2021新教材高中数学3第1课时余弦定理教学用书教案新人教A版必修第二册

晨鸟教育6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理必备知识・探新知文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和—减去—这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍必备知识・探新知文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和—减去—这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍符号语言在^ABC中，a2=__b2±c2—2bccosA__,b2=__c2+a2-2cacosB—,c2=__a2+b2—2abcosC 推论在^ABC中，b2+c2-a2cosA= ,—2bc一a2+c2-b2cosB=— —2aca2+b2-c2知识点1余弦定理cosC=2ab素养目标•定方向素养目标学法指导.理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论.(逻辑推理).能用余弦定理解三角形.(数学运算).进一步感受向量三角形法则与数量积运算的价值，体会向量数量积运算在解决长度问题中的特点..通过特殊化与一般化感受勾股定理与余弦定理的关系，并加深对勾股定理的理解.知识点2解三角形一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.［微提醒］(1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形.(2)余弦定理和勾股定理的关系在^ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,若角C=90°,则cosC=0,于是c2二Earlybird

晨鸟教育42+岳，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广关键能力•攻重难题型探究题型一已知两边及一角解三角形厂典例1 (1)在△ABC中，已知b=关键能力•攻重难题型探究题型一已知两边及一角解三角形厂典例1 (1)在△ABC中，已知b=60cm,c=60'3cm,A=,贝Ua=660—cm；9(2)在4ABC中，若AB=5,AC=5,且cosC=，则BC=4或5.10［分析］(1)由余弦定理可直接求第三边；(2)先由余弦定理建立方程，从中解出BC的长.［解析］⑴由余弦定理得：/ 、厂 、厂一na=，602+6032-2X60X603Xcos' 6一=4X602-3X602=60(cm).9(2)由余弦定理得：(5)2=52+BC2-2X5XBCX,10所以BC2-9BC+20=0，解得BC=4或BC=5.［归纳提升］已知两边及一角解三角形的两种情况⑴若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角. \厂厂厂【对点练习】 ⑴在^ABC中，已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是(D)1719解这个三角形.［解析］⑴根据余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=16+36-2X4X6Xcos120°=76,c=2—A.87C.62(2)在4ABC中，a=23,B.D.c=「6+2,B=457 7719.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(23)2+(6+-2)2,-2X23X(6+2)Xcos45°=8,「.b=22,b2+c2-a2又「cosA=2bc6+22-2X22X6+22Earlybird晨鸟教育A=60°,C=180°-(A+B)=75°.题型二已知三边解三角形^典例2在^ABC中，a:b:c=3：5：7,求其最大内角.［分析］由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解.［解析］由于a:b:c=3：5：7,不妨设a=3k,b=5k,c=7k(k>0).因止匕c是最大边，其所对角C为最大内角.由余弦定理推论得：TOC\o"1-5"\h\za2+b2-c29k2+25k2-49k2 1cosC= = =-,2ab 2-3k-5k 2<0°<C<180°,「.C=120°，即最大内角为120°.［归纳提升］已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角.2【对点练习】 (1)(2020・全国m卷理)在^ABC中，cosC=,AC=4,BC=3,则cosB3=(A)TOC\o"1-5"\h\z1A. B.93_ 2C. D.23(2)在4ABC中，(b+c):，c+a)：(a+b)=4：5：6,则此三角形的最大内角为120°.2［解析］(1"在^ABC中，cosC=,AC=4,BC=3,_3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosC,AB2=42+32-2X4X3X2，可得AB2=9，即AB=3,TOC\o"1-5"\h\z _ 3AB2+BC2-AC2 9+9-161 1由-cosB= = =，故cosB=.2AB-BC 2X3X39 9故选A.(2)由(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，得a:b:c=7：5：3,•••边a最大.又cosA=b2+c2-a21=-,「.A=120°.2bc 2题型三判断三角形的形状典例3在^ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,试判断A1BC的形状.［分析］思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系.［解析］已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosB-cosC,.二b2+c2=b2cos2c+c2cos2B+2bccosB-cosC,「b2cos2c+c2cos2B+2bccosBcosC=(bcosC+ccosB)2-a2,Earlybird晨鸟教育b2+c2=a2,••.△ABC为直角三角形.［归纳提升］利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项⑴利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解【对点练习】在^ABC中，acosA+bcosB=ccosC,试判断△ABC的形状.b2+c2-a2TOC\o"1-5"\h\z［解析］由余弦定理知cosA= ,2bcc2+a2-b2 a2+b2-c2cosB= ,cosC= ,2ca 2ab代入已知条件得b2+c2-a2 c2+a2-b2 c2-a2-b2a- +b- +c- =0,2bc 2ca 2ab通分得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理得(a2-b2)2=c4.「.a2-b2=±c2，即a2=b2+c2或b2=a2+c2. ....根据勾股定理知^ABC是直角三角形.^易错警示忽略三角形三边关系导致出错典例4设2a+1,a,2a—1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围.［错解］'Za+1,a,2a—1是三角形的三边，1.'Error!解得a>,2・・・2a+1是三边长中最长的边，设其所对角为仇Earlybird晨鸟教育［正解］.「2a+1,a,2a-1是三角形的三边，1」.Error!解得a>一,此时2a+1最大.2要使2a+1,a,2a-1表示三角形的三边，还需a+(2a-1)>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为6,a2+2a-12-2a+12aa-8贝Ucos6= 二<0,2a2a-12a2a-1 1解得<a<8.2「.a的取值范围是(2,8).［名师点津］由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误.在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形【对点练习】在钝角三角形ABC中，a=1,b=2,c=3且C是最大角，求t的取值范围.［解析］因为a,b,c是^ABC的三边，所以b-a<c<a+b,所以2-1<t<1+2=3,所以1<t<3.又ABC是钝角三角形，且C是最大角，所以90°<C<180°.V•、 a2+b2-c25-12所以cosC<0，所以cosC= 二<0,2ab 4所以12>5.又t>0，所以t>5.所以t的取值范围为(5,3).Earlybir