23届老高考数学备用题：第七单元 平面向量与复数

第七单元平面向量与复数7.1平面向量的概念及线性运算1.在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．－eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bC．－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b答案C解析eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b，故选C.2.已知△ABC的重心为O，则向量（）A．B．C．D．答案C解析设分别是的中点，由于是三角形的重心，所以.故选C.3.在△ABC中，点G满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，则m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1，故选D.4.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．答案：解析：∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.5.题设a，b是非零向量，则a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件答案B解析由a＝2b可知，a，b方向相同，eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)表示a，b方向上的单位向量，所以eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立；反之不成立.故选B.6.已知eq\o(MP,\s\up6(→))＝4e1＋2e2，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝()A.1B.2C.4D.－1答案A解析∵M、P、Q三点共线，则eq\o(MP,\s\up6(→))与eq\o(PQ,\s\up6(→))共线，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝2λ，,2＝λt，))解得t＝1.故选A.7．已知平面向量，，，下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，则答案D解析A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误；B：时，，不一定相等，错误；C：若为零向量时，，不一定有，错误；D：说明，同向，即，正确.故选D.8．在△中，为边上一点，且满足，设，则（）A．2B．－2C．1D．－1答案C解析依题意可得，所以，因此，所以.故选C.9．已知向量满足，，，则（）A． B． C． D．答案：C解析：，①，②①②，可得，解得，所以.故选C.10．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案：A解析：因为DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC的中点，可得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A.11．在平行四边形中，，设，，则向量DE=（）A． B． C． D．答案：A解析：.故选A12.A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(－1,0)答案B解析设eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OD,\s\up6(→))，则m>1，因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以meq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up6(→))，又知A，B，D三点共线，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故选B.13．（多选题）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)答案ACD解析若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，故A正确；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，设eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，故D正确．故选ACD.7.2平面向量基本定理及坐标表示1.已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则点D的坐标为()A．(－2,3) B．(2，－3)C．(－2,1) D．(2，－1)答案:D解析设D(x，y)，则eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x，y－1)，2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，根据eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，得(x，y－1)＝(2，－2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y－1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))故选D.2．己知向量，则向量在向量方向上的投影是________．答案：解析:向量在向量上的投影是.3．直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(5,2)μ－λ＝()A.－eq\f(1,2)B.1C．eq\f(3,2)D．－3答案：A解析：eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AD,\s\up6(→))＝2(λ－μ)eq\o(AE,\s\up6(→))－3μeq\o(AF,\s\up6(→)).因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴eq\f(5,2)μ－λ＝－eq\f(1,2).故选A.4.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，求点M，N及eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．解析：∵A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(1，8)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(6，3)，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))＝(3，24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))＝(12，6)．设M(x，y)，则有eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x＋3，y＋4)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3＝3，,y＋4＝24，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝20，))∴M点的坐标为(0，20)．同理可求得N点的坐标为(9，2)，因此eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．故所求点M，N的坐标分别为(0，20)，(9，2)，eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标为(9，－18)．5.线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则x＋y＝________.答案－2或6解析由已知得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－x，－4)，2eq\o(BC,\s\up6(→))＝2(3,1－y)．由|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝±2eq\o(BC,\s\up6(→))，则当eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝6，,－4＝2－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝3，))此时x＋y＝－2；当eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝－6，,－4＝－2＋2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－1，))此时x＋y＝6.综上可知，x＋y＝－2或6.6.已知向量a＝(1，1)，点A(3，0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，则点B的坐标为________.答案：(－3，－6)解析：由题意设B(x，2x)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－3，2x)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6).7.设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2m，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为()A.－3 B.－2 C.2 D.3答案：A解析由题意易知，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2m－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2n－1，2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得：2m＋1＋2n＝1.2m＋1＋2n≥2eq\r(2m＋n＋1)，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.故选A.8.如图，以边长为2的正方形的边为直径作半圆，P为半圆上的动点，满足．（1）设，用分别表示和；（2）求的取值范围．解析：（1）如下图，因为，所以，，所以，所以解得；（2）以中点为坐标原点，的方向为轴正向建立平面直角坐标系如下图所示，因为正方形边长为，所以半圆是单位圆位于轴上方的部分，设，，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，，所以.9．如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（）A． B．C． D．答案C解析.故选C.10．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－3)，则点D的坐标为()A．(6,1) B．(－6，－1)C．(0，－3) D．(0,3)答案A解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－1)，则D(6,1)，故选A.11．已知点，，，，则（）A． B． C． D．答案：A解析：依题意得，，所以.故选A.12．已知向量，，，，满足，则的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．5答案：A解析：由知，，，又，，于是有，当且仅当时取“=”，所以的最小值为为3．故选C.13．已知向量，若，则（）A．－10 B．10C．11 D．－11答案：B解析：：因为，所以，因为，所以，解得.故选B.14．已知两点，则与向量同向的单位向量是（）A． B．C． D．答案：A解析：因为两点,所以，所以＝＝，所以与向量同向的单位向量为，故选A.15．设向量，，且向量与共线，则（）A． B． C． D．答案：C解析：因为，，所以，又因为与共线，所以，解得，故选C.16.（2021·全国高三模拟）已知中，，，，与的平分线交于点，则（）A． B．C． D．答案：B解析：由已知得，则．以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则∆ABC内切圆半径，所以，，．设，则，解得，，故，故选B．17.（2021·江苏宿迁高三三模）已知点，，将向量绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（）A． B． C． D．答案：D解析：，,设与轴的正方向的夹角为，则，将向量绕点逆时针旋转得到，则，所以C点坐标为,故选D.18.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，则P点的坐标为()A．(－8,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)答案B解析设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)．而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2)，))∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))．故选B.18.设x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|+|＝（）A． B． C． D．5答案：A解析：根据题意，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若∥，则﹣2x＝1，解可得x＝﹣，则＝（﹣，1），故+＝（，﹣1），则|+|＝＝，故选A.7.3平面向量的数量积1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题的个数是()①(a·b)c－(c·a)b＝0②|a|－|b|＜|a－b|③(b·c)a－(a·c)b不与c垂直④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2A．1B．2C．3D．4答案B解析由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故①错误；由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，因此②正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C③错误；根据向量数量积的运算可以得出D④是正确的．故选B.2.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为________．解析取eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))为一组基底，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(7,12)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝＝eq\f(7,12)||－eq\f(25,18)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\f(7,12)×4－eq\f(25,18)×2×1×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(29,18)．3.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A． B． C． D．答案：C解析：由，得，所以，即，所以，由，得，故选C.4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB，2cos2\f(C,2)－1))，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，c＝2eq\r(3)，求△ABC的面积．解析：(1)∵m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，∴ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，sinA＝2sinAcosC，又sinA≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，而C∈(0，π)，∴∠C＝eq\f(π,3).(2)由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))知，eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))，∴2eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，两边平方得4|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，∴a2＋b2－ab＝12②，由①②得ab＝8，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absin∠ACB＝2eq\r(3).5.如图，已知，为的中点，分别以为直径在的同侧作半圆，分别为两半圆上的动点（不含端点），且，则的最大值为．答案解析以点为坐标原点，线段所在的直线为轴，建立平面坐标系。设，，则,，，=，当时，AM.CN的最大值为.6.已知正三角形的边长为2，点满足，则的值为（）A． B． C． D．答案：C．解析：∵，，∴.故选C.7．已知，，与的夹角为，则（）A． B． C． D．答案C解析.故选C.8．在中，若，，，则的模等于（）A． B． C． D．答案：D.解析：因为，所以.又，把，，代入得，.故选D.9.（2021·四川泸州高三二模）在∆ABC中，，，点是边的中点，则的值为（）A． B．6 C． D．8答案：A解析：因为在∆ABC中，点是边的中点，所以，因为，，，所以故选A.10.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（）A． B． C． D．答案：D解析：，，，，，设与的夹角为，．，，．故选D.11．在平行四边形中，，，，为的中点，则（）A．9 B．12 C．18 D．22答案：B解析：因为，所以．故选B．12.已知非零向量，满足且，则与的夹角为（）A． B． C． D．答案：D.解析：设＝1，因为，所以，，所以，，又，所以．故选D．13.在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是________三角形．()A.等边B.等腰C.直角D.等腰直角答案C解析由(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AC|2，得eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0，2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BA,\s\up6(→))，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC一定是直角三角形．故选C.14.（2021·山东日照高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（）A． B． C． D．答案：B解析：，，，即，，，故选B.15．（2021·辽宁沈阳高三模拟）已知点的坐标为，将向量绕原点逆时针方向旋转到的位置，则点坐标为（）A． B． C． D．答案：A解析：设，则，所以，又，由上面关系求得或，而向量由绕原点逆时针方向旋转60°得到，且在第一象限，所以的纵坐标为正数，故.故选A.16.已知、、、、为半径为的圆上相异的点（没有任何两点重合），这个点两两相连可得到条线段，则这条线段长度平方和的最大值为_________.解析：不妨设圆心为，则、、，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，这条线段长度平方和的最大值为.故答案为：.单元检测七1.已知，，则（）A． B． C． D．答案：A解析：由已知条件可得，，因此，.故选A.2．已知向量，，若与反向，则（）A．-30 B．30 C．-100 D．100答案：D解析：由已知得与共线，则，解得，所以，所以，因此．故选D.3．在矩形ABCD中，其中，，AB上的点E满足，F为AD上任意一点，则（）A． B． C． D．答案：D解析：如图，因为，所以,设,则，所以，故选D.4．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，点O为△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则有序实数对(x，y)为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))答案：A解析：取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－(xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－(xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－y))eq\o(AC,\s\up6(→))－xeq\o(AB,\s\up6(→)).由eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))2－yeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0①，由eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－y))eq\o(AC,\s\up6(→))2－xeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0②，又因为eq\o(BC,\s\up6(→))2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))2＋\o(AB,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,2)＝－eq\f(1,2)③，把③代入①、②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2x＋y＝0，,4＋x－8y＝0，))解得x＝eq\f(4,5)，y＝eq\f(3,5).故实数对(x，y)为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))).5.已知向量，，，则的最小值为（）A．B．C．D．答案：D解析：因为向量，，所以，因此，当且仅当时，取得最小值.故选D.6．已知∆ABC是腰长为的等腰直角三角形，其中，点是所在平面上的任意一点，则向量的模为________答案：解析：由已知可得，，，且，因为，因此，的模为.故答案为：.7．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．(1)若θ＝eq\f(3π,4)，设点D为线段OA上的动点，求|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最小值；(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cosθ，sinθ－2cosθ)，求m·n的最小值及对应的θ值．解析：(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题意知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(\r(2),2)))2＋eq\f(1,2)，所以当t＝eq\f(\r(2),2)时，|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|最小，最小值为eq\f(\r(2),2).由题意得C(cosθ，sinθ)，m＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(cosθ＋1，sinθ)，则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－cos2θ－sin2θ＝1－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))，因为θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\f(π,4)≤2θ＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，所以当2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,8)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))取得最大值1，即m·n取得最小值1－eq\r(2).所以m·n的最小值为1－eq\r(2)，此时θ＝eq\f(π,8).8.平面四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形答案:B解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0⇒eq\o(