全国初中中考数学二次函数的综合初中中考真题试卷汇总

全国初中中考数学二次函数的综合初中中考真题试卷汇总附答案全国初中中考数学二次函数的综合初中中考真题试卷汇总附答案/全国初中中考数学二次函数的综合初中中考真题试卷汇总附答案全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总附答案一、二次函数1．新春佳节，电子爆竹因其安全、无污染开始走俏．某商铺经销一种电子爆竹，已知这类电子爆竹的成本价为每盒80元，市场检查发现，该种电子爆竹每日的销售量y（盒）与销售单价x（元）有以下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这类电子爆竹每日的销售收益为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该种电子爆竹销售单价定为多少元时，每日的销售收益最大？最大收益是多少元？（3）该商铺销售这类电子爆竹要想每日获得2400元的销售收益，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=﹣2x2+480x﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每日销售收益最大，最大销售收益3200元（3）销售单价应定为100元【分析】【分析】（1）用每件的收益x80乘以销售量即可获得每日的销售收益，即wx80yx802x320，此后化为一般式即可；（2）把（1）中的分析式进行配方获得极点式w2x12023200，此后依据二次函数的最值问题求解；（3）求w2400所对应的自变量的值，即解方程2x120232002400．此后查验即可.【详解】（1）wx80yx802x320，2x2480x25600，w与x的函数关系式为：w2x2480x25600；（2）w2x2480x2560023200，2x120Q20，80x160，∴当x120时，w有最大值．w最大值为3200．答：销售单价定为120元时，每日销售收益最大，最大销售收益3200元．（3）当w2400时，2x120232002400．解得：x1100，x2140．∵想卖得快，x2140不吻合题意，应舍去．答：销售单价应定为100元．12．如图，抛物线y＝2

x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的分析式及极点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线的分析式为y＝1x2-3x﹣2，极点D的坐标为（3，﹣25）；2228（2）△ABC是直角三角形，证明看法析；（3）点M的坐标为（3，﹣5）．24【分析】【分析】（1）因为点A在抛物线上，因此将点A代入函数分析式即可求得答案；（2）由函数分析式能够求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）依据抛物线的性质可得点A与点B对于对称轴x3B，C的坐标，根对称，求出点2据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线x3交点即为M点，利用获得系数法求出直线BC的分析式，即可获得点M的坐标．2【详解】（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y12bx﹣212）﹣2＝0，x上，∴（1）b×（﹣122解得：b3，∴抛物线的分析式为y1x23x﹣2．222y1x23113225，∴极点D的坐标为2x﹣2（x2﹣3x﹣4）（x2）82223，25）．282）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．当y＝0时，1x23x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB225．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）∵极点D的坐标为（3，25），∴抛物线的对称轴为x3．2821∵抛物线y2

x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B对于对称轴x3对称．2∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y1x23x﹣2＝﹣2，则点C22的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x3交点即为M点，如图，依据轴对称性，可得：2MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．b2设直线BC的分析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，4kb011解得：k，∴y2﹣．b22当x3时，y1325，∴点M的坐标为（3，5）．222424【点睛】本题察看了待定系数法求二次函数分析式、一次函数的分析式、直角三角形的性质及判断、轴对称性质，解决本题的重点是利用待定系数法求函数的分析式．3．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．1）求抛物线的表达式；2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上能否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明原因．（3）如图2，连结BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S对于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，原因看法析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为92，此时点P的坐8标为（

3，15）．2

4【分析】【分析】（

1）由点

A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连结

PC，交抛物线对称轴

l于点

E，由点

A、B的坐标可得出对称轴

l为直线

x=1，分t=2

和

t≠2两种状况考虑：当

t=2

时，由抛物线的对称性可得出此时存在点

M，使得四边形CDPM是平行四边形，再依据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线相互均分联合CE≠PE可得出此时不存在吻合题意的点

M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的分析式，依据点P的坐标可得出点F的坐标，从而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S对于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，1bc0b2得93bc0，解得：，c3∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连结PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P对于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=x2﹣+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，原因以下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的分析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，3mn0m1得3，解得：，nn3∴直线BC的分析式为y=﹣x+3，2∵点P的坐标为（t，﹣t+2t+3），PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，S=1PF?OB=﹣3t2+9t=﹣3（t﹣3）2+27；222228②∵﹣3＜0，2∴当t=3时，S取最大值，最大值为27．28∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=OB2OC232，∴P点到直线BC的距离的最大值为27292，8328此时点P的坐标为（3，15）．4【点睛】本题察看了待定系数法求一次（二次）函数分析式、平行四边形的判断与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特色以及二次函数的性质，解题的重点是：（

1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（

2）分

t=2

和t≠2两种状况考虑；（

3）①利用三角形的面积公式找出

S对于

t的函数表达式；②利用二次函数的性质联合面积法求出

P点到直线

BC的距离的最大值．4．如图，抛物线y1x22x2与x轴订交于A，B两点，（点A在B点左边）与22y轴交于点C.（Ⅰ）求A，B两点坐标.（Ⅱ）连结AC，若点P在第一象限的抛物线上，P的横坐标为t，四边形ABPC的面积为S.试用含t的式子表示S，并求t为什么值时，S最大.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点G,H分别为抛物线及其对称轴上的点，点G的横坐标为m，点H的纵坐标为n，且使得以A,G,H,P四点组成的四边形为平行四边形，求知足条件的m,n的值.【答案】（Ⅰ）A(2,0),B(22,0)；（Ⅱ）S2(t2)242(0t22),2当t2时，S最大42；（Ⅲ）知足条件的点m、n的值为：m2,n3，或24m52,n15，或m32,n12424【分析】【分析】（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；（Ⅱ）设出点P的坐标，利用△梯形OCPQ△S=SAOC+S+SPQB，即可得出结论；（Ⅲ）分三种状况，利用平行四边形的性质对角线相互均分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论．【详解】解：（Ⅰ）抛物线y1x22x2，22令y0，则1x22x20，22解得：x2或x22，∴A2,0,B22,0（Ⅱ）由抛物线y1x22x2，令x0，∴y2，∴C0,2，22如图1，点P作PQx轴于Q，∵P的横坐标为t，∴设Pt,p，∴p1t22t2,PQp，BQ22t,OQt22∴SSVAOCS梯形OCPQSVPQB12212pt122tp2222t1pt2p1pt2pt22221t22t2t2222t222(0t22)，42∴当t2时，S最大42；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，t2，P2,2，∵抛物线y1x22x2的对称轴为x2，222∴设Gm,1m22m2,H2,n222以A,G,H,P四点组成的四边形为平行四边形，A2,0，①当AP和HG为对角线时，∴1221m2,12011m22m2n，2222222∴m2,n3，24②当AG和PH是对角线时，∴1m2122,11m22m201n2，2222222∴m52,n15，24③AH和PG为对角线时，∴1221m2,11m22m221n0，2222222∴m32,n1，24即：知足条件的点m、n的值为：m2,n3，或m52,n15，或m32,n1242424【点睛】本题是二次函数综合题，主要察看了坐标轴上点的特色，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的重点．5．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B对于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．1）求抛物线的表达式；2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，能否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明原因；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为极点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；5（4）或5．2【分析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特色即可求；（4）分状况进行谈论，确立点M、N，此后三角形的面积公式即可求.16a4b0试题分析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得3，解aba1得，b4∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B对于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC1×2×3＝．＝23）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12－4m）＝11）×（m－1）×（3＋m2×3×3＋×（3＋m－1）（m2－4m22整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）5或5．2提示：①当以M为直角极点，则S△CMN＝5；2②当以N为直角极点，S△CMN＝5；③当以C为直角极点时，此种状况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要察对待定系数法求分析式，三角形面积、直角三角形的判断等，能正确地依据题意确立图形，分状况进行谈论是解题的重点.1A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx6．如图，直线y＝-x-3与x轴，y轴分别交于点2﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连结AD，DC．设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的分析式；(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；(3)连结BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．【答案】(1)y＝12△ADC=3227；△ADC的面积最大值为27；此时4x+x﹣3；(2)S﹣4(m+3)+44D(﹣3，﹣15)；(3)知足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).4【分析】【分析】（1）求出A坐标，再用待定系数法求分析式；（2）设DE与AC的交点为点F设.点D的坐标为：(m，12+m﹣3)，则点1△ADC△ADF△DFC求42出分析式，再求最值；（3）①当点D与点C对于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，依据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D(﹣4，﹣3)对于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的分析式为y＝3x+9，解方程2组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在y＝﹣1x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，2即点A的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：36a6b30，4a2b30a14，解得：b1∴抛物线的分析式为：y＝1x2+x﹣3；41m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣1(2)设点D的坐标为：(m，m﹣3)，42设DE与AC的交点为点F.DF＝﹣1m﹣3﹣(1m2+m﹣3)＝﹣1m2﹣3m，2442∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC11DF?AE+?DF?OE21DF?OA2＝1×(﹣1m2﹣3m)×6242＝﹣3m2﹣9m42＝﹣3(m+3)2+27，443∵a＝﹣＜0，4∴抛物线张口向下，27∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值，又∵当m＝﹣3时，

14

215m+m﹣3＝﹣，∴存在点D(﹣3，﹣15)，使得△ADC的面积最大，最大值为27；44①当点D与点C对于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，依据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D(﹣4，﹣3)对于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的分析式为y＝3x+9，2y3x9x6x8由2，解得1x2或，yx3y0y214此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，知足条件，综上所述，知足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，察看了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的重点是学会建立二次函数解决最值问题，学会建立一次函数解决实指责题，属于中考压轴题．.7．已知抛物线yx2(5m)x6m.（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；（3）设抛物线yx2(5m)x6m与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点对于直线yx的对称点恰巧是点M，求m的值.【答案】（1）证明看法析；（2）1?<?m?3；（3）或5m6m【分析】【分析】（1）本题需先依据鉴别式解出不论m为任何实数都不小于零，再判断出物线与x轴总有交点．（2）依据公式法解方程，利用已有的条件，就能确立出m的取值范围，即可获得结果．（3）依据抛物线y=-x2+（5-m）x+6-m，求出与y轴的交点M的坐标，再确立抛物线与x轴的两个交点对于直线y=-x的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵b24ac5246mm20m7∴抛物线与x轴总有交点.（2）解：由（1）m72，依据求根公式可知，m5（m2方程的两根为：x7）2即x11，x2m6由题意，有3<-m6<51<?m3(3)解：令x=0，y=m6∴M（0，m6）由（2）可知抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（m6，0），它们对于直线yx的对称点分别为（0，1）和（0，m6），由题意，可得：m61或m6m6m5或m6【点睛】本题察看对抛物线与x轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的鉴别式，对称等，解题重点是娴熟理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42．【分析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线分析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式获得BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，此后谈论：当BD为斜边时获得18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD为斜边时获得4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可获得对应D的坐标；3）先证明∠CEF=90°△ECFPH⊥yHPG∥y轴交BC于（获得为等腰直角三角形，作轴于，G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE=2PG，PF=2PH，设P（t，t22﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t2+42t，此后利用二次函数的性质解决问题．试题分析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x293bc0，解+bx+c得：c3b4得：，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；c3（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣4=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，23），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直22222角边，BD为斜边的直角三角形时，BC+DC=BD，即18+4+（y﹣3）=1+y，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC的分析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=2PG，PF=2PH，设P2t，t2﹣4t+31t3Gt，﹣t+3），∴PF=2（）（＜＜），则（2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=2PG=﹣2t2+32t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣2222t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为2．点睛：本题察看了二次函数的综合题．娴熟掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特色和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数分析式；理解坐标与图形性质，记着两点间的距离公式．9．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

A、B两点，点

P是（1）如图

1，设抛物线极点为

M，且

M

的坐标是（

1

，

9

），对称轴交

AB于点

N．22①求抛物线的分析式；②能否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明原因；（2）能否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点标；若不存在，请说明原因．

D的坐【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【分析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特色求得点B的坐标，设抛物线分析式为y＝2ax19，把点B的坐标代入求得a的值即可；2不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），依据题意知PD∥MN，因此当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，依据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝3，经过解方程求得m的值，易得点N、P的坐2标，此后推知PN＝MN能否成立刻可；2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．依据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．依据三角形的面积公式获得函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵极点M的坐标是1,9，222∴设抛物线分析式为y＝ax19（a≠0）．22∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，2∴a019＝4，22解得a＝﹣2．29＝﹣2x2+2x+4；故该抛物线的分析式为：y＝2x122②不存在．原因以下：21，且该直线与直线∵抛物线y＝2x19的对称轴是直线x＝AB交于点N，222∴点N的坐标是1,3．2∴MN933．22设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝3．2解得m1＝1（舍去），m2＝3．22此时P（3，1）．2∵PN＝5，∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，原因以下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△△△11×4×2＝4．BOA+SABD．此中SBOA＝OB?OA＝22则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．△ABD1（yS＝2D﹣yP）（xA﹣xB）yD﹣yP＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD获得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要察看了二次函数的分析式的求法和与几何图形联合的综合能力的培育．要会利用数形联合的思想把代数和几何图形联合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣122x+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，5），极点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺2时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．1）求这条抛物线的表达式；2）求线段CD的长；3）将抛物线平移，使其极点C移到原点O的地点，这时点P落在点E的地点，假如点M在y轴上，且以O、D、E、M为极点的四边形面积为8，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线分析式为y=﹣1x2+2x+5；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐22标为（0，7）或（0，﹣7）．22【分析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线分析式；（2）利用配方法获得y=﹣1（x﹣2）2+9，则依据二次函数的性质获得C点坐标和抛物22线的对称轴为直线9∠PDC=90°，x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），依据旋转性质得2DP=DC=t，则P（2+t，9﹣t），此后把P（2+t，9﹣t）代入y=﹣1x2+2x+5获得对于t2222的方程，从而解方程可获得CD的长；（3）P点坐标为（4，9），D点坐标为（2，5），利用抛物线的平移规律确立E点坐标22为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式获得15+2）?2=82?（m+2当m＜0时，利用梯形面积公式获得15）?2=8，此后分别解方程求出m即可?（﹣m++222获得对应的M点坐标．【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，5）代入y=﹣1x2+bx+c得221c0b2b2，解得5，5cc22∴抛物线分析式为125；y=﹣x+2x+22）∵y=﹣1（x﹣2）2+9，22∴C（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，2如图，设CD=t，则D（2，9﹣t），2∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转

90°，点

C落在抛物线上的点

P处，∴∠PDC=90，°DP=DC=t，9∴P（2+t，﹣t），2把P（2+t，9﹣t）代入y=﹣1x2+2x+5得﹣1（2+t）2+2（2+t）+5=9﹣t，222222整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，9），D点坐标为（2，5），22∵抛物线平移，使其极点C（2，9）移到原点O的地点，2∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9个单位，29）向左平移9个单位获得点E，而P点（4，2个单位，向下平移22∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，1?（m+5+2）?2=8，解得m=7，此时M点坐标为（0，7）；2222当m＜0时，1?（﹣m+5+2）?2=8，解得m=﹣7，此时M点坐标为（0，﹣7）；2222综上所述，M点的坐标为（0，7）或（0，﹣7）．22【点睛】本题察看了二次函数的综合题，波及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确增添协助线、运用数形联合思想娴熟有关知识是解题的重点.11．阅读：我们商定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角均分线的直线，叫该点的

“特色线”．比方，点

M（1，3）的特色线有：

x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与研究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线y1(xm)2n经过B、C两点，极点D在正方形内部．41）直接写出点D（m，n）全部的特色线；2）若点D有一条特色线是y=x+1，求此抛物线的分析式；（3）点P是AB边上除点A外的随意一点，连结OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的地点，当点A′在平行于坐标轴的D点的特色线上时，知足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其极点落在OP上？【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）y1(x2)23；（3）抛物4线向下平移923或23距离，其极点落在OP上．312【分析】试题分析：（1）依据特色线直接求出点D的特色线；（2）由点D的一条特色线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线分析式；（2）分平行于x轴和y轴两种状况，由折叠的性质计算即可．试题分析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特色线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特色线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线分析式为y1(xm)2n，∴y1(xm)2m1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方44形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴y1(2mm)2n2m，将n=m+1带4入获得m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线分析式为y1(x2)23．4（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特色线时：依据意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN=OM23，∴抛物需要向下平移的距离=323=923．=3333②如，当点A′在平行于x的D点的特色，A′（p，3），OA′=OA=4，OE=3，EA′=4232=7，∴A′F=47，P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（47）2+（3c）2=c2，∴c=1647，∴P（4，1647），∴直OP分析式33y=47x，∴N（2，827），∴抛物需要向下平移的距离=333827=127．33上所述：抛物向下平移923或127距离，其点落在OP上．33点睛：此是二次函数合，主要考了折叠的性，正方形的性，解答本的关是用正方形的性求出点D的坐．12．我知道，原点的抛物分析式能够是y=ax2bxa0。（1）于的抛物：当点坐（1，1），a=；当点坐（m，m），m≠0，a与m之的关系式是；（2）研究，假如b≠0，且原点的抛物点在直y=kxk0上，用含k的代数式表示b；（3）有一原点的抛物，点A12ny=x上，横坐挨次1，，A，⋯，A在直2，⋯，n（n正整数，且n≤12），分每个点作x的垂，垂足B1，B2，B3，⋯，Bn，以段AnBn向右作正方形AnBnCnDn，若抛物中有一条点Dn，求全部足条件的正方形。【答案】（1）－1；a=1（2）b2=kb（3）3，6，9m4a2a【分析】1。解：（1）－1；a=m（2）∵原点的抛物点b，b2在直y=kxk0上，2a4a∴b2=kb。4a2a∵b≠0，∴b=2k。y=x上，横坐挨次（3）由（2）知，点在直1，2，⋯，n（n正整数，且n≤121xn21x22x。）的抛物：y=nn，即y=n于点在在直y=x上的一点Am（m，m）（m正整数，且m≤n），依意，作的正方形Ammmmm坐（2m，m），BCDm，点D若点Dm在某一抛物y=1x22x上，nm=1222m，化，得m=3n。2mn4∵m，n正整数，且m≤n≤，12∴n=4，8，12，m=3，6，9。∴全部足条件的正方形3，6，9。b=12a（1）当点坐（1，1），由抛物点坐公式，有{，即24ab=12aa=1。{b2=14ab=m21当点坐（m，m），m≠0，{2a2ama=2=m。b=m4am4a（2）依据点在直上，点的坐足方程的关系，将抛物点坐b，b2代入2a4ay=kx，化简即可用含k的代数式表示b。因为抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立分析式后获得的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。（3）将依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2m，m），将（2m，m）代入抛物线y=1x22x求出m，n的关系，即可求解。n13．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣1x﹣1交于点C．21）求抛物线分析式及对称轴；2）在抛物线的对称轴上能否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明原因；（3）点M为y轴右边抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：能否存在这样的点N，使以点M、N、C为极点的三角形与△AOC相像，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明原因．【答案】（

1）抛物线分析式为：

y=1x2

1x1，抛物线对称轴为直线

x=1；（2）存在

P8

4点坐标为（1，﹣1）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）2【分析】分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转变为PC+PO最小即可；（3）利用相像三角形对应点进行分类谈论，结构图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线分析式即可．详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得0＝4a2b10＝16a4b1a＝1解得81b＝4∴抛物线分析式为：y=1218x-x-14b1∴抛物线对称轴为直线x=-4＝12a128（2）存在使四边形ACPO的周长最小，只要PC+PO最小∴取点C（0，-1）对于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．设过点C′、O直线分析式为：y=kx1∴k=-21y=-x2则P点坐标为（1，-1）23）当△AOC∽△MNC时，如图，延伸MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相像，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D对于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，-1a-1）2由△EDN∽△OACED=2a5∴点D坐标为（0，-a-1）2∵N为DM中点3∴点M坐标为（2a，a-1）2把M代入y=1x2-1x-1，解得84a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C对于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N（2，-1）∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）点睛：本题为代数几何综合题，察看了待定系数、两点之间线段最短的数学模型结构、三角形相像．解答时，应用了数形联合和分类谈论的数学思想．14．如图甲，直线

y=﹣x+3与

x轴、y

轴分别交于点

B、点

C，经过

B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，极点为P．（1）求该抛物线的分析式；（2）在该抛物线的对称轴上能否存在点M，使以C，P，M为极点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所吻合条件的点M的坐标；若不存在，请说明原因；3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供绘图探究）．【答案】（1）y=x