23届老高考数学备用题：第三单元 基本初等函数

第三单元基本初等函数（1）3.1二次函数与幂函数1.如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为为1，那么实数a＝________．答案：1解析：因为函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以或解得a＝1.2.（2022·安徽安庆月考）幂函数y＝(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为()A．3 B．0C．1 D．2答案：C．解析：因为函数y在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，解得－1<m<3.因为m∈Z，所以m＝0，1，2.而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数，所以m＝1.故选C.3.（2021·辽宁省沈阳市模拟）已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案x2－4x＋3解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.4.（2022·江西赣州检测）已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是()A．－2 B．0C．1 D．2答案：A解析：因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－＝1①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2.故选A.5.（2021·山西运城模拟）有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是()A．y＝x－1 B．y＝x－2C．y＝x3 D．y＝xeq\s\up6(\f(1,3))答案：B解析：对于A，y＝x－1是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确；对于B，y＝x－2是偶函数，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断C，D中的函数不符合条件．故选B.5.(2021·河南郑州模拟)若函数f(x)＝eq\f(d,ax2＋bx＋c)(a，b，c，d∈R)的图象如图所示，则a∶b∶c∶d＝()A．1∶6∶5∶8 B．1∶6∶5∶(－8)C．1∶(－6)∶5∶8 D．1∶(－6)∶5∶(－8)答案：D解析：由图象可知，x≠1,5，所以ax2＋bx＋c＝k(x－1)(x－5)，所以a＝k，b＝－6k，c＝5k，根据图象可得当x＝3时，y＝2，所以d＝－8k，所以a∶b∶c∶d＝1∶(－6)∶5∶(－8)．故选D.6.（2021河南洛阳模拟）若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，3))解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，当a<1<a＋2，即－1<a<1时，f(x)min＝f(1)＝0≠4，故a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，3)).7.（2021·陕西西安月考）已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．答案：[0，4]解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.8.（2021吉林省长春市模拟）已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，又f(0)＝1，所以c＝1.因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.所以令g(x)＝x2－3x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(5,4)，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).9.（2021·江苏常州模拟）“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒时弓箭距离地面的高度为x米，可由确定，已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为（）A.135米 B.160米 C.175米 D.180米【答案】D【解析】由题意,当时,,代入,可得,解得,则,当时,取得最大值.故选D.10.（2021·吉林白山期末）若函数是幂函数,且在上单调递增,则()A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而.故选D.11.（2021·西安四校联考）已知a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则（）A.c＜b＜a B.c＜a＜bC.a＜b＜c D.a＜c＜b【答案】D【解析】由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得a＝0.50.8＜0.50.5，b＝0.80.5＞0.50.5，所以b＞a，又由c＝0.80.8＞0.50.8，所以c＞a，又b＝0.80.5＞c＝0.80.8，所以a＜c＜b.故选D.12.（2021·广东惠州模拟）已知函数f（x）＝x2＋x＋c，若f（0）＞0，f（p）＜0，则必有（）A.f（p＋1）＞0B.f（p＋1）＜0C.f（p＋1）＝0D.f（p＋1）的符号不能确定【答案】A【解析】由题意知，f（0）＝c＞0，函数图像的对称轴为直线x＝－，则f（－1）＝f（0）＞0，设f（x）＝0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），则－1＜x1＜x2＜0，根据图像（图略）知，x1＜p＜x2，故p＋1＞0，f（p＋1）＞0.故选A.13.（2021河北邢台期末）已知函数满足，若函数与的图象的交点为，则（）A. B. C.n D.0【答案】A【解析】∵函数满足，∴的对称轴为，又函数的对称轴也为，∴两个函数图象的交点也关于对称．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上，．故选A.14．（2021广东珠海模拟）二次函数在上最大值为3，则实数＝（）A. B. C.2D.2或【答案】B【解析】对称轴,判断对称轴与区间的位置关系,当时,在区间上单调递减,,此时,不满足；当时,,此时,又所以.故选B.15．(2021·河北衡水中学调研)设函数f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0B．当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0C．当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0D．当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0【答案】B【解析】当a＜0时，作出两个函数的图象，如图所示，由题意不妨记函数f(x)与g(x)的图象在第三象限交于点A(x1，y1)，在第一象限相切于点B(x2，y2)，因为函数f(x)＝eq\f(1,x)是奇函数，所以设A关于原点对称的点为A′(－x1，－y1)，显然x2＞－x1＞0，即x1＋x2＞0，－y1＞y2，即y1＋y2＜0.当a＞0时，由对称性知x1＋x2＜0，y1＋y2＞0.故选B.16.(2021·山东济南模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则()A．p>qB．p＝qC．p<qD．以上都有可能【答案】C【解析】因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，经过原点且对称轴在x＝1的右侧，故a<0，－eq\f(b,2a)>1，c＝0，所以b>0,2a＋b>0,2a－b<0.又当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，所以p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|＝－a＋b－c＋2a＋b＝a＋2b－c，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|＝a＋b＋c－2a＋b＝－a＋2b＋c，所以p－q＝2(a－c)＝2a<0，所以p<q.故选C.17．(2021·西安八校联考)若函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个不同的零点，且f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围是()A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]【答案】B【解析】因为函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个不同的零点，所以方程x2－2x＋m＝0有两个不同的实根，所以Δ>0,4－4m>0，m<1.因为f(1－x)≥－1恒成立，所以(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1恒成立，所以x2＋m≥0恒成立，所以m≥0，所以m∈[0,1)．故选B.18．(2021·福建莆田模拟)已知函数f(x)＝x2＋bx＋1满足f(－x)＝f(x＋1)，若存在实数t，使得对任意实数x∈[1，m]，都有f(x＋t)≤x成立，则实数m的最大值为________．【答案】3【解析】函数f(x)＝x2＋bx＋1满足f(－x)＝f(x＋1)，则f(x)图象的对称轴为x＝，则－＝，解得b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋1，由f(x＋t)≤x得(x＋t)2－(x＋t)＋1≤x，即(x＋t－1)2≤－t(t≤0)，∴1－t－≤x≤1－t＋，由题意可得1－t－≤1，解得－1≤t≤0，令y＝1－t＋＝，可得1≤y≤3，∴m≤3，可得m的最大值为3.19.（2021·河北承德模拟）设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．【答案】【解析】由题意得，函数y＝f(x)－g(x)＝x2－3x＋4－2x－m＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．令h(x)＝x2－5x＋4－m，则即.20.（2021·北京市模拟）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（）A．充分不必要件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，由的图像经过，则的值为，此时为奇函数.又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过.所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件.故选C.21.（2021陕西省榆林市模拟）下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；②函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；③指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；④幂函数的定义域为，值域也为，即定义域和值域相同；故选C.22．(2021·江西省九江一中模拟)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()答案：A解析：若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减；y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C，D．若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确.故选A.23．（2021·湖北省襄阳市第四中学模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得.函数是上的增函数.因为，，所以，所以，所以.故选A.24．(2021·陕西省西安模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：由题意得a>eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)对1<x<4恒成立．又eq\f(2,x)－eq\f(2,x2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq\s\up8(2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－\f(2,x2)))max＝eq\f(1,2).所以a>eq\f(1,2).25.定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－2，2]上具有相同的单调性，则k的取值范围是()A.(－∞，－4] B.[4，＋∞)C.[－2，4] D.(－∞，－4]∪[4，＋∞)答案B解析易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数.依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－2，2]上单调递减.∴抛物线的对称轴x＝eq\f(k,2)≥2，则k≥4.故选B.26.已知函数f(x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m>0)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝________.答案－eq\f(1,9)解析当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1恒成立.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|f（0）|≤1⇒|n|≤1⇒－1≤n≤1；,|f（1）|≤1⇒|2＋n|≤1⇒－3≤n≤－1，))因此n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1.由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x＝0，∴2－m＝0，m＝2，∴f(x)＝2x2－1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－eq\f(1,9).27．(2021·上海复兴高级中学期中)对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；丙：分别研究两个函数y1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1；丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．答案eq\f(3,2)解析选丙．画出y2＝x2－ax－1的草图，y2＝x2－ax－1过定点C(0，－1)．∴y2＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两侧，又y1＝(a－1)x－1也过定点C(0，－1)，故直线y1＝(a－1)x－1只有过点A，C才满足题意，∴a－1>0，即a>1，令y1＝0得x＝eq\f(1,a－1)，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)，0))代入y2＝x2－ax－1＝0，解得a＝0(舍)或a＝eq\f(3,2).28.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.解析(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)，因p是q成立的必要条件，则B⊆A，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－k≥1，,4－k≤4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≤1，,k≥0，))得0≤k≤1.故实数k的取值范围是[0，1].29.(2021·辽宁省沈阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4.若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的最大值为。答案：6 解析由题意f(x)max≤g(x)max，(*)由g(x)在(－∞，－1]上单调递增，则g(x)max＝g(－1)＝3，f(x)＝－x2＋ax－6＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(a2,4)－6.当a≤0时，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)<f(0)＝－6，显然f(x)<g(x)max＝3.所以当a≤0时，(*)恒成立.当a>0时，x＝eq\f(a,2)∈(0，＋∞)，∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝eq\f(a2,4)－6.此时应有eq\f(a2,4)－6≤3，且a>0，解得0<a≤6.综上可知a≤6，则a的最大值为6.30.(2021·河南省郑州质检)已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B解析p：由|m＋1|<1得－2<m<0，又幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.故p是q的必要不充分条件.故选B.31.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2eq\f(4,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)，则()A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b答案A解析因为a＝2eq\f(4,3)＝4eq\f(2,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝5eq\f(2,3)又y＝xeq\f(2,3)在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b.故选A.32.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________.答案1解析f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.3.2指数与指数函数1.函数f(x)＝ax－2022＋2022(a>0且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为______.答案(2022，2023)解析令x－2022＝0，得x＝2022，则y＝2023，故点A的坐标为(2022，2023).2.（2021·湖南省永州市模拟）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数在R上是减函数，，又幂函数在上单调递增，，，所以，而函数是R上增函数，，，故选B.3.（2021·江西省贵溪市模拟）下列比较大小正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为指数函数为减函数，则.故选A.4.（2021·江苏省南通模拟）已知函数，在R上单调递增，其中e为自然对数的底数，那么当m取得最大值时，关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在R上单调递增，则有，解得，所以m的最大值为1，此时，令，解得，当时，，解得，所以，当时，，解得，综上，不等式的解集为，故选B.5.已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．答案：eq\f(1,2)解析：当a<1时，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；当a>1时，代入不成立．故a的值为eq\f(1,2).6.（2021·福建莆田七中期中）化简且_________．答案：解析：.7.(2021·东北三校联考)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)C．(1，＋∞) D.答案：D解析：方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图①，∴0<2a<1，即0<a<；②当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．∴0<a<.故选D.8.（2021·陕西延安模拟）若函数的值域是，则f(x)的单调递增区间是（）A.B.C.D.答案：A解析：令，由于的值域是，所以的值域是.因此有，解得,这时，由于的单调递减区间是，在R上递减；所以的单调递增区间是.故选A.9.（2021·山东济南模拟）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是（）A.B.C. D.答案：D解析：,故选D.10.设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因，又，而，即“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件．故选B.11.（2021·河北省唐山市第一中学模拟）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（）轮传染？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：即，解得，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染，故选B.12.(2019·全国Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a答案B解析由对数函数的单调性可得a＝log20.2<log21＝0，由指数函数的单调性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.故选B.12.(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案B解析由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝eq\f(R0－1,T)＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即所以即0.38(t2－t1)＝ln2，所以t2－t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8.故选B.13.（2021点重庆模拟）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）小时.A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，可得，设，可得，解得.因此，污染物消除至最初的还需要小时.故选C.14．化简：(a>0，b>0)＝________.答案eq\f(1,a)解析原式＝15．（2021河北省秦皇岛市模拟）已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】，或，解得或，即，不等式的解集为.16.（2021·河北省唐山市模拟）已知函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，即，g整理得：.所以，，解得.故选D.17．（2021·湖南省名校联考联合体模拟）2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图"见图.车辆驾驶人员血液洒精含量阈值驾驶行为类别阈值饮酒驾车醉酒驾车且如图所示的函数模型为.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则n的值为___________.(参考数据：)【答案】6【解析】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，所以有，解得，解得.因为，所以n的最小值为6.18．（2021湖南省部分地区模拟）已知函数且)的图像过点.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上的最大值是最小值的4倍，求实数的值.【解】（1）因为函数且)的图像过点，所以，解得，所以（2）由（1）知，所以函数为递减函数.故函数在区间上的最大值，最小值分别为，，所以，即，解得.19．(2021·内蒙古包头模拟)已知函数f(x)＝eq\f(4x＋m,2x)是奇函数．(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数a的取值范围．解(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，得m＝－1，经检验当m＝－1时，f(x)为奇函数，∴m＝－1.(2)令eq\f(4x－1,2x)＝2x＋1－a，令t＝2x，∴t>0，∴eq\f(t2－1,t)＝2t－a，即a＝t＋eq\f(1,t)，∴方程a＝t＋eq\f(1,t)有正实数根，∵t＋eq\f(1,t)≥2，当且仅当t＝1时取等号．∴a≥2.即实数a的取值范围是[2，＋∞)．20.(2021·山东师大附中月考)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq\f(1,2|x|).(1)若f(x)＝eq\f(3,2)，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.解(1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝eq\f(3,2)无解；当x≥0时，f(x)＝2x－eq\f(1,2x)，由2x－eq\f(1,2x)＝eq\f(3,2)，得2·22x－3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－eq\f(1,2)，因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.(2)当t∈[1，2]时，2teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22t－\f(1,22t)))＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(1,2t)))≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，所以m≥－(22t＋1)，又y＝－22t－1，t∈[1，2]为减函数，∴ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5.21.(2021·湖南省长郡中学检测)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.y＝sinx B.y＝x3 C.y＝ D.y＝log2x答案B解析y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.y＝sinx不是单调递增函数，不符合题意；y＝是非奇非偶函数，不符合题意；y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意.故选B.22.(2021·四川省成都模拟)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒过定点，则这个定点的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))答案C解析y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)变为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))a－(2x＋y)＝0，依题意，对a∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))a－(2x＋y)＝0恒成立，则2x－eq\f(1,2)＝0，且2x＋y＝0，∴x＝－1且y＝－eq\f(1,2)，即恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).故选C.23．（2021·山东省菏泽市模拟）写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_________①当时，；②为偶函数【答案】（，）（答案不唯一）【解析】若满足①对任意的有成立，则对应的函数为指数函数的形式；若满足②为偶函数，只需要将加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数可以是：（，）.故答案为：（，）（答案不唯一）24．（2021西南名校联盟模拟）___________.【答案】【解析】.25.（2021安徽芜湖模拟）函数（其中e为自然对数的底数）的图象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】由函数可知函数有两个零点，和，当时，，且时，，故排除B,C,D.故选A.26.（2021江西新余模拟）函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当时，(为常数)，则（）A. B. C. D.－2【答案】D【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，，，解得，当时，，.故选D.27．(2021·广西质检)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为()A．－4 B．－3C．－1 D．0【答案】A【解析】∵xlog52≥－1，∴2x≥eq\f(1,5)，则f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f(x)取得最小值－4.故选A.28.（2021陕西西安模拟）函数，对任意的，，且，则下列四个结论不一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A.,正确；B.函数在上递增,若,则,正确；C.,不正确；D.由基本不等式,当时,,即,正确.故选C.29.（2021河北石家庄二中模拟）若函数是增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知，当时，，所以，要使单调递增，只需且，则且，即且，故.故选B.30.（2021北京二中月考）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）的乘积等于常数．已知pH值的定义为，健康人体血液的pH值保持在7．35～7．45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：，）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设有，又，所以，所以．又，只有在范围之中，故选C．点睛：利用之间的关系把转化为，再利用指对数的关系求出，从而得到的范围，依次检验各值是否在这个范围中即可．故选C.31．(2021·河南信阳质检)若不等式(m2－m)2x－x<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．【答案】(－2,3)【解析】(m2－m)2x－x<1可变形为m2－m<x＋.设t＝x，则原条件等价于不等式m2－m<t＋t2在t≥2时恒成立．显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m<6，解得－2<m<3.32．（2021河南周口模拟）关于函数f(x)＝的性质，下列说法中错误的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形【答案】B【解析】函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝eq\f(1,4x＋1＋2)＋eq\f(1,4－x＋2)＝eq\f(1,4·4x＋2)＋eq\f(4x,2·4x＋1)＝eq\f(1,2)，所以f(x)关于对称，所以D正确，故选B．33．（2021安徽安庆模拟）定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为()A． B．1C． D．2【答案】B【解析】如图是函数y＝2|x|值域为[1，2]上的图象，使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的区间长度最小的区间为[－1，0]，[0，1]，区间长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B.34．对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a＞0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)．①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在R上不具有单调性；③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；④当0＜a＜1时，函数f(|x|)的最大值是0；⑤当a＞1时，函数f(|x|)的最大值是0.【答案】①③④【解析】因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a＞1时，f(x)在R上为增函数，②假；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③真；当0＜a＜1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，所以当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④真；当a＞1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，所以当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤假．综上，真命题是①③④.35．(2021·河南十校联考)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则()A．K的最大值为0 B．K的最小值为0C．K的最大值为1 D．K的最小值为1【答案】D【解析】根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.36.(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3).设α＝eq\f(r,R)，由于α的值很小，因此在近似计算中eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，则r的近似值为()A.eq\r(\f(M2,M1))R B．eq\r(\f(M2,2M1))RC.eq\r(3,\f(3M2,M1))R D．eq\r(3,\f(M2,3M1))R【答案】D【解析】由eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3)，得.因为α＝eq\f(r,R)，所以eq\f(M1,1＋α2)＋eq\f(M2,α2)＝(1＋α)M1，得eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)＝eq\f(M2,M1).由eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，得3α3≈eq\f(M2,M1)，即33≈eq\f(M2,M1)，所以r≈eq\r(3,\f(M2,3M1))·R，故选D.3.3对数与对数函数1.函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增答案：B解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．故选B.2．（2021·山东临沂模拟）已知某种药物在病人体内的含量在1200mg以上时才会对某种病情起疗效，现给某病人注射该药物2000mg，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过（）小时后须再次向病人体内补充这种药物．（已知，，结果精确到0.1h）A．1.8 B．1.9 C．2.1 D．2.2【答案】A【解析】设经过小时后须开始再次补充这种药物，则，化简可得，所以，故选A.3.(2021·陕西西安调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为()答案：C解析：先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．故选C.4.（2021·江苏扬州模拟）下列说法中正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于，，所以当时，，故．根据函数，，则，在定义域上单调递减，，，所以存在，使得，所以时，所以函数在单调递减，所以，所以，所以，故选A.5.已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>a，解得1<a<eq\f(8,3).当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴8－a<a且8－2a>0，此时解集为∅.综上可知，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))).6.若lg2＝a，lg3＝b，则lg12的值为()A．a B．bC．2a＋b D．2ab答案：C解析：因为lg2＝a，lg3＝b，所以lg12＝lg(4×3)＝2lg2＋lg3＝2a＋b.故选C．7．（2021湖南长沙模拟）函数f(x)＝的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)答案：D解析：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故选D.8.（2020全国I卷）设，则（）A. B. C. D.答案：B解析：由可得，所以，所以有.故选B.9.（2020全国III卷）设，，，则（）A.B.C.D.答案：A解析：因为，，所以.故选A.10.(2021·河南信阳质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满足f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A． B．C． D．答案：B解析：∵log0.25a＝＝－log4a且f(x)为偶函数，∴f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)可化为f(log4a)≤f(1)，又f(x)在[0，＋∞)内单调递增，∴|log4a|≤1，∴log4＝－1≤log4a≤1≤log44，∴≤a≤4.故选B.11.(2021·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[－4，4] D．(－4，4]答案：D解析：函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减⇒函数t＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增，且t>0⇒⇒－4<a≤4.故选D.12.（2022·陕西渭南摸底）函数为定义在R上的奇函数，则等于（）A. B.－9 C.－8 D.【答案】C【解析】根据题意，为定义在上的奇函数，则有，解可得：，则，则.故选C.13.（2021宁夏银川月考）已知f(x)是偶函数，它在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】因为是偶函数，它在上是减函数，若，所以，所以，又因为在上单调递增，所以，故选C.14.（2021·重庆二诊）定义在R上的奇函数f(x)满足：，且当时，，若，则实数m的值为（）A.2 B.1 C.0 D.-1【答案】B【解析】由为奇函数知，∴，即，∴，∴是周期为3的周期函数，故，即，∴.故选B.15．(2021·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4) B．(－4，4]C．(－∞，4)∪[2，＋∞) D．[－4，4)【答案】D【解析】由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4，4).故选D.16.（2021·陕西西安质检）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，故选D.17.（2021·河北张家口三模）已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，得.令，则，所以当时单调递增；当时单调递减.又，所以又，所以故选C.18.（2021·天津八校联考）设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，（a为常数），则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，．当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增；由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，故，即有，解得．故选D.19.（2021·甘肃临夏模拟）已知，①②③④以上4个结论中正确的序号为________．【答案】①③④【解析】对于①，因为在R上单调递减，，所以，故①正确；对于②，因为在R上单调递增，，所以，故②不正确；对于③，，故③正确；对于④，由②，，故④正确.故答案为：①③④20．（2021·黑龙江齐齐哈尔三模）已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则，解得.故选C.21．（2021·甘肃张掖模拟）已知函数，正实数、满足，且，若在区间上的最大值为2，则、的值分别为（）A.、2 B.、4 C.、2 D.、4【答案】B【解析】，所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，由于正实数、满足，且，则必有，且，则，所以，，可得，所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以，，当时，，解得，因此，，.故选B.22.（2021·山东淄博一模）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是_________.【答案】【解析】由题分段函数在上单调递减可得又因为二次函数图像开口向上，所以，解得且，将代入可得，解得.所以的取值范围是23.（2021·安徽蚌埠模拟）已知定义在R上的偶函数f(x)满足，且在[1,2]上的表达式为，则函数f(x)与的图象的交点的个数为__________.【答案】6【解析】由得直线是函数的图象的一条对称轴，又是偶函数，所以是周期函数，且周期为2，在同一坐标系中作出函数与的图象，如图，在时，设，是一个增函数，，，因此存在，使得，时，，递减，时，，递增，，，因此在上存在一个零点．所以结合图象，与的图象的交点个数为6．24.（2021·宁夏大学附属中学月考）若，则（）A. B. C.D.【答案】B【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选B.25.（2021·四川成都模拟）已知函数则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，故，故选C.2．（2021安徽省合肥六中模拟）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，所以.故选A.26.（2021•全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】由，当时，，则.故选C.27．（2021·陕西模拟）已知定义在上的奇函数满足．当时，，则（）A．3 B． C． D．5【答案】A【解析】由条件可知，，且，即，即，那么，所以函数是周期为4的函数，.故选A.28．（2021山东省烟台模拟）计算______.【答案】【解析】.29．（2021上海市模拟）若函数的反函数的图象关于点对称，则___________.【答案】【解析】由恒成立，可得函数的定义域为，由反函数的性质可得函数的图象关于点对称，则，即，解得.30．（2021·内蒙古模拟）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则_________.【答案】【解析】∵是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，∴，∴，即的周期为2，∵当时，，故.31.(2021·广东广州模拟)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]不等式f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].(2)由f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k<eq\f(（3－4t）（3－t）,t)恒成立，即k<4t＋eq\f(9,t)－15，因为4t＋eq\f(9,t)≥12，当且仅当4t＝eq\f(9,t)，即t＝eq\f(3,2)时取等号，所以4t＋eq\f(9,t)－15的最小值为－3.所以k<－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).32.(2021·湖北武汉调研)函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，则t的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))答案B解析函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a<0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R.当a>1时，z＝ax＋t2在R上递增，y＝logaz在(0，＋∞)上递增，可得f(x)为R上的增函数；当0<a<1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数，f(x)＝loga(ax＋t2)＝eq\f(1,2)x，∴ax＋t2＝aeq\f(1,2)x，则ax－aeq\f(x,2)＋t2＝0.令u＝aeq\f(x,2)，u>0，则u2－u＋t2＝0有两个不相等的正实根.得Δ＝1－4t2>0，且t2>0，∴0<t2<eq\f(1,4)，解得t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).故选B.33．（2021·陕西西安模拟）已知函数，则“函数在上单调递减”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数在上单调递减，，所以，“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件.故选A.34．（2021·河北模拟）已知，，，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得或，由，得，由，得，∴当，，同时成立时，取交集得，故选A.35．（2021江苏省徐州市新沂市第一中学模拟）函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得解得或.所以原函数的定义域为.故选C.单元检测三1.（2021·安徽芜湖模拟）若，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由换底公式可得，对数函数是上的增函数，则，即；指数函数是上的减函数，则.因此，.故选D.2．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜a B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】A【解析】∵a＝log27＞log24＝2,1＜b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a.故选A.3.已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】A【解析】由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.故选A.4.（2021宁夏银川一中模拟）已知定义在R上的奇函数，当时，（1）求函数在R上的解析式；（2）作出的图像（3）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.【解析】（1）由于是定义在上的奇函数，所以，当时，，.所以.（2）由（1）得，由此作出图像如下图所示：（3）由于在区间上递增，根据（2）中的图像可知，解得.5.（2021·广东广州质检）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式有且仅有2个整数解，求正实数a的取值范围．【解析】（1）当时，由，可得不等式即：即：可得：当时，不等式的解集为，故：不等式的解集为：；（2）又可得等式可化为，①，即时，原不等式的解集为，不满足题意；②当，即时，，此时，要保证关于的不等式有且仅有2个整数解；③当，即时，，要保证关于的不等式有且仅有2个整数解只需，解得；综上所述，或．6.（2021·河北承德期末）已知函数，.（1）当时，求f(x)的值域；（2）若f(x)的最大值为，求实数的值.【解析】（1）当时，在上单调递减，故，，所以的值域为.（2），令，则原函数可化为，其图象的对称轴为.①当时，在上单调递减，所以，无解；②当时，，即，解得；③当时，在上单调递增，所以，解得，不合题意，舍去.综上，的值为.7.（2021安徽芜湖模拟）已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案：(1，＋∞)解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图像有且只有一个交点，结合图像可知a>1.8.（2021·河北名师联盟）幂函数在(0,+∞)时是减函数，则实数m的值为（）A.2或－1 B.－1 C.－2 D.－2或1【答案】B【解析】由于幂函数在时是减函数，故有，解得．9.（2021·山西晋中月考）已知函数f(x)＝-x2＋2ax＋1-a在x∈[0，1]时有最大值2，则a的值为________．【答案】2或-1.【解析】f(x)＝-(x-a)2＋a2-a＋1，当a>1时，ymax＝f(1)＝a；当0≤a≤1时，ymax＝f(a)＝a2-a＋1；当a<0时，ymax＝f(0)＝1-a.根据已知条件有或或解得a＝2或a＝-1.10.（2021·湖南娄底模拟）设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝()A．56B．112C．0D．38【答案】B【解析】由二次函数图象的性质得，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.故选B.11.(2021·广西质量检测)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为()A．－4 B．－3C．－1 D．0【答案】A【解析】∵xlog52≥－1，∴2x≥，则f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f(x)取得最小值－4.故选A.12.(2021·山东菏泽一模)已知大于1的三个实数a,b,c满足(lga)2-2lgalgb+lgblgc=0,则a,b,c的大小关系不可能是()A.a=b=c B.a>b>cC.b>c>a D.b>a>c【答案】D【解析】令f(x)=x2-2xlgb+lgblgc,则lga为f(x)的零点,且该函数图象的对称轴为x=lgb,故Δ=4lg2b-4lgblgc≥0.因为b>1,c>1.故lgb>0,lgc>0.所以lgb≥lgc,即b≥c.又f(lgb)=lgblgc-lg2b=lgb(lgc-lgb),f(lgc)=lg2c-lgblgc=lgc(lgc-lgb),若b=c,则f(lgb)=f(lgc)=0.故lga=lgb=lgc,即a=b=c.若b>c,则f(lgb)<0,f(lgc)<0,利用二次函数图象,可得lga<lgc<lgb,或lgc<lgb<lga,即a<c<b,或c<b<a.故选D.13.(2021山东济宁模拟)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.【答案】【解析】若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0<a<1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，检验知符合题意.14.已知f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.(1)求证：对于任意t∈R，关于x的方程f(x)＝1必有实数根；(2)若方程f(x)＝0在区间(－1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内各有一个实数根，求实数t的范围．[解](1)证明：方程f(x)＝1⇒x2＋(2t－1)x－2t＝0，因为Δ＝(2t－1)2＋8t＝4t2＋4t＋1＝(2t＋1)2≥0，所以方程f(x)＝1必有实数根．(2)因为方程f(x)＝0在区间(－1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内各有一个实数根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1>0，,f0<0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2t－1＋1－2t>0，,1－2t<0，,\f(1,4)＋\f(1,2)2t－1＋1－2t>0，))解得eq\f(1,2)<t<eq\f(3,4).所以实数t的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).15.已知函数f(x)＝－x2＋ax－eq\f(a,4)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))上的最大值是eq\f(3,2)，则实数a的值为()答案：－6或eq\f(10,3)解析：函数f(x)＝－x2＋ax－eq\f(a,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq\f(1,4)(a2－a)的图象开口向下，对称轴方程为x＝eq\f(a,2)，①当0≤eq\f(a,2)≤1，即0≤a≤2时，f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝eq\f(1,4)(a2－a)，则eq\f(1,4)(a2－a)＝eq\f(3,2)，解得a＝－2或a＝3，与0≤a≤2矛盾，不符合题意，舍去；②当eq\f(a,2)<0，即a<0时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))上单调递减，f(x)max＝f(0)＝－eq\f(a,4)，即－eq\f(a,4)＝eq\f(3,2)，解得a＝－6，符合题意；③当eq\f(a,2)>1，即a>2时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))上单调递增，f(x)max＝f(1)＝eq\f(3,4)a－1，即eq\f(3,4)a－1＝eq\f(3,2)，解得a＝eq\f(10,3)，符合题意.16.设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．解析：令t＝ax(a>0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．①当0<a<1，x∈[－1,1]时，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，此时f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上为增函数．所以f(t)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))2－2＝14.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))2＝16，解得a＝－eq\f(1,5)(舍去)或a＝eq\f(1,3).②当a>1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，此时f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝eq\f(1,3)或3.17.(2021·宜昌五校联考)已知函数f(x)＝|lnx|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是()A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)答案：C解析：由f(a)＝f(b)得|lna|＝|lnb|，根据函数y＝|lnx|的图象及0<a<b，得－lna＝lnb,0<a<1<b，eq\f(1,a)＝b.令g(b)＝a＋4b＝4b＋eq\f(1,b)，易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)＝5.故选C.18.（2021·江西贵溪模拟）函数是幂函数且为奇函数，则的值为________．【答案】【解析】因为函数是幂函数，所以，即，解得或，当时，，是奇函数，满足条件；当时，，是偶函数，不满足条件；故.19.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．答案：－1或2解析：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1.当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝eq\f(1±\r(5),2)(舍去)．当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.20.函数的定义域是()A．[1,2] B．[1,2)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案：D解析：由≥0，得0<2x－1≤1.所以eq\f(