雨中行走问题(数学问题解决)

.科目：数学问题解决大纲：雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅有一公里，况且事情紧急，你严禁备花时间翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设方才出发雨就大了，但你也不打算再回去了。一路上，你将被大雨淋湿。一个忧如很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以.减少雨淋的时间。但是若是考虑到降雨方向的变化，在全部距离上全力地快跑不用然是最好的策略。经过建立数学模型来商议如何在雨中行走才能减少淋雨的程度，分别从雨与人的方向以及可否在同一平面等状况找出如何在雨中行走才能淋雨最少。一．问题的提出对于雨中行走这个实质的问题，它的背景是简单的，无人不知无需进一步谈论。我们的问题是：要在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低。显然它能够按确定性模型办理。解析参加这一问题的因素，主要有：①降雨的大小；②风（降雨）的方向；③行程的远近与你跑的快慢。二、模型假设1、降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）保持不变；2、你以定常的速度跑完好程；3、风速向来保持不变；4、把人体看作一个长方体的物体；三、模型的建立与求解1、不考虑降雨的角度的影响即在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水。参数与变量：d:雨中行走的距离；t:雨中行走的时间；v:雨中行走的速度；a:你的身高；b:你的宽度;c:你的厚度；q:你身上被淋的雨水的总量；w:降水强度（降雨的大小，即单位时间平面上降下雨水的厚度，厘米/时）行走距离d，身体尺寸不变，从而身体被雨淋的面积s2ba2cabc是不变的，能够为是问题的参数。雨中行走的速度v，从而在雨中行走的时间td/v及降雨强度的大小在问题中是能够调治、解析的，是问题中的变量。考虑到各参数取值单位的一致性，可得在整个雨中行走时期整个身体被淋的雨水的总量是：2qt(w/3600)S0.01(米3)d/v(w/3600)S10(升)模型中的参数能够经过察看和平常的检查资料获取。模型中的参数能够经过察看和平常的检查资料获取。2w=2厘米/小时,v是设d=1000米,h=1.5米,b=0.5米,c=0.2米,可得S=2.2米,再假设降雨强度模型中的变量。模型表示：被淋在身上的雨水的总量与你在雨中行走的速度成反比。若你在雨中以可能快的速度v=5米/秒向前跑，于是你在雨中将行走t=200秒。由此，可得你身上被淋的雨水的总量为q=200×(2/3600)×2.2×10=2.44(升)仔细解析，这是一个荒谬的结果，你在雨中只跑了200秒的时间，身体上却被淋了2.44升的雨水（大体有四酒瓶的水量），这是不能思议的。因此这表示，我们获取的这个模型用来描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不吻合实质状况的。依照建模的程序，需要回到对问题所作的假设，商酌这些假设可否合适。这时我们发现不考虑降雨的角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了。2、考虑降雨角度的影响此时降雨强度已经不能够完好描述降雨的状况了。设雨滴下落的速度为u（米/秒），降雨的角度（雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角）为，显然，降雨强度将受降雨速度的影响，但它其实不完好决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度。假设用P来胸襟雨滴的密度，称为降雨强度系数，它表示在必然的时辰在单位体积的空间由雨滴所据有空间的比率数。于是有wpu，显然p1，当p1时意味着大雨倾盆，如同河流向下的倾注一般。在这个状况下要估计你被雨水淋湿的程度，要点是考虑到你在雨中的行走方向此后雨滴相对的下落方向，这个方向由以下图给出。由于雨水是迎面而落下的，由经验可知，这时被淋湿的部位将不过是你的顶部和前面。a雨中行走模型图因此，淋在你身上的雨水将分两部分计算。①你的顶部被淋的雨水，顶部的面积是bc，雨滴的垂直速度的重量是usin。不难获取，在时间td/v淋在你的顶部的雨水量是3q1(d/v)bc(pusin)②你的前面表面淋雨的状况，前面的面积是ba，雨速的重量是ucosv，近似地我们有，你的前面表面被淋到的雨水量是：q2(d/v)ba[p(ucosv)]因此你在整个的行程中被淋到的雨水总量为qq1q2Pbda(ucosv)][cusinv依旧沿用前面获取的参数值，若是假设落雨的速度是u4m/s，由降雨强度62厘米/小时，可估计出它的强度系数p1.3910，把这些参数值代入上式可得：q6.951046cos1.5v)v(0.8sin在这个模型中有关的变量是v和，由于是落雨的方向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值，而v是我们要选择的雨中行走的速度。于是，我们的问题就变为给定，如何选择v，使得q是最小的。四、模型谈论下面分各种状况对模型进行谈论：30此时，雨滴垂直落下。由上述模型可得q6.951043/v)模型表示，q是v的减函数，只有当速度取可能的最大值的时候q达到最小。假设你以v=5米/秒的速度在雨中猛跑，由模型可得q18.209104米31.821升用MATLAB能够画出30时的平面图：40此时，雨滴将迎面向你身上落下，由上述模型得q6.95104[1.56/v]同理，它将在v5米/秒时取最小:q18.765104米31.8765升用MATLAB能够画出θ在090之间的三维图：3.90180此时，雨滴将从后边向你身上落下。令90，则090.q6.95104[1.5(0.8cos6sin)/v]对于充分大的，这个表达式可取负值，这自然是不合理的。由于雨水量是不能能为负值的，5主要原因是这个状况超出了我们前面谈论的围，因此必定回到开始的解析过程对这个状况进行详细的谈论，依照你在雨中行走的速度分两种状况。a雨从反面而来模型图（1）考虑vusin的状况此状况也就是说你的行走速度慢于雨滴的水平运动速度，这时雨滴将淋在你的背上，淋在背上的雨水的量为pbda(usinv)/v，于是淋在全身的雨水的总量为qpbd[cucosa(usinv)]/v再次代入数据，可得q6.95104[(0.8cos6sin)/v1.5]它也是速度的减函数，当你以速度vusin4sin在雨中前进时，淋雨量的表达式可简化为q6.95104(0.8cos)/(4sin)]它表示你不过被头顶部位的雨水淋湿了。若是雨是以120的角度落下，也就是雨滴以30角从后边落在你的背上，你应该以4sin302m/s的速度在雨中行走，这时，你身上被淋湿的雨水的总量为q6.95104(0.83/2)/2米30.24升实质上，这意味着你恰巧跟着雨滴向前走，因此身体前后却没有淋到雨。若是你的速度低于2m/s，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加。用MATLAB能够画出θ在030之间的三维图6（2）vusin的状况你在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动速度2m/s，这时你将不断地追赶雨滴，雨水将淋你的胸前，被淋的雨量是pbad(vusin),于是全身被淋的雨水总量为qpbd[uccosa(vusin)]/v当v5米/秒，且30时，有q6.95104(0.434.5)/5米30.722升五、结论综合上面的解析，从这个模型我们获取的结论是：①若是雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑。②若是雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走速度，让它恰巧等于落雨速度的水平重量。六、模型的谈论与谈论所获取的这些结果忧如是合理的并且与我们所希望的是一致的。我们的第二个更详细的模型对第一个模型的改进之处在于建模时考虑了落雨的方向并且更全面地考虑了各种可能发生的状况。所有的雨水量的结果都比第一个模型获取的2升要小。同样所获取的结果的数量级也是我们所希望的。真切使用实质的数值结果来考据这个模型是困难的。自然若是