必修5解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形一.正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即abcR（其中R是三角形外接圆的半径）sinAsinB22.变形：sinC1）化边为角：；asinA;bsinB;asinA;bsinBcsinCcsinC2）化边为角：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC3）化角为边：sinAa;sinBb;sinAa;sinBbsinCcsinCc4）化角为边：sinAa,sinBbc,sinC2R2R2R利用正弦定理能够解决以下两类三角形的问题：①已知两个角及随意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，解法：由A+B+C=180，求角A,由正弦定理asinA;bsinB;obsinBcsinCasinA;求出b与ccsinC②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理asinAo求出角C，再使用正bsinB求出角B,由A+B+C=180弦定理asinA求出c边sinC.三角形面积1.SABC1absinC1bcsinA1acsinB2222.SABC1(abc)r,其中r是三角形内切圆半径.23.SABCp(pa)(pb)(pc),其中p1(abc),abc,R为外接圆半径24.SABC4R5.SABC2R2sinAsinBsinC,R为外接圆半径三.余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b2视线2abcosC2.变形：cosAb2c2a铅2仰角2bc直a2c2b2线水平线cosB2ac俯角a2b2c2cosC2ab注意整体代入，如：a2c2b2视线accosB123．利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若，，所以为锐角②若c2b2a2A为直角③若，所以为钝角，则是钝角三角形利用余弦定理能够解决以下两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，尔后利用A+B+C=π，求另一角．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+Cπ求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C．方向角一般是指以观察者的地址为中心，将正北或正南方向作为初步方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），平常表完成.正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.俯角和仰角的见解：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.五、三角形中常有的结论1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2）三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，；两边之差小于第三边：，，；3）在同一个三角形中大边对大角：ABabsinAsinB三角形内的引诱公式：sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,ABCsin(C)cos(C)tan()222tan22CC2cos()sin()2225)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.tanα±tanβ(3)tan(α±β)＝1?tanαtanβ.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)sin21cos2;cos21cos2222tanα(4)tan2α＝1－tan2α.三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高订交于一点重心——三角形三条中线的订交于一点外心——三角形三边垂直均分线订交于一点内心——三角形三内角的均分线订交于一点旁心——三角形的一条内角均分线与其他两个角的外角均分线交于一点一、选择题1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()．A．10kmB．103kmC．105kmD．107km2．三角形三边长为a，b，c，且知足关系式(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则c边的对角等于()．A．15°B．45°C．60°D．120°3．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶3∶，则sinA∶sinB∶sinC＝()．2A．3∶2∶1B．2∶3∶1C．1∶2∶3D．1∶3∶24．在△ABC中，a＝23，b＝22，∠B＝45°，则∠A为()．A．30°或150°B．60°C．60°或120°D．30°5．在△ABC中，AB＝，BC＝13，AC＝，则边AC上的高为()．34A．32B．33C．3D．332226．依照以下条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判断正确的选项是()．A．①只有一解，②也只有一解．B．①有两解，②也有两解．C．①有两解，②只有一解．D．①只有一解，②有两解．二、填空题7．在△ABC中，a，b分别是∠A和∠B所对的边，若a＝3，b＝1，∠B＝30°，则∠A的值是．13．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．14．△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且知足sinA∶sinB∶sinC＝2∶5∶6．若△ABC的面积为339，则△ABC的周长为________________．4三、解答题1．在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a＝4＝3b，3解此三角形．必修5《第一章解三角形》加强练习一、选择题1．在△ABC中，若角B为钝角，则sinBsinA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能够确定2．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为()A．9B．18C．9D．184．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）A．300或600B．450或600C．1200或600D．300或15005．在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:16．在△ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能够确定D．等腰三角形7.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A.米B.米C.200米D.200米8.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()海里海里C.56海里3海里二、填空题9．在△ABC中，若b2,B300,C1350,则a_________10．在△ABC中，若sinA2cosBcosC,则tanBtanC_________11．在△ABC中，若a9,b10,c12,则△ABC的形状是_________12．在