地震地面运动随机过程的正交展开

地震地面运动随机过程的正交展开——基于Clough-Penzien功率谱摘要：利用随机过程karhunen-Loeve分解的基本原理，采用Hartley正交基作为展开函数集，针对Clough-Penzien谱的地震地面运动随机过程进行了正交展开研究。本文通过对地震动位移随机过程的正交展开，达到了对地震动加速度随机过程的展开目的。同时，对这一展开方法进行了实例验证，结果表明：地震动随机过程可以表示为由少量独立随机变量所调制的确定性函数的线性组合形式。这一研究，为工程结构的随机地震反应分析和动力可靠性研究奠定了基础。关键词：地震地面运动；随机过程；Clough-Penzien功率谱；正交展开引言在工程结构的抗震分析中，随机振动方法是一种较为先进合理的分析方法。经典的线性随机振动分析是以功率谱密度函数作为其分析的核心[1]。然而，利用功率谱密度函数进行结构的随机响应分析，在本质上属于数值特征范围内的研究，从而导致经典研究在非线性随机动力响应分析与可靠度研究方面存在相当大的局限性。因此，对于地震地面运动这样一种十分复杂的随机振动现象，如何合理、有效地对其进行描述，是工程结构抗震分析的关键课题之一。对于随机过程，Karhunen-Loeve分解[2]为我们提供了从独立随机变量集合的角度研究随机过程的可能性。针对求解Fredholm积分方程的困难，文献[3]建议了一类基于标准正交基的随机过程展开方法，当展开项数时，此方法等价于Karhunen-Loeve分解。考虑到Hartley变换与Fourier变换之间的关系[4]，文献[5]进一步提出了基于Hartley正交基的随机过程展开方法，针对Clough-Penzien功率谱，对地震动随机过程进行了正交展开研究，限于篇幅，文献[5]未对展开结果进行验证，本文将对这一展开方法进行验证分析。1地震动随机过程的正交展开根据文献[5]对地震动随机过程正交展开方法的研究，本文以Clough-Penzien功率谱为基础进行地震动随机过程的正交展开实例分析。其中，假定地震动随机过程为零均值的高斯随机过程。首先，由Clough-Penzien功率谱模型，即[6]：(1)式中，和分别为场地土的卓越角频率和阻尼比，为谱强度因子，而频率参数和阻尼参数是为了给出所需要的过滤特性而选择的，表1给出了不同场地条件下，这些参数的取值。由位移功率谱密度函数与加速度功率谱密度函数之间的关系，即：(2)可以得到随机地震动位移功率谱密度函数(单边功率谱)为：(3)其对应的自相关函数为：(4)燕式中杜，喷孝编熟昨麦释(4晃-1)隆忍坏松凡(4-逮2)刮萌最负茅(4-艳3)叼趁泪裤母(4-近4)朝式中，慌，森，青吼，础；居清，，，。织其中，符载号村表示共轭匠复数。星表奶1齿Clou袄gh-P搜enzi给en院功率谱模嫂型参数取跳值器[7,8剥]烫场地土类疮别白(巡rad捧/s)是(吨rad向/s)眯持时凳(怪动sec朴)吐坚硬土场赚地横0.60稳0.60熔15愚中等场地转土寺0.60细0.60辱20问软土场地高0.85捐0.85烛25谁图粗1顾凶三类场地狱的地震动登位移功率铺谱密度函腿数瓶图妙2若趣三类场地姻的地震动锐位移自相课关函数绑考虑到实逢际地震动仗的持续时勇间为有限杠值，对随驶机地震动绘位移自相毛关函数修翼正如下：侧，姨检律彼短方百(5号)高式中，弃为地震动艳平稳持时宜或香9笨0扫％能量持断时，其取斑值见苗表息1迷。鲁注意到实肌际随机地折震动功率酬谱密度函氏数为单边战功率谱，功同时地震颗动随机过浓程为实随非机过程，凡为此，采鸭用归一化从的志Hart贼le肯y密正交基作找为随机过晓程的展开撞函数集，胳即痕[9]抖：望，符珍诉芽劣(卸6)丹式中，函衫数定。需要指弯出的是，撤由孟Hart掌le索y忽正交基代窑替馆Four壶ie陆r超正交基作红为展开函谱数时宋，葱Hart蒙le届y放正交基相蓄应的特征蝇值需扩大肯到姜2毕倍。寿由保式成(6缸)生，可以将员地震动位疤移随机过由程在归一碰化的正交恋函数集拢上近似展模开为版[铸3至]碧：群哄泼嘉亲炒门蝇随著(7)冶对于展开缸项数毯的取值，很可根据地竭震动加速个度功率谱论密度函数纽的频谱范蜡围来确定缓，即：(8)姥其中，崭为目标谱背的逼近谱凡，滥<<1饱，劳为加速度肥功率谱的烤截断频率沫，可通过秒来估计。蛋一般而言体，孝取初300甚至滚500袖项时，可响满足尺式投(8溪)振，具体取舰值可参见凭表泄2户。宰确定文N市的取值后份，可利用包文献赴[3]吼的方法，腐求得相关令矩阵爱的特征值育和标准特下征向量锄(膊搏j迟=1,2鬼,拴…灵,采N间+1回)贡；从而，烘式捧(7框)武可表示为狮：腥凯(叙9-1)旦喝坊只会误其妻鹊(9-传2)瓜其中，砌为标准特货征向量生的第虫个元素；黎为一组相访互独立的凭标准高斯赠随机变量扔。说通常，用晒自最大特棋征值依次盘降低的前骑阶特征值努及其相应薪的随机变竹量组合即校可反映随尘机过程的习主要概率葬特性。钟仿误度咱睬体此时，地踪震动位移柿随机过程只可进一步扔近似表示口为：奸预门已邪困跪蝶(10厅)晕而补式没(10供)鼠中的截断揉项数禾可由下式明近似来确泽定，即：臂侨乌国阶荷榴针晨(11)斧一般地，霸可取终，从而可济确定点的取值，声具体取值季见虚表世2对。贩表没2骨测地震动随泉机过程正卖交展开的徐参数取值湿场地土类嚼别宪N控值心值膏坚硬土场称地防500球5.4%曲10来90.8茎%四中等场地筐土扒500贷4.5%赶10将93.9度%具软土场地被500摇5.0%债10惩97.5右%羽考虑到地体震动加速剥度随机过辟程与位移使随机过程胡是同一地还震地面运倘动过程的在两种不同仇反映方式贷。影响两钳者的主要煤随机因素木可以认为琴是基本一阵致的。因姿此，地震婶动加速度挣随机过程狸可近似表奋示帅为扣(殃为表达简刃洁，以下晓对近似加坐速度稍均简写为为)宴：匀奖盘耗嚼梢渣究(参12-1您)瞧塞圾团(串12-2束)贯其中，总为一组谐抵波调整系雅数嗓，主要考高虑截断后趴所带来的耽误差而引姑入的一组蒸修正系数连。箩由先式戏(12舰)跨，可求得想地震动加喷速度随机奶过程自相芹关函数的筑近似表达捏式：敞佣贺命张如如(13猴)彩对理式助(13介)在求关于鸦的林Four复ier霞变换：覆骆舟勉皇费(14兄)纽对湖式堂(14促)肠在持时内肺求关于垮的整体平滴均，可得沈到下列关璃系：烂炮拆针各爬芬内(15)用其中，态为辰Dira漏c宫函数。脊由悔式宜(12消)涛至举式帆(15闯)险，可得下扒列关系：舒倚瓜狗(麦16)弓称函数亿为地震动奥加速度随桨机过程狸在持时壤内的平均笨功率谱密沾度函数。鉴由能量等访效原则，艳即在持时谎内的平均臭功率谱舰与目标功辨率谱薪等效，可芳以确定系尊数孩的绝对值尾，即：辱的数衣凤嘱扣欢(17舅-1)距，睁任棋(1朵7-2)崖对于系数圆的正负号熊取值，可装给出其经执验取值。锦2浓丑谱参数的饭确定谈在上述地揭震动随机机过程的正承交展开模狼型中，为蝇方便讨论胡，假定了莫谱强度因牛子顾。进一步纤地，若考竭虑谱强度淡因子源的影响，就地震动随茫机过程的尸正交展开日式玻(域12-1隶)唱应表示为监：等遭搏吗球景塘身(1差8)侮由随机振脂动理论，员谱强度因阀子拐可按下式到计算：(19)糕其中，餐为地震地陈面最大加柜速度的期两望值，莫为房峰值因子满，不同场长地童与窑的取值如奴表降3虎所示。秃为谱强度五因子殿为材1酿时的谱面搁积，由计蝶算可得不佣同场地，题与悠的取值如逝表卖3柿所示。横表确3可辞不同场地格的地震动腐参数取值秃场地土类欢别翼/(c委m/s尘2胃)女峰值因子贝S哀0增/(c离m屠2绍/s映3捞)贿坚硬土场墨地铜196购(0.2众g)具3.0获54.1鼻4纷中等场地晃土答196姐(0.2戴g)槽3.1贞81.1雕5赤软土场地塌196碎(0.2临g)易3.2户145.枯98沉3砍瞎实例验证难为检验本帮文提出的辰地震动随迁机过程正废交展开方耽法的有效掩性，采用志数论选点餐方法员[绣10识,1公1润]炉进行了验滩证分析，际其中标准室高斯随机朴变量的界渴限值爆=特4闭，即桥(暖j投=1,耻2,货…抹,10斩)误，超立方学体空间选的点数目决=绞1307谊03站，超球体箩中的点数范=36胶0亡，同时还矿获得了超位球体点数死的对应赋傻得概率值迟。灭图母3伤与中图忙4扎分别冷为坚硬土糖场地和软怪土场地的来典型样本写函数及其置绝对加速电度反应谱猛，运图梢5蚕给出了软医土场地土肿的素36桌0执条样本集搁合的均值班，漂图矩6班给出了样沿本集合方答差与目标泳方差的比缓较。塘图纵3浩枪坚硬土场展地的典型表样本函数竹及其反应驱谱呜图接4允店软土场地品的典型样亏本函数及倦其反应谱道图跨5通饭软土场地耍的样本函呼数均值恨图穷6便软土场地值的样本方观差及其与绞目标方差肢的比较州从厚图示5位可以看出苏，样本均维值几乎处腐处等于目液标均轰值悠(番零均露值械)乎，在侧图译6竟中，样本叶方差在持百时内的分嫌布尽管与役目标方差望并非处处息相等，但辈在持时侵T刘s顷内，两者消总的相对暴误差仅为陆0.限5携%恰，这也验棉证了地震做动随机过割程贵的正交展酬开方法在啊能量上是极等效的。赛图暂7粉至险图延9脖给出了三歼类场地条撤件下的随桃机样本函偿数的样本远集合功率踢谱与目标略功率谱的瓦比较，可恼见，二者们是比较符徒合的；耐图交8朽至阁图务1博0伞给出了绝侮对加速度洒平均反应钱谱以及加卡减俊1跨倍标准差拍的结果，证同时将均凭值反应谱雾与近似目讽标反应谱台进行了比倡较。嫂根据地震江动功率谱抄与反应谱蝇的近似转军换关系，扮即六[1下2岸]抚:愁页晚容自(捡22)枣其中，稼为具有固胸有频率为乔、阻尼比核为累(物取京0.0盾5汗计乌算滨)答的地震动柜加速度近叹似反应谱席，管为单自由带度体系的酷固有周期熊；欠为地震动葵加速度功找率纠谱翼(价双边遍谱汉)旱，即嗽；姨为地震动皱持时，如训表音1集所示；笑为反应谱源的不超过泄概泽率争(搭本文驴取优0.5雕)养。一般地趣，由供式置(22溉)娇得到的结完果在大部哨分频率段叼与均值反视应谱接近伤，但在长伐周期部分恐存在一定炼误差络[13]魔。屋图俊7绢坚硬土场容地功率谱电密度函数创比较僚图辱8堆中等场地府土功率谱抚密度函数蒸比较怒图林9降软土场地帖功率谱密故度函数比快较排图耽10券坚硬土场讯地的地震膛动绝对加南速度反应遭谱比较窝图为11皮中等场地破土的地震颗动绝对加把速度反应莫谱比较腾图幅12枕软土场地恨的地震动培绝对加速插度反应谱鸣比较稿从私图禽1位0欣至款图泪1题2抚可清晰地午看出，正减交展开方玩法更为丰乖富地反映公了地震动茶随机过程纵的基本信疲息。晚4咱炸结伴蚁语滴饶磁本文提出式了地震动衰随机过程塞的正交展耀开方法，轻并对蕉以球Clou雹gh-P汉enzi膏en蓬功率谱为织基础的地图震动随机预过程进行舱了正交展荒开的实例袄分析与验西证。研究扬结果表明该，旅用播1啊0君个左右的旺独立随机顶变量，即垒可反映地炒震动随机殃过程的主留要概率特泳性。地震项动随机过吼程的正交钟展开结果渡将为实际逝工程结构有的随机地盗震反应分隔析及动力视可靠性研乖究提供合真理的基础驰。雄参考文字献摸:界[1]莲林家浩，储张亚扣辉优.蔬描随机振动安的虚拟激笨励灾法撤[漂M估]兰.羊北京：科多学出版社察，需2004柔.普[2]难李兵杰弦.敢扑随机结构容系昆统库—江—障分析与建盒模阔[潮M京]易.摆北京：科铃学出版社斜，柴1996总.刃[3]滑李珍杰讨,仆扯刘章参军存.殖堡基于标准叹正交基的纹随机过程温展开设法宾[J].凭固同济大学梦学报践(靠自然科学掏版志)锁,惯浸即将刊出猛，敲2006粥.薯[4]青Rodr昼igue勒zG.袋Ana宜lysi梳san鼠dsi城mula构tion挑of村wave点rec营ords塞thr就ough扰fas稳tHa零rtle间ytr创ansf眉orm半[J].橡Oce镰anE读ngin捷eeri烤ng,滩2003给,30梯:22单55-2锯273.悼[5]砍Zhan员g-乖J消un掠Liu异,Ji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