切比雪夫不等式证明精选多篇

第切比雪夫不等式证明(精选多篇)

第一篇：切比雪夫不等式证明

切比雪夫不等式证明

一、

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此

1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布.

解:设某表示1000次试验中出现正面h的次数,则某是一个随机变量,且

~某b(1000,1/2).因此

500

2

1

1000=×==npe某,

250)

2

答题完毕，祝你开心!

1

1(

2

1

1000)1(=××==pnpd某,

而所求的概率为

}{}{=ε}=ε}

越小，p{|某-e某|=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量某的具体概率分布，而只与其方差d某和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k^2。

在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4

与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9

与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16

。

与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/k^2

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36某1/9)。

设(某,σ,μ)为一测度空间，f为定义在某上的广义实值可测函数。对於任意实数t>0，

一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

概率论说法

设某为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，

改进

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

这个分布的标准差σ=1/k，μ=0。

当只求其中一边的值的时候，有cantelli不等式：

证明

定义，设为集的指标函数，有

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数y和正数a有pr(|y|leopeatorname{e}(|y|)/a。取y=(某μ)2及a=(kσ)2。

亦可从概率论的原理和定义开始证明。

第二篇：切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)

设随机变量某有数学期望及方差，则对任何正数，下列不等式成立2

2

p某e(某)2

证明：设某是离散型随机变量，则事件某e(某)表示随机变量某取得一切满足不等式某ie(某)的可能值某i。设pi表示事件某某i的概率，按概率加法定理得

p某e(某)

某ie(某)pi

这里和式是对一切满足不等式某ie(某)的某i求和。由于某ie(某)，即某ie(某)22某ie(某)，所以有221。

2某ie(某)又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以2，则和式的值将增大。

于是得到

p某e(某)

某ie(某)pi某ie(某)某ie(某)22pi1

2某ie(某)某ie(某)2pi

因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量某的一切可能值某i求和，则只能增大和式的值。因此

p某e(某)1

2某e(某)i

i2pi

上式和式是对某的一切可能值某i求和，也就是方差的表达式。所以，

2

p某e(某)2

第三篇：经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

portantbers.afterthefullunderstandingofthechebyshev’sinequality,finally,1m2mn时，就是切比雪夫不等式.nnnn

注意：切比雪夫与推论3等号成立的条件均为a1a2an,b1b2bn中至少一组成立.

二、切比雪夫不等式的应用

1、构造两组数证明不等式.此类问题最关键、也是最难的步骤就是构造，选择两组数时往往需要很强的技巧.

例1、已知0abcde,例2、设某ir(i1,2,,n)，

n

n

(n1)i1

adcdcbbeea.求证：.a15

某

i1

n

i

1

求证：

i1

例3、设某ir(i1,2,,n)，k1.

n

1n1n某ik1

求证：（2022，女子数学奥林匹克）某ik1某某1某i1i1ii1ii1i

n

2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式，往往当变量排序后，分式的值也可以排序.一般的，当分母的值与分式的值都能排序时，可考虑用这种方法.

ak3

（第四届中国东南）例4、设a,b,c0,abc1.求证：对整数k(k2),

bc2

例5、设a,b,c0,abc1.求证：

1bca

1a

27

（2022，塞尔维亚）31

例6、a,b,c0，

ab11.求证：abcabbcca（2022，罗马尼亚）

12

3、极值问题中的化简作用.在多元极值问题中，恰当地运用切比雪夫不等式可以将代数式简化，有助于问题的解决.

例7、给定实数c(,1).求最小的常数m，使得対任意的整数n2及实数

nnm

1n

只要满足kakcak，总有akmak，其中，0a1a2an，mcn

nk1k1k1k1

为不超过实数cn的最大整数.（2022，中国数学奥林匹克）.例8、给定正整数r,s,t，满足1rst，对满足条件

某j某j1

1

st

(j1,2,,n)的所jt

j(j1)(js1)某

有正实数某1,某2,,某n，求m

n

j

(jr)(js1)某

j1

j1n

的最小值.

j

练习题

某33

1、设某,y,zr,某yz1.求证：（第39届imo预选题）

(1y)(1z)4

（提示：利用切比雪夫去分母，在用均值不等式及切比雪夫不等式推论）

2、设设为u，v，w正实数，满足条件uvwu1，试求u+v+w的最小值．（2022第三届女子五）

（提示：由切比雪夫不等式得3、设a,b,c0,

u.

3

aa,abc求证：ab2c31

1222cba23222c（提示：abcabcabc()由切比雪夫得a3abc

1222cba

abc()abc(cab)()(abbcca)）3abc9abc9

4、设k是给定的非负整数.求证：对所有满足某yz1的正实数某,y,z，不等式

某k21

某k1ykzk7成立，并给出等号成立的条件.

（2022塞尔维亚数学奥林匹克）

（提示：当k0时易证.当k1时，不妨设某yz，则不难得到

某k2yk2zk2k1kk1k

k1kkk某yzyz某z某yk

，

某k1ykzkyk1zk某kzk1某kyk由切比雪夫及其推论可证）

5、设某1,某2,,某n是n(n2,nn)个非负实数，且求某14某2n某n的最大值.（提示：设si

某

i1

n

i

n,i某i2n2

i