函数方程及其应用

关于函数方程及其应用第1页，课件共68页，创作于2023年2月2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度_____y=xn

的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有_______.图象的变化随x增大逐渐表现为与______平行随x增大逐渐表现为与______平行随n值变化而不同y轴x轴快于ax>xn第2页，课件共68页，创作于2023年2月（2）对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)对数函数y=logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会______y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有____________.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在（0,+∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________.慢于logax<xnax>xn>logax第3页，课件共68页，创作于2023年2月3.常用的几类函数模型(1)一次函数模型f(x)=kx+b(k、b为常数，k≠0);(2)反比例函数模型

(k、b为常数,k≠0);(3)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，

a≠0)；(4)指数函数模型f(x)=a·bx+c（a、b、c为常数，

a≠0,b>0,b≠1）；(5)对数函数模型f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，m≠0,

a>0,a≠1）;(6)幂函数模型f(x)=axn+b(a、b、n为常数，a≠0,

n≠1).第4页，课件共68页，创作于2023年2月4.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果要回到实际问题中写答案.第5页，课件共68页，创作于2023年2月基础自测1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100元国家要征附加税为x元（税率x%）,则每年销售量减少10x万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为（）A.2B.6C.8D.10

解析依题意解得2≤x≤8,则x的最小值为2.A第6页，课件共68页，创作于2023年2月2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元,则该存款人的本金介于（）A.3万~4万元B.4万~5万元C.5万~6万元D.2万~3万元

解析设存入的本金为x，则x·2%·20%=138.64，A第7页，课件共68页，创作于2023年2月3.在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000吨,每吨为800元；购买2000吨,每吨为700元;一客户购买400吨,单价应该是（）A.820元B.840元C.860元D.880元

解析依题意，可设y与x的函数关系式为

y=kx+b,由x=800,y=1000及x=700,y=2000,可得k=-10,b=9000,即y=-10x+9000,将y=400代入得x=860.C第8页，课件共68页，创作于2023年2月4.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h)的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00，其后t

取正值,则下午3时温度为（）A.8℃B.78℃C.112℃D.18℃

解析由题意，下午3时，t=3，∴T(3)=78℃.B第9页，课件共68页，创作于2023年2月5.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y=ax-2（x为明文,y为密文）,如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是______.

解析依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2，解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由14=2x-2,解得x=4.加密发送解密4第10页，课件共68页，创作于2023年2月题型一一次、二次函数模型【例1】如图所示，在矩形

ABCD中，已知AB=a，BC=b

（b<a）,在AB，AD，CD，

CB上分别截取AE，AH,CG,

CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值问题求出S的最大值.

思维启迪题型分类深度剖析第11页，课件共68页，创作于2023年2月解设四边形EFGH的面积为S，则S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x)，由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.又0<b<a,∴0<b<第12页，课件共68页，创作于2023年2月若≤b,即a≤3b时，则当时，S有最大值若即a>3b时,S(x)在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为综上可知，当a≤3b时，时，四边形面积Smax=当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.第13页，课件共68页，创作于2023年2月探究提高

二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.第14页，课件共68页，创作于2023年2月知能迁移1某人要做一批地砖，每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD

的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.图1图2第15页，课件共68页，创作于2023年2月(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？(1)证明图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次逆时针旋转90°，180°,270°后得到，∴EF=FG=GH=HE，∴△CFE为等腰直角三角形，∴四边形EFGH是正方形.第16页，课件共68页，创作于2023年2月(2)解设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a（元），=a(x2-0.2x+0.24）=a[(x-0.1)2+0.23]（0<x<0.4）,由a>0，当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省.答当CE=CF=0.1米时，总费用最省.第17页，课件共68页，创作于2023年2月题型二分段函数模型【例2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中图①（一条折线）、图②（一条抛物线段）分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.第18页，课件共68页，创作于2023年2月(1)分别写出国外市场的日销售量f（t）与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g（t）与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由.第19页，课件共68页，创作于2023年2月思维启迪

第(1)问就是根据图①和②所给的数据,运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（2）问先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是否有解.解

(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,图②是一个二次函数的部分图象，第20页，课件共68页，创作于2023年2月(2)每件样品的销售利润h（t）与上市时间t的关系为故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为第21页，课件共68页，创作于2023年2月当0≤t≤20时，

∴F（t）在［0，20］上是增函数，∴F（t）在此区间上的最大值为F（20）=6000<6300.当20<t≤30时，由F（t）=6300，得3t2-160t+2100=0,解得t=(舍去)或t=30.第22页，课件共68页，创作于2023年2月当30<t≤40时，由F（t）在（30，40］上是减函数，得F(t)<F(30)=6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第30天.

(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.探究提高第23页，课件共68页，创作于2023年2月知能迁移2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数：其中x是仪器的月产量.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）第24页，课件共68页，创作于2023年2月解（1）设月产量为x台，则总成本为（20000+100x）元，从而（2）当0≤x≤400时，当x=300时，有最大值25000；当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数，f(x)<60000-100×400<25000.所以，当x=300时，有最大值25000.所以，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.第25页，课件共68页，创作于2023年2月题型三指数函数模型与幂函数模型【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）.(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？第26页，课件共68页，创作于2023年2月（参考数据:1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079,lg2≈0.3010,lg1.012≈0.005,lg1.009≈0.0039）增长率问题是指数函数问题，利用指数函数模型，构造函数.思维启迪第27页，课件共68页，创作于2023年2月解（1）1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.第28页，课件共68页，创作于2023年2月(2)10年后，人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7（万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+1.2%)x=120,(4)由100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2,两边取对数得20lg(1+x%)≤lg1.2=0.079,所以所以1+x%≤1.009,得x≤0.9,即年自然增长率应该控制在0.9%.第29页，课件共68页，创作于2023年2月探究提高

此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.第30页，课件共68页，创作于2023年2月知能迁移31999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？第31页，课件共68页，创作于2023年2月以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.47710.69901.09621.11761.1392第32页，课件共68页，创作于2023年2月解（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，两边取对数，则40lg（1+x）=lg2，则lg（1+x）==0.007525，∴1+x≈1.017，得x=1.7%.（2）依题意，y≤12.48(1+1%)10，得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.答每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.第33页，课件共68页，创作于2023年2月题型四函数的综合应用【例4】(12分)有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V立方米,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好的混合.用g（t）表示任一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数.已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满足关系式(p≥0)，其中

g(0)是湖水污染的初始质量分数.第34页，课件共68页，创作于2023年2月（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；（2）求证：当g(0)<时,湖泊的污染程度将越来越严重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染源停止时)污染水平的5%？

第35页，课件共68页，创作于2023年2月（1）水污染质量分数为常数，即g(t)为常数函数；(2)污染程度越来越严重，即证明g(t)为增函数；(3)转化为方程即可解决.(1)解设0≤t1<t2, ∵g(t)为常数，∴g（t1）=g(t2),2分4分思维启迪第36页，课件共68页，创作于2023年2月(2)证明设0≤t1<t2,∵g(0)-<0,t1<t2,∴g(t1)-g(t2)<0,∴g(t1)<g(t2).故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.8分第37页，课件共68页，创作于2023年2月(3)解污染源停止，即p=0，此时设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g(t)=5%·g(0)，即有5%·g（0）=

10分由实际意义知g(0)≠0，即需要天时间.12分第38页，课件共68页，创作于2023年2月探究提高

(1)对此类问题的解决关键是认真审题，理顺数量关系.(2)应用数学模型，抽象出方程、不等式或函数解析式.(3)用函数、方程、不等式解答.第39页，课件共68页，创作于2023年2月知能迁移4经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为时间

t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件),价格近似满足

(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.第40页，课件共68页，创作于2023年2月解

（1）y=g（t）·f（t）=（40-t）（40-|t-10|）=（2）当0≤t<10时,y的取值范围是[1200,1225],在t=5时，y取得最大值为1225；当10≤t≤20时，y的取值范围是［600，1200］，在t=20时，y取得最小值为600.答

第5天，日销售额y取得最大值为1225元；第20天，日销售额y取得最小值为600元.第41页，课件共68页，创作于2023年2月1.求解函数应用题的一般方法“数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用题的一般程序是：(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模:求解数学模型,得到数学结论；(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.方法与技巧思想方法感悟提高第42页，课件共68页，创作于2023年2月2.几种重要的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c（a，b，c为常数，

a≠0)；(3)反比例型函数模型:

(k,b为常数,

k≠0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,

b>0,b≠1)；(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数，

m≠0,a>0,a≠1);(6)分段函数模型.第43页，课件共68页，创作于2023年2月1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.失误与防范第44页，课件共68页，创作于2023年2月一、选择题

1.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差（）A.10元B.20元C.30元D.元定时检测第45页，课件共68页，创作于2023年2月解析设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20,

B种方式对应的函数解析式为S=k2t,当t=100时，100k1+20=100k2,当t=150时，150k2-150k1-20=故选A.

答案

A第46页，课件共68页，创作于2023年2月2.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(-∞,+∞)上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增

解析①当x≥0且y≥0时，x2+y2=1,②当x>0且y<0时，x2-y2=1,③当x<0且y>0时，y2-x2=1,④当x<0且y<0时，无意义.由以上讨论作图如右，易知是减函数.B第47页，课件共68页，创作于2023年2月3.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为（）A.2800元B.3000元C.3800元D.3818元第48页，课件共68页，创作于2023年2月解析设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得如果稿费为4000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所以稿费应在800~4000元之间,∴(x-800)×14%=420,∴x=3800.答案

C第49页，课件共68页，创作于2023年2月4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）

解析根据汽车加速行驶（a>0），匀速行驶s=vt,减速行驶(a<0)结合函数图象可知选A.A第50页，课件共68页，创作于2023年2月5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A.100台B.120台C.150台D.180台

解析设利润为f（x）(万元)，则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000≥0,∴x≥150.C第51页，课件共68页，创作于2023年2月6.已知a>0且a≠1，f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时均有

f(x)<则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.第52页，课件共68页，创作于2023年2月解析由题意可知在（-1，1）上恒成立，令y1=ax,

由图象知：答案

C第53页，课件共68页，创作于2023年2月二、填空题7.计算机的价格大约每3年下降,那么今年花8100元买的一台计算机,9年后的价格大约是_____元.

解析设计算机价格平均每年下降p%，由题意可得∴9年后的价格300第54页，课件共68页，创作于2023年2月8.设函数f(x)=x|x|+bx+c，给出下列命题：①b=0,c>0时，方程f(x)=0只有一个实数根；②c=0时，y=f(x)是奇函数；③方程f(x)=0至多有两个实根.上述三个命题中所有正确命题的序号为____.

解析①f(x)=x|x|+c=第55页，课件共68页，创作于2023年2月如图①，曲线与x轴只有一个交点，所以方程f(x)=0只有一个实数根，正确.②c=0时，f(x)=x|x|+bx，显然是奇函数.③当c=0,b<0时，f(x)=x|x|+bx=如图②，方程f(x)=0可以有三个实数根.综上所述，正确命题的序号为①②.答案

①②第56页，课件共68页，创作于2023年2月9.已知f(x)=(x2-ax+3a)(为锐角),在区间[2,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围是_________.

解析令u=x2-ax+3a,∴在定义域内为减函数，∴f(x)=(x2-ax+3a)在[2,+∞)上为增函数,则u=x2-ax+3a>0在[2,+∞)上恒成立,且为增函数,-4<a≤4第57页，课件共68页，创作于2023年2月三、解答题10.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y（元）表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）.第58页，课件共68页，创作于2023年2月(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解（1）当x≤6时，y=50x-115,令50x-115>0，解得x>2.3.∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*，当x>6时，y=[50-3（x-6）]x-115.令[50-3（x-6）]x-115>0,有3x2-68x+115<0,上述不等式的整数解为2≤x≤20(x∈N*）,∴6<x≤20(x∈N*).第59页，课件共68页，创作于2023年2月故定义域为{x|3≤x≤20,x∈N*}.(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈N*).显然当x=6时，ymax=185(元)，对于y=-3x2+68x-115当x=11时，ymax=270（元）.∵270>