对数的概念与运算性质

《对数与对数运算》（第一课时）（人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节）《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化.感受引入对数的必要性，理解对数的概念；能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值；感受数学符号的抽象美、简洁美.本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念.通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值.恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.三、学生学情分析认知基础从运算的角度来讲，加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习.从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质，对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，之后将在学习对数的基础上继续学习对数函数.问题诊断对数的概念对于学生来说，是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的，在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面：（1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转换；（2）不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中.基于以上分析，本节的教学难点是：（1）对数概念的理解；（2）对数的常用性质的概括.为了突破第一个难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从对数概念外延的角度进行理解.本节的第二个难点是：“0和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证是涉及到求定义域时，看到对数符号，不能如同看到分母一样，瞬间闪现出真数要大于0的限制，因此应该在学习对数伊始，就打好“0和负数没有对数”的认识基础.为了突破第二个难点，不要急于将现成的结论抛出，可以让学生在自主举例（感受个例）的基础上，尝试思考（分析通例）对数中的底数和真数可以取什么样的数，引导学生思考是不是所有的实数都有对数，哪些数有对数？为什么？通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.本节教学中，学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程：从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习；

再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加深概念理解；再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识；循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值（1的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，从而丰富学生对于对数概念的认知.突破难点的策略为：旧知新悟，适度模仿，归纳概括，自主举例.五、教学过程设计对数概念的形成创设情境，引发思考【实际情境】网上的一则消息：有驴友挖到几枚恐龙蛋，送到权威机构做了碳14同位素鉴定，结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现坐等博物馆上门收购.生物死亡后，它机体内原有的碳14含量，每经过大约6000年，会衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代，其中半衰次数x衰次数x与碳14的含量P间的关系为：P但是，当生物组织内的碳14含量低于千分之一时（这里我们按1来计算），一般的放1024射性探测器就测不到碳14了.众所周知，恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上，那么用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？问题1：（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为原来的多少？3次呢？（2）经过几次半衰期，一般的放射性探测器就测不到碳14了呢？（3）用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？【预设的答案】1,1;10;不能28【设计意图】对数概念不是凭空产生的，用考古鉴定这一实例，让学生感受“求指数”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.【数学情境】解方程：（1）2%=2； （2）2x=3；（3）2x=4.【设计意图】创设数学情境，通过指数方程的实例，让学生感受在数学学习中，“求指数”这样的问题也是存在的，有必要研究这一类问题.问题2：以上几个问题的共同特征是什么？【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征：已知底数和幕，求指数探究典例，形成概念活动：解方程：(1)2%=2； (2)2x=3；(3)2x=4.【活动预设】感受在求指数的过程中，有的指数可以直接写出结果，有的指数却不好表示.【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫.问题3：以引例中的2%=3为例，分析％的值存在吗？如果存在，符合条件的％的值有几个？能估计出尤的大致范围吗？【活动预设】根据函数图象，思考等式2%=3中指数尤的存在性，唯一性和大致范围；类比：在学习求方程%3=2的根时，为了表示底数尤，引入了数学符号：厂，表示3次方为2的数；这里，我们引入对数符号来表示指数％,将尤记作log23・【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数尤的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题4：结合方程2%=3来思考，x=log23中log23表示什么？【活动预设】分析log23表示的含义；感受：以2%=4为例，分析指数尤可以怎样用对数符号表示，以及该符号表示什么.教师讲授：若g=N(a>0,a^1)，那么数％叫做以Q为底N的对数，记作：xlogN，a其中a叫做对数的底数，N叫做真数.【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对数概念.问题5：指数式与对数式是等价的，但a,x，W在两个式子中的名称一样吗？【预设的答案】此处画上连线图，呈现指数式与对数式之间的关系。【设计意图】体验对数式与指数式的互相转化；理解两个式子从不同角度表示a，x，W之间的关系；通过图示连线，认识a,x，N在指数式与对数式中的名称.具体感知，理性分析活动：自主举例的接龙活动.【活动要求】第一组每一排学生在四线三格中写出一个对数，其中底数与真数都是集合A的元素；(集合A={-1，0，1，2，3，4，5})第二组相应排学生说出这个对数的值或所表示的含义；第三组相应排学生说出对数式相应的指数式.【活动预设】如果出现真数为负数或0的情形，引导学生思考其合理性.【设计意图】在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延的角度加深概念的理解，为下一个环节作铺垫；同时也规范对数符号的书写.问题6：对数中底数和真数的范围分别是什么？【活动预设】引导学生回归指数，根据图象来判断底数、真数的范围.【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识底数与真数的取值范围，渗透“对数的本质是指数”这一思想，加深对数概念外延的理解,为后续对数函数的学习作铺垫.初步应用，理解概念例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式(1)log.125=3； (2)log丄=_4；5216(3)10「2二0.01；(4)e°=1(其中e=2.71828…).【预设的答案】(1)53=125；(2)2-4=丄；16(3)log100.01=-2；(4)loge1=0.【设计意图】进行指数式与对数式的简单互化，熟悉指数式与对数式之间的转化.认识两种特殊对数：常用对数和自然对数.例2求值(其中a>0,aH1):(1)log525；(2)log2丄； (3)lg1;5216(4)log1;(5)lne;(6)loga.aa【预设的答案】(1)2;(2)-4;(3)0;(4)0;(5)1;(6)1.【设计意图】(1)利用对数概念以及对指互化求值,加深对数概念的理解；从这个例题中归纳概括出性质：log1=0,loga=1.aa例3求值:(1)若log35(其中%>0,XH1),求尤的值；(2)log4;x84log23.【预设的答案】(1)V3;(2)2;(3)9.3【设计意图】在解题中加深对概念的理解，形成解题的基本思路：对数问题指数化；形成解题的基本技能：恰当设数，变对数式为指数式,然后利用指数的相关知识解题.归纳小结,文化渗透思考：对于logN，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？a【活动预设】归纳小结;欣赏诗歌:我为自己代言(对数版)

你只看到我源于指数，

却没看到我比指数早一步来到这世上。你有你的迷茫，我有我的规则。

你否定我的可爱，

伽利略说，“给我时间、空间以及对数，我就可以创造一个宇宙。”

你嘲笑我面目可憎晦涩难懂，

我恳请你靠近一点再多读我一遍。懂我，是场注定孤独的旅行，路上少不了探索与思考。但那又怎样，哪怕再艰难，也有执着睿智的勇士理解我的价值与内涵。我是对数，我为自己代言！设计意图】1）梳理本节课对于对数的认知；2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性课堂教学目标检测1.对数式与指数式的互化：（1） 2-1=丄；2（2）ln1=0.2.求值：1）log9；3（2）log3.9预设的答案】2.（1）2；（2）0.5.【设计意图】检测是否达成本节的教学目标，是否理解对数的概念以及对数符号的含义，是否能够较为熟练地进行对指互化和求值.对数与对数运算》课例点评《对数与对数运算》是人教A版必修一第二章第二节《对数函数》的起始课，段艳芳老师的这节课在理解教材、理解学生和理解教学的基础上，有如下特色：引入新颖，双管齐下一方面设置“恐龙蛋化石”的实际情境和“解指数方程”的数学情境引入学习内容，从应用价值的角度突显研究对数的必要性；另一方面进行逆运算的分析，从数学自身发展完善的角度体现研究对数的必要性.从课堂实际效果来看，学生在进行真假判断时，已经进入良好的学习状态.紧扣概念，辨证认知对数概念的理解是教学难点，这节课中对数概念的学习过程贴合了认识的辨证发展过程:从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习；再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加深概念理解；再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识；循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值（1的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，同时丰富对于概念的认知.类比学习，理解符号恰当的数学符号，对数学的发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，这节课通过类比熟悉的分数线，根号，引导学生理解：我们将方程中的指数记作对数符号，该符号是指数的一种记法.从实际的课堂效果来看，在认识对数符号含义的基础上