《数学归纳法》(好)

数学归纳法2021/5/91

：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法2021/5/92思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的2021/5/93解:猜想数列的通项公式为验证:同理得啊,有完没完啊?

正整数无数个!对于数列｛｝，已知，（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？情境二2021/5/94（一）视频播放你见过多米诺骨牌游戏吗?对我们解决本题证明有什么启示？二、引导探究，寻求解决方法2021/5/951、第一块骨牌倒下2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件(二)师生互助2021/5/96多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时，猜想成立根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。通项公式为的证明方法（2）若当n=k时猜想成立，即，则当n=k+1时猜想也成立，即。三、类比问题，师生合作探究（一）类比归纳2021/5/97当一个命题满足上述（1）、（2）两个条件时，我们能把证明无限问题用有限证明解决吗?（二）理解升华2021/5/98一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）【归纳奠基】证明当n取第一个值n0(n0∈N*

)时命题成立;（2）【归纳递推】假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.从而就可以断定命题对于n0开始的所有正整数n都成立。

这种证明方法叫做数学归纳法。（四）提炼概念2021/5/99对于数列｛｝，已知，写出数列前4项,并猜想其通项公式;同学们,你能验证你的猜想是不是正确吗?四、例题研讨，学生实践应用（一）典例析剖2021/5/910（二）变式精炼用数学归纳法证明

2021/5/9111＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝用数学归纳法证明n2即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。证明：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么当n=k+1时（2）假设当n＝k时，等式成立，即（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝

+[2(k+1)－1］k2＝

＋2k＋1k2＝（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。证明传递性（凑结论）2021/5/912（三）能力提升用数学归纳法证明

2021/5/913证明：（1）当n=1时，左边=12=1右边=1等式成立(2)假设当n=k时等式成立,即那么,当n=k+1时即当n=k+1等式也成立根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.凑出目标用到归纳假设2021/5/914数学归纳法步骤，用框图表示为：验证n=n0时命题成立。若n=k(k≥n0)

时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。归纳奠基归纳递推

注：两个步骤,一个结论,缺一不可2021/5/915思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)

＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1

所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早2021/5/916证明：①当n=1时，左边＝右边＝②假设n=k时，等式成立，那么n=k+1时等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求思考2：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L2021/5/917

因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。2021/5/9181.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)

条时，第一步检验n等于(

)A.1

B.2C.3D.0解析：因为n≥3，所以，第一步应检验n＝3.答案：C2021/5/9192.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，

在验证n＝1时，等式左端计算所得的项是(

)A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析：因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以验证n＝1时，等式左端计算所得的项是1＋a＋a2.答案：C2021/5/9203.利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(

)A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.2021/5/921解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1).答案：B2021/5/9224.用数学归纳法证明：，

第一步应验证左式是

，右式是

.解析：令n＝1则左式为1－，右式为 .答案：2021/5/9235.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和

f(k＋1)＝f(k)＋

.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三