高考数学一轮总复习 第七章 空间点直线平面之间的位置关系

高考数学一轮总复习第七章空间点直线平面之间的位置关系课件第1页，共45页，2023年，2月20日，星期四第七章立体几何与空间向量第3节空间点、直线、平面之间的位置关系第2页，共45页，2023年，2月20日，星期四1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．第3页，共45页，2023年，2月20日，星期四[要点梳理]1．平面的基本性质及推论(1)平面的基本性质：基本性质1：如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．两点第4页，共45页，2023年，2月20日，星期四基本性质2：经过_______________的三点，有且只有一个平面．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们_______________过这个点的公共直线．(2)平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和________的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条__________有且只有一个平面．推论3：经过两条__________

，有且只有一个平面．不在同一直线上有且只有一条直线外相交直线平行直线第5页，共45页，2023年，2月20日，星期四2．空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系图形语言符号语言公共点平行直线a∥b___个相交直线a∩b＝A___个异面直线a，b是异面直线___个010第6页，共45页，2023年，2月20日，星期四(2)平行公理和等角定理①平行公理平行于___________的两条直线平行．用符号表示：设a，b，c为三条直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.②等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角___________．同一条直线相等或互补第7页，共45页，2023年，2月20日，星期四第8页，共45页，2023年，2月20日，星期四3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A___个平行a∥α___个在平面内a⊂α_____个10无数第9页，共45页，2023年，2月20日，星期四平面与平面平行α∥β___个相交α∩β＝l_____个0无数第10页，共45页，2023年，2月20日，星期四[基础自测]1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(

)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线[解析]

由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．[答案]

C第11页，共45页，2023年，2月20日，星期四2．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是(

)A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊂α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊂α⇒l∩α＝A[答案]

C第12页，共45页，2023年，2月20日，星期四3．(2015·台州模拟)对于空间中的两条直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]

若两条直线异面，则一定无公共点，两条直线无公共点时，这两条直线可能平行，故选A.[答案]

A第13页，共45页，2023年，2月20日，星期四4．正方体各面所在平面将空间分成________部分．[解析]

如图，上下底面所在平面把空间分成三部分；左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分；前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9×3＝27部分．[答案]

27第14页，共45页，2023年，2月20日，星期四5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．第15页，共45页，2023年，2月20日，星期四EF所成的角或所成角的补角．连接D1C知△CB1D1为正三角形，故B1C与EF所成的角为60°.[答案]

60°第16页，共45页，2023年，2月20日，星期四[典例透析]考向一平面的基本性质及应用例1

(2015·安顺模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面．第17页，共45页，2023年，2月20日，星期四[证明]如图，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝A1B.又因为A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，即EF与CD1确定一个平面α.且E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面．第18页，共45页，2023年，2月20日，星期四所以四边形CD1FE是梯形．所以CE与D1F必相交．设交点为P，如图，则P∈CE平面ABCD，且P∈D1F平面A1ADD1.又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA交于一点．第19页，共45页，2023年，2月20日，星期四拓展提高1.证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．2.点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．第20页，共45页，2023年，2月20日，星期四(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．(3)反证法．提醒：在选择已知条件确定平面时，要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明．第21页，共45页，2023年，2月20日，星期四第22页，共45页，2023年，2月20日，星期四①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)思路点拨过M、N作某些垂直于棱的直线找平行关系或者构造平面判定．第23页，共45页，2023年，2月20日，星期四[解析]

过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确命题的序号是①③.[答案]

①③第24页，共45页，2023年，2月20日，星期四拓展提高空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．第25页，共45页，2023年，2月20日，星期四活学活用1如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．第26页，共45页，2023年，2月20日，星期四[解析]

如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.[答案]

②③④第27页，共45页，2023年，2月20日，星期四考向三异面直线所成的角例3

(2015·宁波调研)正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．思路点拨(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．第28页，共45页，2023年，2月20日，星期四[解]

(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.第29页，共45页，2023年，2月20日，星期四(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.第30页，共45页，2023年，2月20日，星期四拓展提高求异面直线所成角的一般步骤为：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．第31页，共45页，2023年，2月20日，星期四第32页，共45页，2023年，2月20日，星期四第33页，共45页，2023年，2月20日，星期四第34页，共45页，2023年，2月20日，星期四第35页，共45页，2023年，2月20日，星期四易错警示12平面直线所成的角与三角形内角混淆典例(2015·广州模拟)已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．[正解]

如图，取AC的中点P.第36页，共45页，2023年，2月20日，星期四第37页，共45页，2023年，2月20日，星期四则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.故直线AB和MN所成的角为60°或30°.易错分析：①在△MPN中，找不清AB与CD、AB与MN所成的角．②只得出∠MPN＝60°一种情况，而忽略另一种情况∠MPN＝120°，即混淆了异面直线所成的角与三角形内角．第38页，共45页，2023年，2月20日，星期四防范措施

(1)在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时，不要忽视对三角形的内角“即为两异面直线所成的角(或其补角)”的叙述；也就是平移线段后形成的三角形的内角为钝角时，其对应的异面直线所成的角为它的补角．求异面直线所成的角务必注意范围(0°，90°]．(2)解三角形时要注意分析三角形是否为特殊三角形，可使解答简单：如本题的等