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文档简介

第四节重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、质心四、转动惯量五、引力六、小结思考题一、问题的提出1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法二、曲面的面积卫星1.设曲面的方程为：在D上偏导数连续设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为曲面S的面积元素)则故有曲面面积公式即2.若光滑曲面方程为则有3.若光滑曲面方程为则有特别地，若光滑曲面方程为隐式则且【例1】【解】在D上无界于是半个球面的面积为整个球面的面积为【注】反常二重积分【解】补充动画演示【解】解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为例4.计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影为则出的面积A.azoxyz=xy.三、质心1.平面薄片的质心当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法(二重积分表示)【解】补充【例6】薄片关于轴对称【解】与教材P112例3类似补充2.空间物体的质心其中（推广）教材P113例4自阅(三重积分表示)四、转动惯量1.平面薄片的转动惯量薄片对于

轴的转动惯量薄片对于

轴的转动惯量【解】补充【解】补充（教材P114例5自阅）2.空间立体的转动惯量点到x轴的距离平方点到原点的距离平方点到xoy面的距离平方【例9】【解】薄片对

轴上单位质点的引力为引力常数五、引力【解】由积分区域的对称性知所求引力为【推广】空间立体对质点的引力（略）【几何应用】曲面的面积【物理应用】质心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，

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