高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结

1.如果直线l与平面α内的

直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作

.直线l叫做

，平面α叫做

.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做

.2.一条直线与一个平面内的

都垂直，则该直线与此平面垂直.这个定理叫做直线与平面垂直的

，用符号表示为：

aαbαa∩b=Ol⊥α.l⊥al⊥b任意一条l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足两条相交直线判定定理高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结3.一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面

，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做

.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的

，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或

，我们说它们所成的角是0°的角.垂直斜足锐角在平面内高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结4.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做

.这条直线叫做

，这两个半平面叫做

.棱为l，面分别为α,β的二面角记作二面角α—l—β.在二面角α—l—β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做

.二面角的大小可以用它的

来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是

的二面角叫做直二面角.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面

.互相垂直二面角二面角的棱二面角的面二面角的平面角平面角直角高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结5.一个平面过另一个平面的

，则这两个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相垂直的

，用符号表示为：

l⊥αlβα⊥β.判定定理垂线高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结学点一线面垂直的判定如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.图2-4-2【分析】考查线面垂直的判定定理.【证明】取SA的中点E，连接EC，EB.∵SB=AB,SC=AC,∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E,∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE，返回目录高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结∴SA⊥BC.又∵AD⊥BC,AD∩AS=A,∴BC⊥平面SAD.∵SH平面SAD，∴SH⊥BC.又∵SH⊥AD,AD∩BC=D,∴SH⊥平面ABC.【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过作辅助平面，找到所需要的另一条直线.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD.求证：BD⊥AC.如图，取BD的中点K，连接AK，CK.∵AB=AD,K为BD中点，∴AK⊥BD.同理CK⊥BD.∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.∵AC平面AKC，∴BD⊥AC.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结学点二直线与平面所成的角在正四面体A—BCD中，E为AD的中点，求CE与底面BCD所成角的正弦值.【分析】如图2-4-3所示，要求CE与底面BCD所成角的正弦值，首先要作出该角，其次应将其放在直角三角形内求解，所以应过E作底面的垂线.此时垂足所在位置特别关键.由A—BCD为正四面体，那么E在底面BCD的垂足必在∠BDC的角平分线上，连接CF，根据条件找出边长即可.图2-4-3高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结【解析】如图2-4-4所示，作AO⊥面BCD，O为垂足，连接DO并延长和BC交于G，则G为BC的中点.∴DG⊥BC.又AO⊥BC，∴BC⊥面ADG.作EF⊥DG,F为垂足，则BC⊥EF,∴EF⊥面BCD.连接FC，则∠ECF是斜线CE与平面BCD所成的角.图2-4-4高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结设正四面体的棱长为a，则AO=.故EF=AO=.又CE=,∴sin∠ECF=.即CE与底面BCD所成角的正弦值为.【评析】求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是：在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线，连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大小，同时要注意其取值范围.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结在三棱锥O—ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是

.（如图，连接MC，则∠OMC为所求.在Rt△OMC中，OM=OA，则tan∠OMC==.）高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结学点三面面垂直的判定如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC.【分析】欲证面面垂直，需证线面垂直.故找出垂线是关键.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结【证明】证法一：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD=a,又AD==a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结证法二：∵SA=SB=SC=a,又∠ASB=∠ASC=60°,∴△ASB,△ASC都是等边三角形.∴AB=AC=a.作AD⊥平面BSC于点D，∵AB=AC=AS,∴D为△BSC的外心.又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，∴D为BC的中点，故AD平面ABC.∴平面ABC⊥平面SBC.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结【评析】证明面面垂直有两个途径：一是定义，二是证明线面垂直.两者都是通过线线垂直来完成.如果题目中给出了线段长度、角度等条件，可考虑用勾股定理证线线垂直，所以空间问题平面化是解决立体几何问题的重要思想.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE=BD=,∴AE=,同理,CE=.在△AEC中，AE=EC=,AC=a,∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD=a,AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结学点四二面角大小的求法如图2-4-8所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角E—BD—C的正切值.【分析】求二面角大小，关键作出二面角的平面角.由于E在平面DCC1D1内且平面DCC1D1⊥平面BCD，因此易作出平面角.图2-4-8高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结【解析】如图2-4-9所示，∵ABCD—A1B1C1D1是长方体，图2-4-9∴过E作EF⊥CD于F，则EF⊥面BCD，且F为CD中点，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则EG⊥BD.于是∠EGF为二面角E—BD—C的平面角.∵BC=1，CD=2，∴GF=,而EF=1，在△EFG中，tan∠EGF=.∴所求二面角的正切值为5.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结【评析】二面角的“作、证、求”是解决二面角的必由之路，二面角的平面角的作法是解决问题的关键，二面角的平面角的作法通常有：（1）定义法：在棱上任取一适宜点，分别在二面角两半平面内作棱的垂线.（2）垂面法：过一点作棱的垂面，交线所成角即为平面角.（3）投影法：利用S投影面=S被投影面·cosθ.（4）对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直线，作出棱.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于

.（设O为底面ABCD的中心，E为BC边的中点，则∠PEO即为侧面与底面所成二面角的平面角，∵底面对角线的长为2，∴底面边长为2.又∵V=Sh=12.∴OE=,高OP=3，∴tan∠PEO==3.∴∠PEO=.即侧面与底面所成的二面角为）高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结1.怎样理解线面垂直的判定定理？直线和平面垂直的判定定理，应抓住“两条”和“相交”这两个关键词语.要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的.2.怎样理解直线和平面所成的角？直线和平面所成的角问题中主要是斜线和平面所成角问题.斜线和平面所成角的定义中给出了求解斜线和平面所成角的步骤：①确定斜线和平面的交点（即斜足）；高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结②经过斜线上除斜足以外的任意一点作平面的垂线，从而确定斜线的射影；③由垂线段、斜线段及其射影构成的直角三角形，通过解此三角形，得到斜线和平面所成的角，同时要注意直线和平面所成角的范围.在求解斜线和平面所成角的过程中，确定点在直线上或平面上的射影是关键，确定点在平面上射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面上的射影上；②利用垂直关系得出线面垂直，确定射影.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结3.如何用两平面垂直的定义证明平面与平面垂直?两平面垂直实际上是由直线与平面垂直和线线垂直来定义的，利用这个定义可直接证明两平面垂直，其步骤为：（1）找到两个相交平面α,β的交线a及这两个平面与第三个平面γ相交所得到的两条交线b,c;（2）证明a⊥γ,b⊥c;（3）根据定义，得到α⊥β.4.在二面角的学习中应注意什么问题?（1）二面角的平面角的概念应注意强调:顶点在二面角的棱上,两条边分别在二面角的两个面内,且这两条边都垂直于二面角的棱,这样选取的角的大小与角的位置的选取无关.返回目录高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结(2)画二面角的平面角时,使平面角的两边分别平行于表示两个半平面的平行四边形的一组对边,即表明垂直于二面角的棱,平面角∠AOB的大小与D点的位置无关.(3)二面角的计算方法:①定义.作二面角的平面角——在棱上取一点,分别在两个面内作棱的垂线,这两条射线组成二面角的平面角.利用定义作二面角的平面角,关键在于找棱及棱上的特殊点.学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用.②用垂面法.作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面,则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结1.直线与直线垂直两直线垂直是指它们的交角或平移后的交角为直角，两条直线不一定相交.在平面几何中，两直线垂直时，它们一定相交.2.直线和平面垂直（1）直线和平面垂直的定义可以用来判定线线垂直，即当直线和平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线，可以把它作为线线垂直的判定定理.（2