高等数学第3版(张卓奎)第二章习题选解-北京邮电大学出版社

习题选解（第二章）习题2－13．设，根据导数的定义求．解：4．用导数的定义证明．解：．5．已知（1）（3）存在，求下列极限；（2）；．解：（1）（2）．；（3）．6．求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：；；；；；．7．讨论下列函数在处的连续性和可导性．（1）；（2）．解：（1）因为，所以在处连续；又因为所以在处不可导．（2）因为，所以在处连续；又因为所以在处可导，且。8．设，试用导数的定义讨论在处的可导性．解：因为，即，在处的可导且．又，由于，所以在处不可导．9．如果为偶函数，且存在，用导数定义证明．证：因为为偶函数，故，又存在，于是令，有，所以，，即10．求曲线上点处的切线方程和法线方程．解：，故曲线上点处的切线方程为，即，法线方程为，即．11．设某产品生产个单位时的总收入为，求生产100个产品时的总收入、平均收入及当生产第100个产品时，总收入的变化率．解：生产100个产品时的总收入为平均收入为生产第100个产品时，总收入的变化率为．12．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于．证明：由，得设为曲线上任意一点，则过点的切线方程为又因为，令，得为切线在轴的截距；令，得为切线在轴的截距。所以切线与两坐标轴构成的三角形面积为习题2－21．求下列函数的导数（1）（3）；（2）；；（4）；（5）（7）；（6）（8）；；；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）（17）；（16）；（18）；；（19）（21）；（20）（22）；；．解：；；；；；；；；；；；；；；；；；；；，；；；2．设，求和.解：，，3．求曲线在横坐标处的法线方程．解：，当时，，所以所求法线方程为：即4．求曲线解：上的一点，使该点处的切线与轴平行．，令即解之得。把代入得，所以所求曲线上的点为。5．求曲线的平行于直线的法线方程．解：因为，把且直线代入的斜率为1，所以即解之得，得。故所求的法线方程为6．以初速度竖直上抛的物体，其上升高度与时间的关系是（1）该物体的速度（2）该物体达到最高点的时刻．，求：；解：，物体达到最高点时，即．习题2－31．求下列函数的导数（1）；（2）；（3）（5）；（4）；；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）（15）；（14）（16）；；；（17）（19）（21）；（18）（20）；；；；（22）；（23）；（24）．解：；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；，；；2．设（1）解：可导，求下列函数的导数；；（2）；解：；（3）；解：；（4）；解：；（5）解．．3．求曲线过点的切线方程和法线方程．解：，，故曲线过点的切线方程为或；法线方程或．4．设质点作直线运动，其运动规律为（为常数），求时质点的运动速度．解：，将代入，得习题2－41．求下列函数的二阶导数．（1）；解：，；（2）解：；，；（3）解：；，；（4）；解：，；（5）解：；，（6）；解：，（7）解：；，（8）；解：，；（9）；，解：；（10）解：；，；（11）；解：，；（12）．解：，．2．验证函数满足．证：，，所以，3．一质点作直线运动，其路程函数为，证明其加速度．证：而，所以，求。4．设解：．，，利用归纳法可得5．设，求，．解：，，…，．所以.6．设，求．解：，，，．，利用归纳法得7．设存在，求下列函数的二阶导数．（1）解：；，．（2）．解：，．习题2－51．求由下列方程所确定的隐函数（1）解：将方程两端对求导，得的导数：，，解得．（2），解：将方程两端对求导，得解得．（3），解：将方程两端对求导，得，解得．（4），解：将方程两端对求导，得，解得．（5），解：将方程两端对求导，得（6），解得．，．解：将方程两端对求导，得，解得2．证明：曲线上任一点的切线所截二坐标轴的截距之和等于．证：方程关于求导，有，解出，曲线在点处的切线方程为，它在轴的截距为，它在轴的截距为，切线所截二坐标轴的截距之和等于．3．求由下列方程所确定隐函数的二阶导数：（1）；解：将方程两端对求导，得，解得；．（2）．解：将方程两端对求导，得，解得；．4．用对数求导法求下列函数的导数（1）；解：对两边取对数，得，两边关于求导，得，所以，．（2）；解：对两边取对数，得，两边关于求导，得，所以．（3）解：对；两边取对数，得，两边关于求导，得，所以．（4）解：对；两边取对数，两边关于求导，得．5．求下列由参数方程所确定函数的导数（1）；解：．（2）；解：．6．求曲线在，处的切线方程．解：时，，，切线方程为，即7．求下列由参数方程所确定函数的二阶导数．（1）；解：，．（2），其中存在且不为零．解：，．8．注水入深上顶直径的正圆锥形容器中，其速率为，当水深为时，其表面上升的速率为多少？解：设开始注水后的时间为时，水深为，所以，，水面半径为，，则由题意知，，即上式两边关于求导，有时，其表面上升的速率．，当时，，即水深为习题2-61．已知，当时分别计算时的和．解：因为，，所以当时同理可计算和在点处增量为时的和．2．函数，对应的函数增量的主部为，求其在点处的导数．解：对应的函数增量的主部为，所以，4．求下列函数的微分．（7）;解：（8）解：，;，（9）;解：，（10）;解：（11）;解：，（12）．解：．6．求下列方程所确定的隐函数（1）的微分;解:方程两边对求导整理，得，故。（2）;解：方程两边对求导整理，得（3），故。;解：方程两边对求导，