；原命题的否命题：若綈p则綈q；原命题的逆命题：若q则p；原命题的逆否命题：若綈q则綈p.(2)四种命题及关系第4页，共31页，2023年，2月20日，星期四①原命题为真，其逆否命题一定为真，但逆命题、否命题不一定为真；②“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，否命题是将原命题的条件和结论同时否定，而命题的否定只是否定原命题的结论．2．逻辑联结词与量词(1)含逻辑联结词的命题若p、q分别表示命题，则把“p或q”形式的命题称为“或”命题，“p且q”形式的命题称为“且”命题，“非p”形式的命题称为“非”命题．下表是判断“p或q”、“p且q”、“非p”形式命题真假的方法.pq綈pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假第5页，共31页，2023年，2月20日，星期四(2)含量词的命题①全称、特称命题全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”．简记为：∀x∈M，p(x)；特称命题(又叫存在性命题)：“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”．简记为：∃x0∈M，p(x0)．②全称、特称命题真假的判断判断全称命题为真命题，需要对集合M中每一个元素，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．判断特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x0不存在(即对集合M中每一个元素x能证明p(x)不成立)，那么这个特称命题就是假命题．③全称、特称命题的否定第6页，共31页，2023年，2月20日，星期四全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)为特称命题；特称命题q：∃x∈M，p(x)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)为全称命题．3．充要条件(1)四种条件关系：①充分条件与必要条件：如果p⇒q，则称p是q的充分条件，或称q是p的必要条件；②充要条件：如果既有p⇒q,又有q⇒p，则称p是q的充要条件；③既不充分也不必要条件：如果p不是q的充分条件，而且p不是q的必要条件，则称p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合观点设A＝{x|x满足条件p},B＝{x|x满足条件q},若p是q的充分条件,则A⊆B;若p是q的必要条件,则A⊇B;若p是q的充要条件,则A＝B.第7页，共31页，2023年，2月20日，星期四1．原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(

)(A)0个．(B)1个．(C)2个．(D)4个．【解析】

原命题中，若c＝0，显然ac2＝bc2，故原命题为假命题．逆命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”．根据不等式性质，可得命题成立．根据逆命题与否命题互为逆否命题，又原命题和逆否命题的真假性相同，因此正确的有两个．【答案】

C第8页，共31页，2023年，2月20日，星期四2．(2010年·深圳二模)若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则(

)(A)命题p不一定是假命题．(B)命题q一定是真命题．(C)命题q不一定是真命题．(D)命题p与命题q同真同假．【解析】由“非p”为真命题，知p为假命题，又“p或q”为真命题，故q为真命题．【答案】

B第9页，共31页，2023年，2月20日，星期四3．(2010年·宝鸡三模)命题“对任意a∈R，方程ax2－3x＋2＝0有正实根”的否定是(

)(A)对任意a∈R，方程ax2－3x＋2＝0无正实根．(B)对任意a∈R，方程ax2－3x＋2＝0有负实根．(C)存在a∈R，方程ax2－3x＋2＝0有负实根．(D)存在a∈R，方程ax2－3x＋2＝0无正实根．【答案】D4．(2010年·吉林模拟)若非空集合A、B、C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(

)(A)“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件．(B)“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件．第10页，共31页，2023年，2月20日，星期四(C)“x∈C”是“x∈A”的充要条件．(D)“x∈C”是“x∈A”的既不充分也不必要条件．【解析】由A∪B＝C，知A⊆C，故选B.【答案】

B第11页，共31页，2023年，2月20日，星期四例1已知命题p：不等式|x|＋|x－1|＞m的解集为R，命题q：函数f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是________．【指点迷津】根据复合命题真假先确定p、q命题的真假，再由具体问题背景求解．【解析】∵p或q为真，p且q为假．∴p与q必一真一假，p：|x|＋|x－1|＞m，解集为R，∴m＜(|x|＋|x－1|)min＝1.q：∵f(x)＝－(5－2m)x为减函数，∴g(x)＝(5－2m)x为增函数，∴5－2m＞1，∴m＜2.第12页，共31页，2023年，2月20日，星期四【答案】[1,2)【点评】

根据复合命题的真假确定参数取值范围，一定要先明确构成复合命题的两个命题的真假，再求出参数范围．第13页，共31页，2023年，2月20日，星期四能力训练1已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为(

)(A){x|x≥3或x≤－1，x∈Z}．(B){x|－1≤x≤3，x∈Z}．(C){0,1,2}．(D){－1,0,1,2,3}．第14页，共31页，2023年，2月20日，星期四【点评】根据命题的真假求参数范围，可以根据原命题确定参数范围，也可以直接根据原命题得出真命题确定参数范围．第15页，共31页，2023年，2月20日，星期四例3若条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【指点迷津】

利用等价性将“綈p是綈q的必要不充分条件”转化为“p是q的充分不必要条件”来求解．

第16页，共31页，2023年，2月20日，星期四【点评】对于一些直接利用定义较难作出判断的充分条件与必要条件的问题，可利用逆否命题的等价性作出判断．在进行充分条件与必要条件的推理判断中，要注意转化．第17页，共31页，2023年，2月20日，星期四第18页，共31页，2023年，2月20日，星期四1．命题的否定不同于否命题，简单命题的否定是直接否定判断词，对复合命题的否定要注意一些常用否定词，对全称或特称命题进行否定时,在否定判断词的同时还要否定全称或特称量词．2．根据命题的真假解决问题，应首先将命题为真(假)进行等价转化，再根据具体问题进行求解．3．解决充分条件与必要条件的问题，要先明确条件与结论分别是什么，再下结论．注意利用集合间的包含关系转化条件，可使问题直观化．

第19页，共31页，2023年，2月20日，星期四第20页，共31页，2023年，2月20日，星期四第21页，共31页，2023年，2月20日，星期四基础过关1．(2010年·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

)(A)若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数．(B)若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．(C)若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数．(D)若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数．【解析】

因为一个命题的否命题是对其条件和结论都进行否定，所以选B.【答案】

B

第22页，共31页，2023年，2月20日，星期四2．(2010年·成都七中模拟)已知：p：|2x－3|＜1，q：x(x－3)＜0，则p是q的(

)(A)必要不充分条件．(B)充分不必要条件．(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件．【解析】解不等式|2x－3|＜1得x∈(1,2)，解不等式x(x－3)＜0得x∈(0,3)，因为(1,2)⊆(0,3)，所以p是q的充分不必要条件．【答案】

B3．(2010年·长沙一中)已知命题p：Ø{0}，命题q：{1}∈{1,2}，则复合命题“p或q”、“p且q”、“非p”中，真命题的个数为________．【解析】由命题p为真命题，命题q为假命题，易知“p或q”为真命题．【答案】

1第23页，共31页，2023年，2月20日，星期四4．(2010年·浙江东阳中学)①正方形都是菱形；②∃x∈R，使4x－3＞x；③∀x∈R，x＋1＝2x；④集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．上述命题的否定是真命题的为________．(填序号)【解析】①綈p：正方形不都是菱形，假命题．②綈p：∀x∈R,4x－3≤x，假命题．③綈p：∃x∈R，x＋1≠2x，真命题．④綈p：集合A既不是集合A∩B的子集，也不是集合A∪B的子集，假命题．【答案】③第24页，共31页，2023年，2月20日，星期四第25页，共31页，2023年，2月20日，星期四能力提升6．(2010年·烟台模拟)若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是(

)(A)(－∞，－3]∪[2，＋∞)．(B)[2，＋∞)．(C)(－2，＋∞).(D)(－2,2)．第26页，共31页，2023年，2月20日，星期四7．已知A＝{x∈R|＜2x＜8},B＝{x|－1＜x＜m＋1},若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是(

)(A)[2，＋∞).(B)(2，＋∞)．(C)(－∞，2].(D)(－2,2)．【解析】若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则有A是B的真子集，又A＝{x∈R|－1＜x＜3}，∴m＋1＞3，m＞2.【答案】

B8．(2010年·山东省莱州一中高三质量检测)若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2－5x＋6≤0，则綈p是綈q的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)【解析】∵p：－4≤x＋1≤4，∴－5≤x≤3.又∵q：(x－2)(x－3)≤0，∴2≤x≤3，∴q⇒p，∴┐p⇒┐q.【答案】充分不必要第27页，共31页，2023年，2月20日，星期四9．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r