整式的运算技巧

..整式的运算整式的加减一、整式的有关概念1．单项式〔1概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系,例如：可以看成,所以是单项式；而表示2与的商,所以不是单项式,凡是分母中含有字母的就一定不是单项式.〔2系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.例如：的系数是；的系数是注意：①单项式的系数包括其前面的符号；②当一个单项式的系数是1或时,"1"通常省略不写,但符号不能省略.如：等；③是数字,不是字母.〔3次数：一个单项式中,所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.注意：①计算单项式的次数时,不要漏掉字母的指数为1的情况.如的次数为,而不是5；②切勿加上系数上的指数,如的次数是3,而不是8；的次数是5,而不是6.2．多项式〔1概念：几个单项式的和叫做多项式.其含义是：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则.〔2项：在多项式中,每一个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：共含有有三项,分别是,所以是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号,如上例中常数项是,而不是1.〔3次数：多项式中,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆,而误认为多项式的次数是各项次数之和.例如：多项式中,的次数是4,的次数是5,的次数是3,故此多项式的次数是5,而不是.3．整式：单项式和多项式统称做整式.4．降幂排列与升幂排列〔1降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.〔2把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.注意：①降〔升幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；②把一个多项式按降〔升幂重新排列,移动多项式的项时,需连同项的符号一起移动；③在进行多项式的排列时,要先确定按哪个字母的指数来排列.例如：多项式按的升幂排列为：；按的降幂排列为：.二、整式的加减1．同类项：所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关.例如：与是同类项；而与却不是同类项,因为相同的字母的指数不同.2．合并同类项〔1概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.注意：①合并同类项时,只能把同类项合并成一项,不是同类项的不能合并,如显然不正确；②不能合并的项,在每步运算中不要漏掉.〔2法则：合并同类项就是把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数保持不变.注意：①合并同类项,只是系数上的变化,字母与字母的指数不变,不能将字母的指数相加；②合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；③两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.3．去括号与填括号〔1去括号法则：括号前面是"＋",把括号和它前面的"＋"去掉,括号内的各项都不变号；括号前面是"－",把括号和它前面的"－"去掉,括号内的各项都改变符号.注意：①去括号的依据是乘法分配律,当括号前面有数字因数时,应先利用分配律计算,切勿漏乘；②明确法则中的"都"字,变符号时,各项都变；若不变符号,各项都不变.例如：；③当出现多层括号时,一般由里向外逐层去括号,如遇特殊情况,为了简便运算也可由外向内逐层去括号.〔2填括号法则：所添括号前面是"＋"号,添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是"－"号,添到括号内的各项都改变符号.注意：①添括号是添上括号和括号前面的"＋"或"－",它不是原来多项式的某一项的符号"移"出来的；②添括号和去括号的过程正好相反,添括号是否正确,可用去括号来检验.例如：4．整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项,其一般步骤是：〔1如果有括号,那么先去括号；〔2如果有同类项,再合并同类项.注意：整式运算的结果仍是整式.类型一：用字母表示数量关系1．填空题：

<1>香蕉每千克售价3元,m千克售价____________元。

<2>温度由5℃上升t℃后是__________℃。

<3>每台电脑售价x元,降价10％后每台售价为____________元。

<4>某人完成一项工程需要a天,此人的工作效率为__________。

思路点拨：用字母表示数量关系,关键是理解题意,抓住关键词句,再用适当的式子表达出来。

举一反三：

[变式]某校学生给"希望小学"邮寄每册元的图书240册,若每册图书的邮费为书价的5％,则共需邮费______________元。类型二：整式的概念2．指出下列各式中哪些是整式,哪些不是。

<1>x＋1；<2>a＝2；<3>π；<4>S＝πR2；<5>；<6>总结升华：判断是不是整式,关键是了解整式的概念,注意整式与等式、不等式的区别,等式含有等号,不等式含有不等号,而整式不能含有这些符号。

举一反三：

[变式]把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。

x2y,a－b,x＋y2－5,,－29,2ax＋9b－5,600xz,axy,xyz－1,。分析：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系,多项式必须是几个单项式的和的形式。

类型三：同类项3．若与是同类项,那么a,b的值分别是〔

〔Aa=2,b=－1。〔Ba=2,b=1。

〔Ca=－2,b=－1。〔Da=－2,b=1。

思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义,即字母相同且相同字母的指数相同,要注意同类项与系数的大小没有关系。

解析：由同类项的定义可得：a－1=－b,且2a+b=3,

解得a=2,b=－1,

故选A。

举一反三：

[变式]在下面的语句中,正确的有<>①－a2b3与a3b2是同类项②x2yz与－zx2y是同类项；③－1与是同类项；④字母相同的项是同类项。

A、1个B、2个C、3个D、4个解析：①中－a2b3与a3b2所含的字母都是a,b,但a的次数分别是2,3,b的次数分别是3,2,所以它们不是同类项；②中所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,所以x2yz与－zx2y是同类项；不含字母的项<常数项>都是同类项,③正确,根据①可知④不正确。故选B。

类型四：整式的加减4．化简m－n－〔m+n的结果是〔〔A0。〔B2m。〔C－2n。〔D2m－2n。思路点拨：按去括号的法则进行计算,括号前面是"－"号,把括号和它前面的"－"号去掉,括号里各项都改变符号。解析：原式=m－n－m－n=－2n,故选〔C。举一反三：

[变式]计算：2xy+3xy=_________。分析：按合并同类项的法则进行计算,把系数相加所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。注意不要出现5x2y2的错误。答案：5xy。

5．〔化简代入求值法已知x＝－,y＝－,求代数式<5x2y－2xy2－3xy>－<2xy＋5x2y－2xy2>思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦,应先化简再代入求值。

解析：原式＝5x2y－2xy2－3xy－2xy－5x2y＋2xy2＝－5xy

当x＝－,y＝－时,原式＝－5×。

总结升华：求代数式的值的第一步是"代入",即用数值替代整式里的字母；第二步是"求值",即按照整式中指明的运算,计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时,应先合并同类项化简原式,再代入求值。

举一反三：[变式1]当x＝0,x＝,x＝-2时,分别求代数式的2x2－x＋1的值。

解：当x＝0时,2x2－x＋1＝2×02－0＋1＝1；

当x＝时,2x2－x＋1＝2×；

当x＝-2时,2x2－x＋1＝2×〔-22－〔-2＋1＝2×4+2＋1＝11。

总结升华：一个整式的值,是由整式中的字母所取的值确定的,字母取值不同,一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时,直接代入计算,原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意,当字母的取值是分数或负数时,代入时,应将分数或负数添上括号。

[变式2]先化简,再求值。

3<2x2y－3xy2>－<xy2－3x2y>,其中x＝,y＝－1。

解：3<2x2y－3xy2>－<xy2－3x2y>＝<6x2y－9xy2>－xy2＋3x2y

＝6x2y－9xy2－xy2＋3x2y＝9x2y－10xy2。

∴当x＝,y＝－1时,原式＝9××<－1>－10××<－1>2＝－。

总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y－10xy2,再代入求值,化简降低了运算难度,使计算更加简便,体现了化繁为简,化难为易的转化思想。

[变式3]求下列各式的值。

<1><2x2－x－1>－,其中x＝

<2>2[mn＋<－3m>]－3<2n－mn>,其中m＋n＝2,mn＝－3。

解析：<1><2x2－x－1>－

＝2x2－x－1－x2＋x＋＋3x2－3＝4x2－4

当x＝时,原式＝4×－4＝9－4＝5。

<2>2[mn＋<－3m>]－3<2n－mn>＝2mn－6m－6n＋3mn＝5mn－6<m＋n>当m＋n＝2,mn＝－3时原式＝5×<－3>－6×2＝－27。

类型五：整体思想的应用6．已知x2＋x＋3的值为7,求2x2＋2x－3的值。思路点拨：该题解答的技巧在于先求x2＋x的值,再整体代入求解,体现了数学中的整体思想。

解析：由题意得x2＋x＋3＝7,所以x2＋x＝4,所以2<x2＋x>＝8,即2x2＋2x＝8,所以2x2＋2x－3＝8－3＝5。

总结升华：整体思想就是在考虑问题时,不着眼于它的局部特征,而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析,抓住问题的整体结构和本质特征,全面关注条件和结论,加以研究、解决,使问题简单化。在中考中该思想方法比较常见,尤其在化简题中经常用到。

举一反三：[变式1]已知x2＋x－1＝0,求代数式x3＋2x2－7的值。

分析：此题由已知条件无法求出x的值,故考虑整体代入。

解析：∵x2＋x－1＝0,∴x2＝1－x,

∴x3＋2x2－7＝x<1－x>＋2<1－x>－7＝x－x2＋2－2x－7

＝-x2-x-5＝〔-x2-x+1-6=－6。

[变式2]当x＝1时,代数式px3＋qx＋1的值为2003,则当x＝－1时,代数式px3＋qx＋1的值为<>

A、－2001B、－2002C、－2003D、2001

分析：这是一道求值的选择题,显然p,q的值都不知道,仔细观察题目,不难发现所求的值与已知值之间的关系。

解析：当x＝1时,px3＋qx＋1＝p＋q＋1＝2003,而当x＝－1时,px3＋qx＋1＝－p－q＋1,可以把p＋q看做一个整体,由p＋q＋1＝2003得p＋q＝2002,于是－p－q＝－<p＋q>＝－2002,所以原式＝－2002＋1＝－2001。故选A。

[变式3]已知A＝3x3－2x＋1,B＝3x2－2x＋1,C＝2x2＋1,则下列代数式中化简结果为3x3－7x2－2的是<>

A、A＋B＋2CB、A＋B－2CC、A－B－2CD、A－B＋2C分析：将A,B,C的式子分别代入A,B,C,D四个选项中检验,如：A－B－2C＝3x3－2x＋1－<3x2－2x＋1>－2<2x2＋1>＝3x3－2x＋1－3x2＋2x－1－4x2－2＝3x3－7x2－2。答案：C

[变式4]化简求值。

<1>3<a＋b－c>＋8<a－b－c>－7<a＋b－c>－4<a－b－c>,其中b＝2

<2>已知a－b＝2,求2<a－b>－a＋b＋9的值。

分析：<1>常规解法是先去括号,然后再合并同类项,但此题可将a＋b－c,a－b－c分别视为一个"整体",这样化简较为简便；<2>若想先求出a,b的值,再代入求值,显然行不通,应视a－b为一个"整体"。

解析：<1>原式＝3<a＋b－c>－7<a＋b－c>＋8<a－b－c>－4<a－b－c>

＝－4<a＋b－c>＋4<a－b－c>

＝－4a－4b＋4c＋4a－4b－4c＝－8b。

因为b＝2,所以原式＝－8×2＝－16。

<2>原式＝2<a－b>－<a－b>＋9＝<a－b>＋9

因为a－b＝2,所以原式＝2＋9＝11。

类型六：综合应用7．已知多项式3<ax2＋2x－1>－<9x2＋6x－7>的值与x无关,试求5a2－2<a2－3a＋4>的值。思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用,一般是使此单项式的系数为0即可.

解析：3<ax2＋2x－1>－<9x2＋6x－7>＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝<3a－9>x2＋4。因为原式的值与x无关,故3a－9＝0,所以a＝3。又因为5a2－2<a2－3a＋4>＝5a2－2a2＋6a－8＝3a2＋6a－8,所以当a＝3时,原式＝3×32＋6×3－8＝37。总结升华：解答此类题目一定要弄清题意,明确题目的条件和所求,当题目中的条件或所求发生了变化时,解题的方法也会有相应的变化。举一反三：变式1]当a<x≠0>为何值时,多项式3<ax2＋2x－1>－<9x2＋6x－7>的值恒等为4。解析：3<ax2＋2x－1>－<9x2＋6x－7>＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝<3a－9>x2＋4。因为<3a－9>x2＋4＝4,所以<3a－9>x2＝0。又因为x≠0,故有3a－9＝0。即a＝3,所以当a＝3时,多项式3<ax2＋2x－1>－<9x2＋6x－7>的值恒等于4。

[变式2]当a＝3时,多项式3<ax2＋2x－1>－<9x2＋6x－7>的值为多少？解析：3<ax2＋2x－1>－<9x2＋6x－7>＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝<3a－9>x2＋4,当a＝3时,原式＝<3×3－9>x2＋4＝4。

8．已知关于x的多项式<a－1>x5＋x|b＋2|－2x＋b是二次三项式,则a＝____,b＝____。分析：由题意可知a－1＝0,即a＝1,|b＋2|＝2,即b＝－4或0,但当b＝0时,不符合题意,所以b＝－4。答案：1,－4举一反三：[变式]若关于的多项式：,化简后是四次三项式,求m,n的值答案：m=5,n=-1方法技巧篇一整式的加减技巧一、根据系数特征分组合并同类项的合并实际上是系数的加减,因此,如何根据系数的特征进行分组合并是合并同类项时的一种技巧.例1计算：y+x-〔y+x-1+〔2-y-x分析：先去括号,得,原式=y+x-y-x+1+2-y-x,注意这个多项式共有三类,第一类是y,系数分别是,-1和-,第二类是x,系数分别是,-和-,第三类是常数项,分别是1和2.各类合并时,考虑各类系数的特征,易得解法如下是最简便的.解：原式=y+x-y-x+1+2-y-x=〔y-y+〔x-x-y-x+〔1+2=-y+0-y+3=-2y+3.评注：按系数特征合并同类项,一般是将系数为相反数的同类项分为一组,系数能够凑整的同类项分为一组,系数是同分母的同类项分为一组.二、按整体进行合并如果多项式出现若干部分相同,则可以把相同的这部分视为整体进行合并.例2计算：9〔x-1+7〔1-x-x-1.分析：本题中的〔1-x可化为-〔x-1,-x+1可化为-〔x-1-2,因此,先把〔x-1作为整体进行合并.解：原式=9〔x-1-7〔x-1-〔x-1-2=〔9-7-1〔x-1-2=〔x-1-2=x-3.评注：运用整体思想进行整式加减运算时,常常需要选择合适的"整体",然后添括号,再进行合并,然后再去括号,再合并同类项.三、逆向合并一般情况下,在合并同类项时大多是将系数相加减,但有时反过来,视系数为"类"进行合并可以收到意想不到的效果.例3计算：-；分析：注意到同分母的几组式子,将它们分别相加易于计算,于是解：原式=〔+〔-=〔x-y-〔x-y-=〔x-y=0.评注：本题从系数入手,无意中构造出〔x-y这个整体,然后于运用整体思想得到了巧妙的解决,真是"无心插柳柳成荫".由上几例可见,合并同类项与有理数运算一样,如果能够先观察一下题目特征而不急于动笔,然后针对题目特征,打破常规解法,灵活运用一些技巧,则可以起到化繁为简,事半功倍的效果.方法技巧篇二整式的加减一、直接代入求值法例当、、时,分别求代数式的的值．二、化简代入求值法例已知,,求代数式的值．解法1：因式分解法解法2：降次法例2代数式的值为9,则的值为<>A．7B．18C．12D．9例3已知,求的值．解法1：平方法解法2：配方法*例4已知中,当时,,则当时,y的值是<>A．-3B．-7C．-17D．7三、说理题解法举例例1做游戏,猜数字：让对方任想一个数,让他做如下运算：①乘5,②再加上6,③再乘4,④再加上9,⑤再乘5,把得数告诉你,然后<你只要从中减去165,再除以100>你就可以说出他原来的数．用数字验证：比如,某人想的一个数是7,那么,第一步,7×5得35,第二步,35+6得41,第三步,41×4得164,第四步,164+9得173,第五步,173×5得865．他告诉你：865,于是你就算出<865-165>÷100=7．你自己也可举例,结果总对,你知道其中的奥妙吗？例2在数学自习课上,张老师出了一道整式求值题,张老师把所要求值的整式写完后,让小刚同学任意说出一组a,b的值,再计算结果．当小刚说完：""后,小莉很快说出了答案"3"．同学们都感到其名其妙,觉得不可思议,张老师满意地说："这个答案准确无误"．亲爱的同学,为何能小莉快速得出结果？例3小明和小亮在同时计算这样一道求值题："当时,求整式的值．"小亮正确求得结果为7,而小明在计算时,错把a=-3看成了a=3,但计算的结果却也正确,你相信吗？你能说明为什么吗？四、探索规律题的解法1．观察题目中的不变量与变量,不变量照写,变量用序号来表示〔序号为n例研究下列算式,你会发现什么规律？请你把找出的规律用含正整数n的公式表示．,,,,2．将所给的条件进行适当的变形,再找规律例观察等式：,,,+1,…,你会发现什么规律？请你把发现的规律用含正整数n的公式表示．3．借助于图形观察找规律例1柜台上放着一堆罐头,它们摆放的形状见下图:第一层有2×3听罐头,第二层有3×4听罐头,第三层有4×5听罐头．…．根据这堆罐头排列的规律,第n<n为正整数>层有__________听罐头〔用含n的式子表例2图⑴是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层,将图⑴倒置后与原图⑴拼成图⑵的形状,这样我们可以算出图⑴中所有圆圈的个数为．图图⑴图⑵图图⑶图⑷如果图⑴中的圆圈共有12层：<1>我们自上往下,在每个圆圈中都按圈⑶的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4,…,则最底层最左边这个圆圈中的数是______；<2>我们自上往下,在每个圆圈中都按圈⑷的方式填上一串连续的整数-23,-22,-21,…,求图⑷中所有圆圈中各数的绝对值之和．4．借助于表格进行观察例用正方形的普通水泥砖〔图中白色小正方形和彩色水泥砖〔图中灰色小正方形按如图的方式铺人行道,像这样,第n个图形需要彩色水泥砖多少块？五、用字母表示数的思想用字母表示数是代数的一个重要特点,是整个中学数学最基本的知识,是从算术过渡到代数的桥梁．用字母表示数能够把数量关系一般地、简明地表示出来,它是列代数式的基础．深刻理解用字母表示数的意义,掌握它的方法及规律,是学好代数的关键．例l如图是某个月份的日历,像图中那样,用一个十字框在图中任意圈住五个数,如果中间的数用a表示,则圈住的五个数字的和可用含a的代数式表示为______.例2如图是20XX6月份的日历,现有一长方形在日历任意框4个数,请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系：例3小红对小丽说："有一种游戏,其规则是；你任想一个数,把这个数乘2,加上6．再把结果乘2,再减去8,再把结果除以2,最后再减去你所想的数的2倍．你不用告诉我你所想的数是什么,我就能知道结果．"请你说明小红为什么知道结果？六、观察、比较、归纳、猜想的数学思想例1观察按下列顺序排列的等式：,,,,,…猜想：第n个等式〔n为正整数可以表示成______．例2XX市是中国历史文化名城,XX市烂柯山是中国围棋文化的重要发样地,如图是用棋子摆成的"巨"字,那么第4个"巨"字的棋子数是______；按以上规律继续下去,第n个"巨"字所需要棋子数是______．例3观察图中的四个点阵,s表示每个点阵中的点个数,按照图形中的点的个数变化规律,猜想第n个点阵中的点的个数s为<>A．B．C．D．例4按一定的规律排列的一列数依次为：,,,,,,…按此规律排列下去,这列数中的第7个数是______,用整数n表示第n个数是______．七、整体思想所谓整体思想,就是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体,加以确定、解决,这样往往能使问题的解答简洁、明快,在求代数式的值时,有时问题中的量或字母没有直接给出,往往考虑使用"整体思想"来解答．<1>整体化简例已知：,,求的值．<2>整体变形求解对于某些比较复杂的条件,如果对其进行整体变形,则可收到事半功倍的效果．例1若,则的值为______．例2当时,求代数式的值．八、方程思想例1若与是同类项,求的值．例2若两个单项式与的和仍是一个单项式,则m=______,n=______．九、分类讨论思想所谓分类讨论思想,是对事物分情况加以讨论的思想,它是根据事物的特点按照某一标准不重复、不遗漏地对事物分别归类,分类讨论思想既是一种重要的数学思想,也是一种解题策略,对于同学们良好的思想品质的形成具有重要意义．例1若,则________．例2化简：+．十、数形结合思想在列代数式时,常常能遇到另外一种类型题：给你提供一定的图形,通过对图形的观察探索,搜集图形透露的信息,并根据相关的知识去列出相应的代数式．例如图,已知小正方形的边长、圆弧的半径均为a,计算图中阴影部分的面积．练习题：一、填空题1．在校举行的运动会上,小勇和小刚都进入了一百米决赛,小勇用了x秒,小刚用了15秒,小勇获得了冠军,小勇比小刚快_______秒．2．计算：〔2xy－y－〔－y+xy=_______．3．在代数式〔1ab；〔2；〔3中单项式有_____；多项式有_______；整式有_______．4．根据去括号法则,在下面各式中方框里填"＋"或"－"号．〔1a－〔－b+c=a□b□c；〔2a□〔b－c－d=a－b+c+d．5．当x=－2时,代数式－x2+2x－1的值是__________．6．把多项式2x2－3x+x3+2按x的降幂排列是________．7．有理数a,b,c在数轴上的位置如图测所示,则│a－b│－│a－c│=_______．8．已知〔a－33与│b－1│互为相反数,那么a+b=_______．9．如图测,用黑白两种颜色的正方形纸片,按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案．〔1第4个图案中有白色纸片_______张；〔2第n个图案中有白色纸片_______张．10．如果代数式2y2+3y+7的值是8,那么代数式4y2+6y－9的值为________．二、化简下列各题：〔15a4+3a2b－10－3a2b+a4－1；〔22〔2x2+9y－3〔－5x2－4y；〔3〔a2－ab+〔2ab－b2－2〔a2+b2．三、化简求值〔1－2x－[4x－2y－〔3x－2y+1],其中x=－3,y=2007；〔2xy－2y2－2[4xy－〔3y2－x2y+5〔－3y2+x2y],其中x=1,y=－2．四、某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套,领带x条〔x>20：〔1若该客户按方案①购买,需付款______元．〔用含x的代数式表示；若该客户按方案②购买,需付款________元．〔用含x的代数式表示〔2若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？〔3当x=30时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．《整式的加减》提高测试题姓名班级学号一、填空题〔本题20分,每小题4分：１．仅当a＝,b＝,c＝时,等式ax2－bx＋c＝x2＋2x＋3成立；２．仅当b＝,c＝时,5x3y2与23xbyc是同类项；３．煤矿十月份生产a吨煤,比九月份增产45%,煤矿九月份生产煤吨；４．当3＜a＜4时,化简|a－3|－|a－6|得的结果是,它是一个数；５．n张长为acm的纸片,一张接一张的贴成一个长纸条,每张贴合部分的长度都是bcm,这个纸条的总长应是cm．二、计算下列各题〔本题30分,每小题10分：１．－5an－an－〔－7an＋〔－3an；解：２．〔2x3－3x2＋6x＋5－〔x3－6x＋9；解：３．9x－{159－[4x－〔11y－2x－10y]＋2x}.解：三先化简再求代数式的值：１．5a2＋[a2＋〔5a2－2a－2〔a2－3a],其中a＝－；解：２、a4＋3ab－6a2b2－3ab2＋4ab＋6a2b－7a2b2－2a4,其中a＝－2,b＝1.解：四〔本题10分已知a＝,且x为小于10的自然数,求正整数a的值．解：五〔本题10分代数式15－〔a＋b2的最大值是多少?当〔a＋b2－3取最小值时,a与b有什么关系?解：六〔本题10分当a＞0,b＜0时,化简|5－b|＋|b－2a|＋|1＋a|.解：整式的乘法〔一幂的乘法运算一、知识点讲解：1、同底数幂相乘：推广：〔都是正整数同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：注意：正确处理运算中的"符号",避免以下错误,如：等；例1、计算：〔1〔2〔3〔4变式练习：1、a16可以写成〔A．a8+a8B．a8·a2C．a8·a8D．a4·a42、已知那么的值是。3、计算：<1>a•a3•a5〔2〔3〔4<x+y>n·<x+y>m+1〔5〔n－m·〔m－n2·〔n－m42、幂的乘方：推广：〔都是正整数幂的乘方,底数不变,指数相乘。如：幂的乘方法则可以逆用：即如：例2、计算：〔1〔1035 〔2〔3<4>变式练习：1、计算〔－x57+〔－x75的结果是〔A．－2x12B．－2x35C．－2x70D．02、在下列各式的括号内,应填入b4的是〔A．b12=〔8B．b12=〔6C．b12=〔3D．b12=〔23、计算：〔1〔2〔3<4>〔m34+m10m2+m·m3·m83、积的乘方：推广：积的乘方,等于各因数乘方的积。如：〔=注意：正确处理运算中的"符号",避免以下错误,如：等；二、典型例题：例3、计算：〔1〔ab2〔2〔－3x2〔3〔4〔5变式练习：1、如果〔ambn3=a9b12,那么m,n的值等于〔A．m=9,n=4B．m=3,n=4C．m=4,n=3D．m=9,n=62、下列运算正确的是〔<A><B><C><D>3、已知xn=5,yn=3,则〔xy3n=。4、计算：〔1〔－a3〔2〔2x43〔3<4>〔5<6><7><8>－4、同底数幂的除法法则：〔都是正整数,且同底数幂相除,底数不变,指数相减。如：练习〔1.计算：=,=.〔2.计算：=.〔3.计算：＝___________．〔4.下列计算正确的是〔A．〔－y7÷〔－y4=y3；B．〔x+y5÷〔x+y=x4+y4；C．〔a－16÷〔a－12=〔a－13；D．－x5÷〔－x3=x2.〔5计算：的结果,正确的是〔A.；B.；C.；D..〔6.若,,则等于<>A.；B.6；C.21；D.20.5、零指数〔,即任何不等于零的数的零次方等于1。〔二整式的乘法一、知识点讲解：1、单项式单项式〔1系数相乘作为积的系数〔2相同字母的因式,利用同底数幂的乘法,作为一个因式〔3单独出现的字母,连同它的指数,作为一个因式注意：①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。如：？二、典型例题：〔1．下列计算的结果正确的是〔A．〔-x2·〔-x2=x4B．x2y3·x4y3z=x8y9zC．〔-4×103·〔8×105=-3.2×109D〔-a-b4·〔a+b3=-〔a+b7〔2．计算〔-5ax·〔3x2y2的结果是〔A．-45ax5y2B．-15ax5y2C．-45x5y2D．45ax5y2〔3〔2xy2·〔x2y=_________；〔-5a3bc·〔3ac2=________．〔-5ab2x·〔-a2bx3y=_________；〔-3a3bc3·〔-2ab22=_________；〔4．已知am=2,an=3,则a3m+n=_________；a2m+3n=_________．〔5．若单项式-3a2m-nb2与4a3m+nb5m+8n同类项,那么这两个单项式的积是多少？2、单项式多项式①单项式分别乘以多项式的各项；②将所得的积相加注意：单项式与多项式相乘,积仍是一个多项式,项数与多项式的项数相同①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。如：=?二、典型例题：〔1〔4a﹣b2〔﹣2b〔3x2y﹣2x+1〔﹣2xy〔2〔3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1•〔﹣2ab2〔3〔﹣4a3+12a2b﹣7a3b3〔﹣4a2〔4﹣3x•〔2x2﹣x+4〔5先化简,再求值3a〔2a2﹣4a+3﹣2a2〔3a+4,其中a=﹣2〔6先化简,再求值：2〔a2b+ab2﹣2〔a2b﹣1﹣ab2﹣2,其中a=﹣2,b=2．3、多项式多项式先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。注意：运算的结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。二、典型例题：〔1<2x＋3y><3x－2y><2><x＋2><x＋3>－<x＋6><x－1>〔35x〔x2<4><3x＋2y><2x＋3y>－<x－3y><3x＋4y>〔5的展开式中,项的系数是_____________〔6要使多项式〔x2A.相等B.互为相反数C.互为倒数D.乘积为－1〔7.若<x＋a><x＋2>＝x2－5x＋b,则a＝__________,b＝__________．〔8.若a2＋a＋1＝2,则<5－a><6＋a>＝__________．〔9.当k＝__________时,多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．〔10已知中不含3次项,试确定的值.〔11<2x－1><2x＋1>－5x<－x＋3y>＋4x<－4x2－eq\f<5,2>y>,其中x＝－1,y＝2．〔三乘法公式一、知识点讲解：1、平方差公式：；变式：〔1；〔2；〔3=；〔4=。2、完全平方公式：=。公式变形：〔1〔2；〔3〔4；〔5二、典型例题：例2、计算：〔1<x＋2><x－2>〔2<5＋a><-5＋a>〔3〔4<5>〔6变式练习：1、直接写出结果：〔1<x－ab><x＋ab>=；〔2<2x＋5y><2x－5y>=；〔3<－x－y><－x＋y>=；〔4<12＋b2><b2－12>＝______；<5><-2x+3><3+2x>=；〔6〔a5-b2〔a5+b2=。2、在括号中填上适当的整式：〔1〔m－n〔＝n2－m2； 〔2〔－1－3x〔＝1－9x23、如图,边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形,若将图1的阴影部分拼成一个长方形,如图2,比较图1和图2的阴影部分的面积,你能得到的公式是。4、计算：〔1〔2〔3〔4<－m2n＋2><－m2n－2>〔5〔6〔a＋b＋c〔a＋b－c5、已知,求的值。例3、填空：<1>x2－10x＋______＝<－5>2；<2>x2＋______＋16＝<______－4>2；<3>x2－x＋______＝<x－____>2；<4>4x2＋______＋9＝<______＋3>2．例4、计算：〔1〔2<x+QUOTE>2〔3〔4例5、已知,求；例6、化简求值,其中：。变式练习：1、设,则P的值是〔A、B、C、D、2、若是完全平方式,则k=3、若a+b=5,ab=3,则=.4、若,则代数式的值为。5、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式：,你根据图乙能得到的数学公式是。6、已知：．7、计算：〔1〔3a+b2〔2<－3x2＋5y>2〔3<5x-3y>2〔4<－4x3－7y2>2〔5〔3mn－5ab2〔6<a＋b＋c>2<7>〔88、化简求值：,其中9、已知,,求下列各式的值：〔1；〔2。整式的除法整式的除法分为单项式除以单项式和多项式除以单项式,主要进行公式计算。单项式的除法单项式相除,把它们的系数相除,同底数幂的幂相减,作为商的一个因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。单项式除以多项式,用多项式先除以单项式的每一项,再将所得的商相加,合并同类项后取倒数。注意：是整个多项式取倒数,而不是每一项分别取倒数后合并。二、典型例题：[例题]下列计算,正确的是〔CA.x4﹣x3=xB．x6÷x3=x2C．x•x3=x4D．〔xy32=xy6练习：1、下列计算正确的是〔DA．2a2+a2=3a4 B．a6÷a2=a3 C．a6•a2=a12D．〔-a62=a122、若3x＝4,9y＝7,则3x－2y的值为<A>A.eq\f<4,7>B.eq\f<7,4>C．－3D.eq\f<2,7>例：先化简,再求值。,其中练习：1．4x4y2÷<-2xy>2=______3．2<-a2>3÷a3=______．4．______÷5x2y=5xy2．5．ym+2n+6=ym+2·______．6．______÷<-5my2z>=-m2y3z4．7．<16a3-24a2>÷<-8a2>=______．8．<m+n>2<m-n>÷<m+n>2=______．计算：<-8x4y+12x3y2-4x2y3>÷<4x2y><a+b><a-b><a4+a2b2+b4>÷<b6-a6>．-3<ab>2·<3a>2·<-ab>3÷<12a3b2>．<2mn>2·<m2+n2>-<m2n2>3÷m3n4+3m2n4．162m÷82n÷4m×43<n-m+1>．<4xn-1yn+2>2÷<-xn-2yn+1>．因式分解

定义：把一个多项式在一个范围<如有理数范围内分解,即所有项均为有理数>化为几个整式的积的形式,这种式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。[1]

意义：是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。特性：因式分解方法灵活,技巧性强。学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习整式的四则运算,又为学习分式打好基础；学好它,既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力,又可以提高综合分析和解决问题的能力。基本结论：分解因式与整式乘法为相反。高级结论：在高等数学上因式分解有一些重要结论,在初等数学层面上证明很困难,但是理解很容易。1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程,初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明,对于一元三次方程和一元四次方程,也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂,在非专业领域没有介绍。对于分解因式,三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法,只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式,已经证明不能找到固定的因式分解法,五次以上的一元方程也没有固定解法。2、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解,所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如x4+1,这是一个一元四次多项式,看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3,所以一定可以因式分解。如果有兴趣,你也可以用待定系数法将其分解,只是分解出来的式子并不整洁。<这是因为,由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根,也就是说,n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的,将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘,可以得到二次的实系数因式,从而这条结论也就成立了。>3、因式分解虽然没有固定方法,但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高,但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高,所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨,不过能有效地解决找公因式的问题。4、因式分解是很困难的,但初中所接触的只是因式分解很简单的一部分,真正的因式分解需要研究生的水准,抽象代数在因式分解上有重要的应用,大家可以尝试因式分解xn-1,这道经典的考题曾经在1978年全国奥数竞赛中出现。方法因式分解主要有十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法等方法,求根公因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法式法,换元法,长除法,短除法,除法等。提公因式法法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式,也可以是多项式。具体方法：在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时,公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项为负,要提出负号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时,多项式的各项都要变号。基本步骤：<1>找出公因式；<2>提公因式并确定另一个因式：①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式；③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。口诀：找准公因式,一次要提尽,全家都搬走,留1把家守,提负要变号,变形看奇偶。例：注意：把

变成

不叫提公因式,因为括号内不得用分数公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法。分解公式：1、平方差公式：即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。2、完全平方公式：即两个数的平方和加上<或减去>这两个数的积的2倍,等于这两个数的和<或差>的平方。注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数<或式>的平方和的形式,另一项是这两个数<或式>的积的2倍。口诀：首平方,尾平方,积的二倍放中央。同号加、异号减,符号添在异号前。推广：<1>即三数和的平方,等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。<2>即四数和的平方,等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。即几个数的和的平方,等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。<3><4>3、立方和公式：即两数之和,乘它们的平方和与它们的积的差,等于这两个数的立方和。推广：三项立方和公式：即三数之和,乘它们的平方和与它们两两的积的差,等于这三个数的立方和减三数之积的三倍变形：4、立方差公式：即两数之差,乘它们的平方和与它们的积的和,等于这两个数的立方差。变形：5、完全立方公式：即两数之和<差>的立方等于这两个数的立方和<差>与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和<和与差>。6、两根式：例：a2+4ab+4b2=<a+2b>2十字相乘法对于x²+px+q型的式子如果q能分解为分解为数a,b的积,且有a

+

b

=

p时<即a与b和是一次项的系数>,那么x²+<a+b>x+ab=<x+a><x+b>；或对于kx2+mx+n型的式子如果有k=ab,n=cd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=<ax+c><bx+d>。这种分解因式的方法叫做十字相乘法。注：与十字相乘法对应的还有双十字相乘法具体方法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。口诀：分二次项,分常数项,交叉相乘求和得一次项。<拆两头,凑中间>特点：<1>二次项系数是1；<2>常数项是两个数的乘积；<3>一次项系数是常数项的两因数的和。基本步骤：<1>把二次项系数和常数项分别分解因数;<2>尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;<3>确定合适的十字图并写出因式分解的结果;<4>检验。例1：把6x2

+13x

+6分解因式∴原式=<2x+3><3x+2>例2：把3m3

-3m2

-60m分解因式解：原式=3m<m2-m-20>=3m<m-5><m+4>双十字相乘法对于某些二元二次六项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f<x、y为未知数,其余都是常数>,用两次十字相乘法分解因式,这种分解因式的方法叫做双十字相乘法。一般步骤：<1>用十字相乘法分解二次项<ax2+bxy+cy2>,得到一个十字相乘图<有两列>；<2>把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．<3>先以一个字母的一次系数分数常数项；<4>再按另一个字母的一次系数进行检验；<5>横向相加,纵向相乘。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．解析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解:如下∴原式=<x+2y+2><x+3y+6>解方程法通过解方程来进行因式分解的方法叫做解方程法。例：把x2-6x+8=0分解因式解：原方程解得x1=2,x2=4,就得到原式=<x-2><x-4>分组分解法通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式,这种分解因式的方法叫做分组分解法。能分组分解的多项式有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法。例1：因式分解ax+ay+bx+by解析：把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。解：ax+ay+bx+by=a<x+y>+b<x+y>=<a+b><x+y>或ax+ay+bx+by=x<a+b>+y<a+b>=<a+b><x+y>例2：因式分解5ax+5bx+3ay+3by解析：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。解：5ax+5bx+3ay+3by=5x<a+b>+3y<a+b>=<5x+3y><a+b>例3：因式分解x2-x-y2-y解析：利用二二分法,再利用公式法a2-b2=<a+b><a-b>,然后相合解决。解：x2-x-y2-y=<x2-y2>-<x+y>=<x+y><x-y>-<x+y>=<x+y><x-y-1>例4：因式分解a2-b2-2bc-c2解：a2-b2-2bc-c2=a2-<b+c>2=<a-b-c><a+b+c>拆项补项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项<或几项>,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解,这种分解因式的方法叫做拆项补项法。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例:分解因式：x3-9x+8．分析：本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1：将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=<x3-1>-9x+9=<x-1><x2+x+1>-9<x-1>=<x-1><x2+x-8>解法2将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=<x3-x>+<-8x+8>=x<x+1><x-1>-8<x-1>=<x-1><x2+x-8>解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=<9x3-9x>+<-8x3+8>=9x<x+1><x-1>-8<x-1><x2+x+1>=<x-1><x2+x-8>解法4添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2<x-1>+<x-8><x-1>=<x-1><x2+x-8>配方法对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种分解因式的方法叫做配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例：分解因式x2+3x-40解：x2+3x-40=x2=<x+1.5>2-<6.5>2=<x+8><x-5>．换元法选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种分解因式的方法叫做换元法。注意,换元后勿忘还元。例：分解因式<x2+x+1><x2+x+2>-12解：令y=x2+x,则原式=<y+1><y+2>-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=<y+5><y-2>=<x2+x+5><x2+x-2>=<x2+x+5><x+2><x-1>．特殊值法将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。这种分解因式的方法叫做特殊值法。例：分解因式x3+9x2+23x+15解：令x=2,则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105,将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7．注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,则x3+9x2+23x+15可能等于<x+1><x+3><x+5>,验证后的确如此。待定系数法在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数。由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程<或方程组>,解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法。例：分解因式x4-x3-5x2-6x-4解析：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。解：设x4-x3-5x2-6x-4=<x2+ax+b><x2+cx+d>=x4+<a+c>x3+<ac+b+d>x2+<ad+bc>x+bd由此可得a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4．解得a=1,b=1,c=-2,d=-4．则x4-x3-5x2-6x-4=<x2+x+1><x2-2x-4>．二次多项式根与系数关系二次多项式的因式分解例：对于二次多项式ax2+bx+c<a≠0>,

.解：当△=b2-4ac≥0时,设ax2+bx+c=0的解为x1,x2=a<x2-<x1+x2>x+x1x2>=a<x-x1><x-x2>.步骤1、如果多项式的首项为负,应先提负号；这里的"负",指"负号"。如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。例：分解因式:-a2-b2+2ab+4。解：原式=-<a2-2ab+b2-4>=-[<a-b>2-4]=-<a-b+2><a-b-2>应防止出现如下的错误：-9x2+4y2=<-3x>2-<2y>2=<-3x+2y><-3x-2y>=<3x-2y><3x+2y><错>2、如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式；例：分解因式:ab3-a3b=ab<b2-a2>=ab<b+a><b-a>要注意：多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。应防止出现如下的错误：4x4y2-5x2y2-9y2=y2<4x4-5x2-9>=y<x+1><4x2-9>3、如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；4、如果用上述方法不能分解,再尝试用分组、拆项、补项法来分解。口诀：先提首项负号,再看有无公因式,后看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适。原则1、分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式。2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。3、每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。4、结果最后只留下小括号,分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；5、结果的多项式首项一般为正。在一个公式内把其公因子抽出,即透过公式重组,然后再抽出公因子；6、括号内的首项系数一般为正；7、如有单项式和多项式相乘,应把单项式提到多项式前。如<b+c>a要写成a<b+c>；8、考试时在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数。口诀：首项有负常提负,各项有"公"先提"公",某项提出莫漏1,括号里面分到"底"。练习：分解因式1.2、3、<1+y>2-2x2<1+y2>+x4<1-y>2．4、5、6、2：△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。整式运算技巧一、整式乘法的简单运用注意：正确处理运算中的"符号",避免以下错误,如：等；例一：例二：下列各式计算正确的是〔A、B、C、D、例三：的值是〔A、1B、－1C、0D、例四：化简下列结果<1><2><3><4><5><－4x－y><－5x＋2y><6><x＋2><x＋3>－<x＋6><x－1><7>求<a＋b>2－<a－b>2－4ab的值,其中a＝2002,b＝2001；〔8化简的结果是〔二、巧用幂的运算和乘法公式简化运算方法1：逆用幂的三条运算法则简化计算例一：<1>计算：；<2>已知3×9m×27m＝321,求m的值；<3>已知x2n＝4,求<3x3n>2－4<x2>2n的值；〔4已知：,求m；方法2：巧用乘法公式简化计算例二：计算计算：分析：运用平方差公式因式分解,使分式运算简单化。[规律总结]抓住三个乘法公式的特征,灵活运用,特别要掌握公式的几种变形,公式的逆用,掌握运用公式的技巧,使运算简便准确。练习：1、已知x＋y＝7,xy＝12,求<x－y>2的值；12、计算〔2+1〔22+1〔23+1…〔22n+1的值是〔A、42n－1B、C、2n－1D、22n－1方法3：将条件或结论巧妙变形简化计算例三：计算20030022－2003021×2003023例四：已知<x＋y>2＝1,<x－y>2＝49,求x2＋y2与xy的值。三、整式乘法在求代数式值中的应用方法1：先将求值式化简,再代入求值例一：先化简,再求值<a－2b>2＋<a－b><a＋b>－2<a－3b><a－b>,其中a＝,b＝－3方法2：整体代入求值例二：当代数式a＋b的值为3时,代数式2a＋2b＋1的值是〔A、5 B、6 C、7 D、8例三：若代数式的值为6,则代数式的值为.例四：已知;求的值例五：已知,求的值四、学科内综合运用〔数学思想方法简介1.从特殊到一般的认识规律和方法在探索幂的运算法则时,都是从几个特殊例子出发,再推出法则。如：从以下几个特殊的例子a2·a3＝＝a5＝a2＋3,a4·a6＝＝a10＝a4＋6,推广到am·an＝＝am+n。从而得到法则"同底数幂相乘,底数不变,指数相加"。2.化归思想即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题,这是初中数学中最常用的思想方法,如在本章中,单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可转化为单项式乘以单项式,即多×多多×单单×单。还有：如比较420与1510的大小,通常也是将要比较的两个数化为底数相同或指数相同的形式,再进行比较,即420＝<42>10＝1610,1610＞1510,所以420＞1510。3.逆向思维思想方法在进行有些整式乘法运算时,逆用公式可使计算简便。这样的例子很多,前边已举了一些,这里再举一例。例1、已知求代数式的值分析：本题是一道求值问题,如果将a、b、c的值直接代入计算,则非常的麻烦,观察已知条件及所求式子,联想所学习的数学知识,可以通过逆用完全平方式解决.解：由已知,得a－b=1,b－c=－2,c－a=1,所以==,将a－b=1,b－c=－2,c－a=1代入,得原式=3.试一试：计算〔x－2y+3z2－〔x+2y－3z2.例：4、代数思想代数思想即用字母代替数,在解决一些较复杂一些的数的计算中,如果能恰当地利用字母去代替数值,从而将数字计算转化为数学式子的化简,可使计算明快简捷.例2、已知M=2004×2005－1,N=20042－2004×2005+20052,试比较M、N的大小.分析：为了比较简便,可设2004=a,那么M=a〔a+1－1=a2+a－1,N=a2－a〔a+1+〔a+12=a2+a+1,因为M－N=〔a2+a－1－〔a2+a+1=－2,所以M<N.试一试：计算2005×20072007－2007×20052005。5、整体思想在整式的加减运算中,整体思想是一种重要是数学思想,解决问题时,将局部放在整体中观察、分析,寻找整体与局部之间的联系,可使问题简便解决。摘要：用整体思想法解题,是指将题目中的某些条件或结论看作一个整体,使问题转化为对这个整体的研究,这样做,不仅可以摆脱固定模式的束缚,使复杂的问题变得简单,陌生的问题变得熟悉,还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题,从而起到化繁为易的作用。6、分类思想如果问题中包含多种情况,必须按可能出现的所有情况来分别讨论,得出相应的答案,这种解决问题的思想方法叫做分类思想。例：已知2a|m－1|b3和－3a2b|n|的和是单项式,求m、n的值。分析：根据两个单项式的和是单项式可知,这两个单项式是同类项,根据同类项的特征可知：|m－1|=2,|n|=3,所以m－1=2或m－1=－2,n=3或n=－3,所以m=3或m=－1,n=3或n=－3,具体写出m、n的值时,需要分类进行。试一试：已知|a|=1,b2=4,求代数式2a+3b－〔－a+2b的值。一整体代入例4、如果,那么代数式的值为〔A、6 B、8 C、－6 D、－8分析：由先求出的值,用现有的知识无法解决.若将看作一个整体,将的值整体代入,则可使问题巧妙获解.例5、已知代数式x2+3x+3的值等于6,求代数式2x2+6x+10的值。分析：从已知条件可得x2+3x+3=6,所以可得x2+3x=3,由现在的知识点不能求出具体的x的值。所以应思考其他的解题方法,因为2x2+6x=2〔x2+3x,所以可将x2+3x作为一个整体代入解决问题.试一试：已知a－b=3,b－c=2,求代数式〔a－c2+3a－3c+1的值.二整体合并例6、计算－6〔－＋＋4〔＋－＋8〔－＋＋3〔－－分析：因为3〔－－=－3〔＋－,所以可把－＋,＋－各看作一个整体,先合并再去括号,可使运算简捷.三整体加减例7、已知3－3=33,3－3=－21,求代数式－和－2＋的值.分析：若由已知求出、的值,需解二元二次方程组,同学们目前尚不会解,但注意观察已知式与求值式,只要将两已知式整体相加、减后再变形即可巧解.四整体转化例8、已知当=2时,代数式的值为100,那么当=－2时,代数式的值为多少？分析：把代数式的求值问题转化为全奇次项多项式求值问题,从而可简捷获解.五整体设元例9、有一道题目是求一个已知多项式减去3－6＋10所得的差,粗心的小华误将求差当成了求和计算,结果得到－2＋4,试问正确的结果应该是多少？分析：无论是求差还是求和都与这个已知多项式有关,故可把这个已知多项式看作一个整体,设为,由＋〔3－6＋10=－2＋4求出,再计算与3－6＋10的差即可.五、构造求值型例一：已知x+y=1,那么的值为_______.例二：计算：___________.六、探索规律型例三：观察下列各式：l2+1=1×2,22+2=2×3,32+3＝3×4,……请你将猜想到的规律用自然数n<n≥1>表示出来.[例题]一组数据为：x,-2x2,4x3,-8x4,…观察其规律,推断第n个数据应为．点评：本题考查了单项式,确定单项式的系数和次数时,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．练习：有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12,…它的每一项可以用式子2〔为正整数来表示。有规律排列的另一列数：1,－2,3,－4,5,－6,7…⑴、它的每一项你认为可以用怎样的式子来表示？⑵、它的第100个数是多少？⑶、2008是不是这列数中的数？如果是,是第几个数？例四：请先观察下列算式,