专题04数列与不等式2016年高考题和模拟题理科数学分项汇编教师版纸间书屋

第一部分20161.【2016高考新课标1卷】已知等差数列an9项的和为27,a108,则a100 【答案】试题分析：由已知9a136d27

a99d19998故选

9d

【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本,而这两组可看作多元方程,利用2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}A

,A

,nN*，B

,B

,nN*n

n

（PQ表示点P与Q不重合）.若dnAnBn，Sn为△AnBnBn1的面积，则 A．{S}是等差数 B．{S2}是等差数 2nC．{dn}是等差数 D．{d}是等差数n【答案】SA到对面直线的距离（h）B

1hB

n

2

nA1Anhnh1AnAn1tan，其中

1(hA

， 1(hA

tan)B

1

n

1

n

1(A

tan)B

S

n

【思路点睛】先求出nnn1的高，再求出nnn1和n1n1n2的面积SnSn1，进而根据Sn1Sn为定值，即可得Sn是等差数列．3.【2016年高考理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发投入.若该公司2015年全年投入研130万元，在此基础上，每年投入的研发比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发开始200万元的年份是()（参考数据：lg1.12≈0.05，lg（A）2018年（B）2019 （C）2020年（D）2021【答案】解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项写出通项，列出不等式或方程就可解4.【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则 【答案】 a1a24a22a11a11a23an12Sn1an2Sn11(n2)an1an2anan13an(n2)a23a11an13an(n1),S513考点：1、等比数列的定义；2nan12Sn1an13an的过程中，一定要检验当n1时是否满足an13an，否则

2016年高 理数已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50

S6= 【答案】试题分析：∵{an}a3a52a40a40a4a13d6d2S66a115d6615(2)6，故填：6．1dnanSn差数列的通项前n项和列出关于基本量的方程组)来求余下的两个量计算时须注意整体代换方程思想的应用.6.【2016高考新课标1卷】设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值 【答案】【名师点睛】高数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应

2016高考江苏卷已知{a}是等差数列，{S}是其前n项和.若aa23,S=10则a的值 S10a222d2d)23d3a236 及等差数列广义通项【2016考新课标2理数】Sn为等差数列an的前n项和，且a1表示不超过x的最大整数，如

记

，其中x（Ⅰ）求 （Ⅱ）求数列bn的前1000项和（Ⅱ）1893.（Ⅱ）因为所以数列{b的前00项和为考点：等差数列的的性质，前n项和，对数的运算【2016（12已知数列an项和Sn=3n2+8n，b是等差数列，且

b 求数列bn的通

(an令n

求数列c的前n项和(bn n（Ⅰ）bn3n1（Ⅱ）T3n2n2n试题分析（Ⅰ）根据anSnSn1及等差数列的通项 求解（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列cn的通项公式，再用错位相减法求其前n项和.（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn

(6n6)n1(3n3)n

3(n1)

n1又Tnc1c2c3cn 得Tn3[223242(n1) ] 2Tn3[223242(n1) ]

3[22223242n1(n1)2n2 4(2n

n3[4 (n1) 2n所以T3n2n2n 记U12,…，100.对数列anN*和U的子集T，若T,定义S0 Tt1t2…，tk，定义ST

anN*是公比为3的等比数列，且当T=24时S=30 求数列an的通 对任意正整数k1k100，若T12,…，k，求证ST设CUDUSCSDSCSCD2SDn（1）a3n1（2）详见解析（3）n（1）Sa

13 3k1，再利用等比数列求 得S1(3k1)3k（3）利用等比

列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设ACC D),BCD D),则

SCSDSASB，因此 B中最大在A中，由（2）SA2SBSCSCD2(SDSCDSCSCD2SD（2）为（3）晰其含义D是CSCSCDSCSDSDSD2SD②若CDSCSCDSCSC2SC2SDD不是C的子集，且CD的子集令E CUD，F FSCSESCDSDSFSCDSCSDSESFkElFk1l1kl由（2）知，S ，于是3l1a

S 3k，所以l1k，即lk kkl，故lk1，al13 al13 l13l2

kak1SE1 SE2SF1SCSCD2(SDSCD1，SCSCD2SD1.SCSCD2SD考点：等比数列的通项、求 理数】已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN,bn是anan1的等差中项(Ⅰ)设

b2nN*，求证c是等差数列

a1d,Tn

bn,n

，求证

2d21k1

k1（I）

，有c

b2

a

n

n

c2da 2d2

b2b2b2b2

b2n 2daa a2dna2a2nn n

1

1 所以

2d2kk12d2kk12d21n12d2k1

k

k1 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n通项为

【2016考新课标3理数】已知数列{an}的前n项和Sn1an，其中0证明{an}是等比数列，并求其通项S

，求 【答案（Ⅰ）a

()n1；（Ⅱ）1

（Ⅰ

S

n n

，得到数列{an}的递推，然后通过变换结合等 数列的定义可证（Ⅱ）利用（Ⅰ）前n项和Sn化为的表达式，结合S5的值，建立方程可求得的值（Ⅰ）aS1a，故1a

，

0

1

0，0

0an1

.因此{a}

a

(

)n15 15

（Ⅱ）由（Ⅰ）解得1

1

)n，由

31得1

)531，即

)51 考点：1、数列通项an与前n项和为Sn关系；2、等比数列的定义与通项及前n项和为Sn（1）（2）

2【2016高考浙江理数】设数列a2

1，n

2n1

12，n1

32 2

na2nn（II）n2（I）2

1an

1212

12n

1，n

22

23

2n 1

1na2n1a21n（II）n，由（I）mn

2n1

m 1

1故a1 2m 13m

2m2342 4

2nmn3 a2 2n 4由m的任意性得an2

2 2n

2，取正整数

mn03

3

log

aan0

42m0 2n0 4 4与①式

2n0nnna2n（I）11

3

1

2n1

2（II）由（I）的结论及已知条件可得

2 2nm4an2【2016年高考理数（本小题13分A

，

,…

N).n2nN)k

＜

nA的一个“G时刻”.记GAA的所有“G时刻”组成的集合（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G(A)的所有元素Aanana1，则GAAan

≤1（n=2,3,…,N）,则GA)的元素个数不小于

【答案（1）GA)的元素为2和5（2）详见解析（3）详见解析试题分析（1）关键是理解G时刻的定义，根据定义即可写出G(A)的所有元素要证GA)，即证GA)中含有一元素即可当aNa1时，结论成立.aNa1时仍然成立即可（3）当aNa1时，结论成立aNa1由（Ⅱ）知GA设GAnn,nnnn

nn则 nn

n2n

anpn对i0,1,p，记

kN,

anii如果GimiminGi，则对任何1kmiakaniamiimiGAmini1又因为np是GA中的最大元素，所以GpnpknakanpaNanp对i0,1,p1ani11aniani1ani11ani1ani11ani1.ppaNa1anpa1(aniani1p考点：数列、对新定义的理解想(如：求通项)、分类讨论思想(如：等比数列求和，q1或q1)等.【2016年高考理数（本小题满分12分已知数列

为数列{an}nSn1qSn

q>0nN*若2a2,a3,a22成等差数列，求{an}的通

ya22na22

的离心率为

，且e

e1e2en

4n3n n（Ⅱ）n（Ⅰ）Sn1=qSn1Sn2=qSn11,an2=qan1n?1S2=qS1+1a2=qa1an+1=qann

1都成立n所以，数列{an1q的等比数列.a=qn-1n2a，a，a+22a=3a+2，即2q23q+2，则(2q+1)(q-2)=0 由已知q>0，故q=2na=2n1(n?N*n1+an1+q2(n-1+an1+q2(n-nx2

a2=1an

en q

=5q=41+ 1+1+q2(k-因为1+q2(k-1)>q1+q2(k-

>qk-1k?于是e1+e2

qn-1

qn-，q-4n-故e1+e2+

e3

3n-考点：数列的通项、双曲线的离心率、等比数列的求和公式代换n（n2然后两式相减，可得an的递推式，利用这种方法解题时要注意a1；在第（Ⅱ）问中，不 理数】无穷数列a由k个不同的数组成，S为a的前n项和.若对任意nN Sn2,3，则k的最大值 【答案】要满足Sn2,3，说明Sn的最大值为3，最小值为2.所以涉及最多的项的数列可以为2,11000,，考点：数列求和.【名师点睛】从分析条件入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列an由k个不同的数【2016高 理数】已知无穷等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且limSnS.下列条nn中，使得2SSnN恒成立的是 n（A）a10,0.6q（C）a10,0.7q

（B）a10,0.7q（D）a10,0.8q【答案】【2016高考理数（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分 若无穷数列{a}满足：只要aa(p,qN*)，必有 （1）若{an}P，且a11a22a43a52a6a7a821，求a3若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}b1c51b5c181anbncn判断{an}P设{b}是无穷数列，已知 bsina(nN*).求证对任意a,{a}都具有性质P”的充n条件为“{bn}是常数列

【答案（1）a316．（2）an不具有性质（3）见解析（1）根据b的公差为20，c的公比为1，写出通 ，从而可得

b

20n1935n

aa82a48a304

a，即知a不具有性质

（1）因为a5a2a6a3a7a43a8a52a6a7a8a332a6a7a821a316（2）b的公差为20，c的公比为1 1所以

120n120n19，

81 35n3abc20n1935n aa82a48a304

a

所以an不具有性质当bn为常数列时an1b1sinana1apaq，则由b1sinapb1sinaqap1aq1．n用反证法证明．假设b不是常数列，则存在k，使得b1b2bkb，而bk1b．nan1bnsinan的ana1a2ak1ak2ak1．fxxsinxbmmb，则fmmb0fmmb0，故存在cfc0．a1can1bsinan（1nka2bsincca1，a1a2ak1c．但ak2bk1sinak1bk1sincbsinc，即ak2ak1．所以an不具有性质， 综上对a1an都具有性质”的充要条件为“bn是常数列考点：1.等差数列、等比数列的通项；2.充要条件的证明；3.反证法子的变形能力不足，导致错漏..本题能较好的考查考生的逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析【2016高考新课标1卷】若ab0c1,则 ac

abc

alogbcbloga

logaclogb【答案】x2xy 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则 x3y422

2【答案】2试题分析：如图PQRxy20RQABRQPQ，由x3y40得Q(1,1，由x

R(22)ABQR

xy(1(12)2(12

xy的值．画不等式组所表示的平面2xy【2016年高 理数】若x，y满足xy3，则2xy的最大值为 x 【答案】考点：线性规划【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画z的大小变化，得到最优解.【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（ A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100【答案】

yx【2016年高 理数】设p：实数x，y满足(x1)2(y1)22，q：实数x，y满足y1x,yp是q的 必要不充分条 （B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条【答案】试题分析：画出可行域（如图所示q中不等式组表示的平面区域ABCp中不等式表A.xy1【2016高考新课标3理数若x,y满足约束条件x2y 则zxy的最大值 x2y232ìïx+y?ï【2016x，y满足ïí2x-3y

9x2+

y2的最大值是 【答案】A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域x2y2表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为OC210,C.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从高考题目看，简单线性规划问xy2【2016高 理数设变量xy满足约束条件2x3y60,则目标函数z2x5y的最小值 3x2y9

【答案】ABCA(02B(30),C(1,3，直线z2x5yB时取6B.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 【答案】ABxy件,z元,z2100x900y

x0.3y„5x3y„ 3xy?10x3y„5x3y„ 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域z2100x900y变形,y7x

,y7x,y7x

M时,取得最大值

10x3y900,M的坐标(60,100)5x3y所以当x60,y100时,zmax210060900100216000故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算.x2y4【2016xy满足2xy23xy3

，则x2y2的取值范围 4[525【解析】由图知原点到直线2xy20距离平方为x2y2最小值，为 )24，原点到点(2,3)距离255[x2y2最大值，为13x2y2取值范围为[5【2016高考理数】设xR,则不等式x31的解集 【答案】